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IL CALCOLO INTEGRALE
CALCOLO INTEGRALE Dato un intervallo I R, si affrontano due tipi di problematiche: 1. INTEGRAZIONE INDEFINITA Data f : I R R si vuole calcolare una funzione (x) : ′(x) = f (x) si vuole compiere l’operazione inversa della derivazione 2. INTEGRAZIONE DEFINITA Data f : I R R si vuole calcolare l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione f (x) e l’asse delle ascisse per x I
INTEGRAZIONE INDEFINITA: OBIETTIVO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO consente di stabilire la RAPIDITÀ CON CUI VARIA LA FUNZIONE IN QUEL PUNTO Finora abbiamo cercato di individuare delle tecniche per determinare la derivata di una funzione ORA CI OCCUPIAMO DEL PROBLEMA INVERSO: DETERMINARE UNA FUNZIONE NOTA LA SUA DERIVATA Quanto più il valore del RI è elevato in modulo tanto più la funzione risulta sensibile a una variazione “h” ossia la pendenza della retta aumenta
FUNZIONE PRIMITIVA: definizione Data una funzione f : [a, b] R si dice PRIMITIVAdi f(x) la funzione (x) che in tutti i punti del suo dominio soddisfa l’uguaglianaza: ' x f x ( ) ( ) x [a, b] Derivata ? (x) f(x) Primitiva
FUNZIONE PRIMITIVA: teoremi se (x) è primitiva di f(x) anche (x) + c è primitiva di f(x) c R se 1(x) e 2(x) sono due primitive della stessa funzione f(x) cioè se 1 (x) = f(x) 2 (x) = f(x) 1(x) = 2(x) o 1(x) = 2(x) + c c R se una funzione ammette una primitiva ne ammette infinite due primitive qualsiasi di una stessa funzione differiscono per una costante additiva
FUNZIONE PRIMITIVA ESERCIZIO una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo lasse y. famiglia di infinite curve primitive di f(x)
INTEGRALE INDEFINITO: definizioni 1. Una funzione f(x) che ammette una primitiva si dice INTEGRABILE IN SENSO INDEFINITO 2. L’insieme di tutte le primitive di f in I R si indica con x dx x f ( ) ( ) c c R è una primitiva di f dx x f ) ( è detto integrale indefinito di f in dx Una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo l’asse y
FUNZIONE PRIMITIVA ESEMPI CERCHIAMO LE PRIMITIVE DELLE FUNZIONI GUARDANDO SULLA TABELLA DELLE DERIVATE: x x x x f ( x ) e : ( e ) e ( x ) e c 1 1 1 1 f ( x ) : x (ln x ) ( x ) ln x c 2 2 x 4 3 4 3 x 4 f ( x ) x : ( x ) 4 x ( x ) c 3 3 1 1 1 2 1 f ( x ) : 2 ( ) ( x ) c 4 4 x x x x f ( x ) cos : x (sin x ) cos x ( x ) sin x c 5 5
INTEGRALE INDEFINITO 1 ???? = ?+1??+1+ ?, nZ \1 1 ???? = ?+1??+1+ ?, R \1 ESEMPI ? xdx 2 2 2 x 2 x 2 ) : ( ) ( 2 ( ) f x x x x x c xdx c 2 ? x dx ) 3 3 2 3 2 2 x 3 x 3 ) : ( ( 3 ( ) f x x x x x c x dx c
INTEGRALE INDEFINITO ESEMPIO ( 1 1 x dx dx ? x (ln 1 1 1 f x ) : x x ) ( x ) ln x ln( per c ) x 0 x (ln( x ) ) ( x ) x per c x 0 x 1 dx ln | x | c x 0 x Ricordando le derivate delle funzioni elementari si ha
INTEGRAZIONE PER PARTI TEOREMA Siano f (x) e g(x) due funzioni derivabili su I Se «f ′(x) g(x)» è integrabile su I , allora lo è anche «f (x) g′(x)» e si ha f ( x g ) ( x dx ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x dx ) si calcola un nuovo integrale (PIÙ FACILE DEL PRECEDENTE!) in cui si sostituisce la funzione derivata f (x) con la sua primitiva f(x) e la funzione g(x) con la sua derivata prima g (x) la funzione integranda è esprimibile come il prodotto di due funzioni di cui una è la derivata di un’altra g(x)sidice fattore finito f '(x)dxsi dice fattore differenziale
INTEGRAZIONE PER PARTI ESEMPIO f ( x g ) ( x dx ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x dx )
INTEGRAZIONE PER PARTI f ( x g ) ( x dx ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x dx ) ESEMPIO
INTEGRAZIONE PER PARTI SEGUE: IN MODO ANALOGO SI HA:
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE TEOREMA Sia (x), : I J I, J R una funzione derivabile su I f(y), f : J R una funzione integrabile su J (y) una primitiva di f(x) la funzione f ( (x)) (x) è integrabile su I e si ha: (x)dx (x) f c Θ (x)
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE PROCEDIMENTO È dato l’integrale che si presenta nella forma: 1. si pone t (x) e si deriva membro a membro dt (x)dx 2. si sostituisce nell’integrale: 3. si calcola il nuovo integrale per ottenere la famiglia di primitive F( t ) + c 4. si sostituisce nella famiglia di primitive ottenute il valore di t in modo da ottenere F( (x))+c (x)dx f (x) (x) (x)dx f f(t)dt t dt
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE ESEMPIO dt t dt et dt et et dt
TAVOLA INTEGRALI FONDAMENTALI Nelle Tabelle sono riportati alcuni integrali indefiniti Il simbolo c sta ad indicare una costante reale generica: c La primitiva si può trovare leggendo la tabella delle derivate “al contrario”
TRAPEZOIDE Sia [a, b] ⊂ ⊂ R un intervallo chiuso e limitato Sia f: [a, b] → R limitata DEFINIZIONE TRAPEZOIDE di f sull’intervallo [a, b] è la regione di piano delimitata - dall’asse y = 0 - dalle rette x = a e x = b - dal grafico di f Viene indicato con T ( f ; a, b) [è un quadrilatero mistilineo]
INTEGRALE DI RIEMANN OBIETTIVO calcolare l’area del trapezoide T (f ; a, b) Riemann ha suddiviso il problema in 2 passi: prendere fa scala e definire l’integrale per funzioni a scala prendere f generica limitata e definire l’integrale per funzioni limitate sfruttando quanto trovato per le funzioni a scala
INTEGRAZIONE DEFINITA 1. sia f(x) = k k R+ l’AREA della regione delimitata dall’asse delle ascisse nell’intervallo [a, b] e dal diagramma della funzione è data da: ( a b k A y k ) x b a b si definisce integrale definito di una funzione costante: f ( x ) dx k ( b a ) a
INTEGRAZIONE DEFINITA 2. sia f: [a, b] → R una funzione limitata e fatta a scala [esiste una suddivisione di [a, b] in n sottointervalli così che f è costante su ogni sottointervallo, cioè esistono c1, c2, . . . , cn∈ ∈ R, tali che f (x) = ck∀ ∀x ∈ ∈ (xk−1, xk ) ] y k1 k2 k3 x k [ a , x ) 1 1 x ) x f ( x k [ x , ) 2 1 2 x k [ x , b ] 3 2 b x a x1 x2 A k ( x a ) k ( x x ) k ( b x ) 1 1 2 2 1 3 2 b n si definisce integrale definito di una funzione a scala: i a f ( x dx ) k ( x x 1) i i i 1
INTEGRAZIONE DEFINITA 3. sia f: [a, b] → R [a, b] intervallo chiuso e limitato f(x) generica funzione limitata, continua, non negativa come si può calcolare l’area sottesa dal grafico della funzione in [a, b] ? ? A
INTEGRAZIONE DEFINITA Curva γ di equazione y = f(x) continua in [a, b] y x a b area del trapezoide T (f ; a, b): ?
INTEGRAZIONE DEFINITA SOMMA DI CAUCHY y y = f(x) f(xi) Ii x a b area del trapezoide T (f ; a, b): si opera una : si divide l in un certo numero n di parti uguali di ampiezza x = ( b a ) / n I1 = [a, a+ x], I2 = [a+ x, a+ 2 x]… In = [a+ (n-1) x, a+n x] detto f (xi) un valore arbitrario della f in Ii n i ) A f ( x x n i 1
INTEGRAZIONE DEFINITA SOMMA DI RIEMANN y y = f(x) m2m3 mn m4 m1 I1 I2 I3 In i x a b detto miil minimo della f(x) nell’i-esimo intervallo Ii : i 1 m min x f ( x ) i i I i n n i A min f ( x ) x m 1 x n i i I i approssimazione per difetto dell’area sottesa dalla curva f(x)
INTEGRAZIONE DEFINITA SOMMA DI RIEMANN y M2M3 Mn M1 M4 I1 I2 I3 In x max x a b detto Miil massimo della f(x) nell’i-esimo intervallo Ii : i 1 M f ( x ) i i I i n n i A max f ( x ) x M 1 x n i i I i approssimazione per eccesso dell’area sottesa dalla curva f(x)
INTEGRAZIONE DEFINITA dalla definizione n n n ) i i i A m 1 x A f ( x x A M 1 x n i n i n i 1 somma inferiore di Riemann somma superiore di Riemann somma di Cauchy A A A n n n anche il valore dell’area A soddisfa alla diseguaglianza n n A A A
INTEGRAZIONE DEFINITA y a a b x al limite per n ossia per x 0 lim A lim A lim A n n n n n n le somme di Cauchy e di Riemann sono effettivamente approssimazioni dell’area del T, tanto migliori quanto più n è grande: n
INTEGRALE DEFINITO DEFINIZIONE Una funzione f limitata,definita nell’intervallo [a, b], positiva e continua si dice se : n n lim A lim A n n Il valorecomune di tali estremi si dice INTEGRALE DEFINITO di f esteso da a a b , cioè in [a, b] b a f ) ( x dx I=[a, b] scritture equivalenti a estremo inferiore di integrazione b estremo superiore di integrazione f funzione integranda x variabile di integrazione
FUNZIONI INTEGRABILI TEOREMA CONDIZIONE NECESSARIA (ma non sufficiente) f(x) è integrabile in [a, b] se
FUNZIONE NON INTEGRABILE ESEMPIO FUNZIONE DI DIRICHLET f(x): [a, b] R se 0 x [a, b] razionale) (è Q x f se 1 x [a, b] R \ irrazional (è Q e) è limitata in [a, b] ma non è integrabile secondo Riemann n n lim A 0 n n 1 lim A lim A n n n n lim A l’integrale superiore e l’integrale inferiore non coincidono viene meno la definizione di funzione integrabile secondo Riemann
CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI TEOREMA Sono integrabili secondo Riemann, su un intervallo chiuso e limitato [a, b] le seguenti funzioni: le funzioni su [a, b] le funzioni su [a, b] e di punti (discontinuità di tipo salto o eliminabile cioè di 1° o 3° specie) le funzioni su [a, b] le funzioni su [a, b] (ovvero per le quali esiste una suddivisione di [a, b] tale che f è monotona su ogni sottointervallo della suddivisione) N.B. se una funzione è monotona o monotona a tratti è integrabile anche se ha infiniti punti di discontinuità, mentre se non è monotona è integrabile solo se ha un numero finito di punti di discontinuità
CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI ESEMPIO funzioni limitate su [a, b] e discontinue in un numero finito di punti La funzione f(x) è integrabile su [0, 1] poiché è composizione di funzioni continue ed ha un solo punto di discontinuità
CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI ESEMPIO funzioni limitate su [a, b] e continue a tratti La funzione f(x) è discontinua in x = 0 e in x = 1 tuttavia è integrabile su [-1, 2] poiché è definita a tratti e quindi possiede un numero finito di discontinuità
CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI ESEMPIO funzione monotona a tratti La funzione f(x) è caratterizzata da un’infinità numerabile di punti di discontinuità tuttavia è integrabile in quanto monotona crescente
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI RIEMANN Sia f una funzioni integrabile su [a, b]. Allora: f è integrabile su ogni sottointervallo [c, d] ⊂ [a, b] la funzione |f | è integrabile su [a, b] DEFINIZIONE f è localmente integrabile su un intervallo I ⊆ R (I non necessariamente limitato) se f è integrabile su un qualsiasi intervallo chiuso e limitato contenuto in I
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI RIEMANN Sia f integrabile su un intervallo [a, b] e siano c, d ∈ [a, b] due punti qualsiasi tali che a ≤ c ≤ d ≤ b. Segue: PROPRIETÀ DEGLI ESTREMI DI INTEGRAZIONE : PROPRIETÀ DEGLI ESTREMI COINCIDENTI: d c f ( x dx ) f ( x dx ) c d c c f ( x ) dx 0
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO Siano f e g integrabili su un intervallo chiuso e limitato I Allora: LINEARITÀ DEGLI ESTREMIo PROPRIETÀ ADDITIVA ∀ a, b, c ∈ I e con a c b b c b a a c f ( x dx ) f ( x dx ) f ( x dx )
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO OMOGENEITÀ DELL’INTEGRALE b b f ( x dx ) f ( x dx ) R a a
PROPRIETÀ DI LINEARITÀ DELL’INTEGRALE TEOREMA Siano f (x) e g(x) due funzioni integrabili (in senso indefinito) su I Allora, , R , anche la funzione h(x) = f (x) g(x) è integrabile e si ha: b b b a a a f ( x ) g ( x ) dx f ( x dx ) g ( x dx )
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO POSITIVITÀSe f ≥ 0 in [a, b] ⊂ I , allora: Non vale il viceversa: esistono funzioni negative il cui integrale è non negativo b f ( x dx ) 0 a
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO CONFRONTO o DELLA MONOTONIA Se f (x) g(x) x [a, b] b b f ( x dx ) g ( x dx ) a a
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO MAGGIORAZIONE∀a, b ∈ I b b f ( x dx ) f ( x ) dx a a
AREA DEL TRAPEZOIDE PER UNA FUNZIONE INTEGRABILE a b f ( x ) dx L’area del trapezoide T (f ; a, b) è: GEOMETRICAMENTE L’integrale definito di una funzione f 0 in [a, b] definisce ed esprime l’area della superficie racchiusa tra l’asse delle ascisse e il diagramma di f in [a, b] Se f 0 l’integrale definito esprime l’area a meno di un segno meno Se f cambia di segno in [a, b] , il valore dell’integrale esprime il risultato della compensazione tra aree positive e negative
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO CONSEGUENZA DELLA LINEARITÀ DELL’INTEGRALE l’area di una regione piana compresa tra i grafici di due funzioni è data dall’integrale, tra a e b (a < b), della differenza fra la funzione “più alta” e quella “più bassa” AREA b a c b AREA f ( x ) g ( x ) dx a c g ( x ) f ( x ) dx f ( x ) g ( x ) dx
INTEGRAZIONE DI FUNZIONI SIMMETRICHE TEOREMA Sia a ∈ ∈ R+e sia f integrabile su [−a, a]. a ( ) f x dx a a 0 se 0 è f dispari : f(x) -f(-x) 2 f ( x se dx ) è f pari : f(x) f(-x)
