VAI con la BICI ...

1. Le Pierangiolate n.6 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta VAI con la BICI ...

2. Vai con la bici ... Giochi di Archimede ---- 22 novembre 2012 PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa?

3. PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 km. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa? Metodo ‘naif’ Matteo pedala per metà del tragitto casa-scuola-casa a 10 kmh Matteo pedala per l’altra metà del tragitto a 30 kmh Quindi la velocità media è:

4. Matteo pedala per metà del tragitto casa-scuola-casa a 10 kmh Matteo pedala per l’altra metà del tragitto a 30 kmh Quindi la velocità media è: visto che i calcoli sono giusti ... ... se il risultato non viene, vuol dire che il metodo è sbagliato. Problema: cosa c’è di sbagliato L nella prima casella

5. PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa? Questo dato è inutile! è un calcolo elementare che a 10 kmh per percorrere 2 km si impiegano 12 minuti Sarà mai possibile che anche questo dato sia inutile?

6. PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa? Quindi la velocità media è: sì, ma insomma cosa c’è di sbagliato

7. cosa c’è di sbagliato: spazio percorso velocità media nel tragitto di andata tempo impiegato velocità media nel tragitto di ritorno velocità media totale nel nostro caso s1 = s2 = s

8. Per dovere di completezza ... PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa? velocità media totale nel nostro caso

9. Se un auto percorre 10 Km a 80 kmh e altri 10 Km a 100 kmh la sua velocità media NON è 90 Kmh. Invece se un auto viaggia per 10 minuti a 80 kmh e per altri 10 minuti a 100 kmh la sua velocità media E’ 90 Kmh.

10. La proprietà che distingue il numeratore dal denominatore di una frazione e che impedisce per quest’ultimo il calcolo naif della media è la LINEARITA’ Una funzione F si chiama LINEARE se si comporta bene rispetto alla somma e alla sottrazione F( x1 + x2 ) = F( x1 ) + F( x2 ) F( - x1 ) = - F( x1 ) per OGNI scelta di x1, x2 nel dominio sto un po’ barando, ma solo un po’ ...

11. Una funzione F si chiama LINEARE se si comporta bene rispetto alla somma e alla sottrazione x1 , x2 x1 + x2 sommare applicare la F applicare la F F(x1), F(x2) F(x1 + x2) = ??? sommare F(x1) + F(x2) Quando vale l’uguaglianza, il diagramma si chiama COMMUTATIVO

12. Funzione numeratore (con denominatore fissato = t) x1 , x2 x1 + x2 sommare applicare la F applicare la F sommare = diagramma COMMUTATIVO

13. Funzione denominatore (con numeratore fissato = s) x1 , x2 x1 + x2 sommare applicare la F applicare la F = sommare diagramma NON COMMUTATIVO

14. i diagrammi non commutativi sono tutti intorno a noi perché in generale fare una cosa dopo l’altra NON SEMPRE è una procedura commutativa. prima guardare se viene nessuno e poi attraversare la strada non e la stessa cosa che prima attraversare la strada e poi guardare se viene nessuno

15. Grafico delle funzioni Funzione lineare = linea retta Funzione non lineare

16. Le funzioni lineari sono le più semplici da trattare x12 + x22  (x1 + x2)2 le potenze >1 non sono lineari le funzioni trigonometriche non sono lineari sen(x1 + x2)  sen(x1) + sen(x2) Le funzioni lineari sono quelle associate a polinomi di primo grado y = mx + q anche in più variabili: y = m1 x1 + m2 x2 + ... + mn xn + q

17. { i sistemi lineari (cioè quelli formati da equazioni di primo grado) sono gli unici che sappiamo risolvere efficientemente. a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + q1 = 0 b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn + q2 = 0 ..... i sistemi di equazioni di grado superiore possono essere risolti in modo approssimato, ricorrendo ad una riduzione a (molti) sistemi lineari. { a1 x12 + ... + an xn2 + q1 = 0 b1 x12 + ... + bn xn2 + q2 = 0 ..... In generale gran parte della Matematica consiste in una ricerca di metodi per ricondurre il problema originale ad un problema di primo grado spasmodica magari più complesso ...

18. Un esempio: le derivate. F( x ) = funzione non lineare la derivata in un punto rappresenta la pendenza o anche il coefficiente angolare della retta tangente la retta tangente è l’approssimazione lineare del grafico di F Studiando le derivate di una funzione noi studiamo di fatto la sua approssimazione lineare in ogni punto. La variazione della approssimazione lineare ci dà valide informazioni qualitative sulla forma del grafico (massimi, minimi, funzioni crescenti o decrescenti ...) la forma di un oggetto è descritta dalle variazioni del suo spazio tangente (cioè della approssimazione lineare).

19. la forma di un oggetto è descritta dalle variazioni del suo spazio tangente (cioè della approssimazione lineare). e noi (di fatto) lo sappiamo molto bene... quando tocchiamo un oggetto per scoprirne la forma, di fatto stiamo esaminando le variazioni del suo piano tangente .. anche i chiaroscuri, che permettono di riconoscere la forma di un oggetto con la vista, seguono la riflessione della luce, determinata dalle variazioni del piano tangente.

20. anche il nostro modo di ragionare è spesso lineare .... Barzelletta sui matematici Ragazzi, oggi è il mio giorno fortunato perchè? Mi ha attraversato la strada un gatto bianco... 1) Il colore del gatto influenza la giornata cioè esiste una funzione gatto() che associa al colore l'esito della giornata 2) gatto() è lineare Visto che gatto(nero) = sfortuna, allora - sfortuna = fortuna. gatto(bianco) = gatto(- nero) = - gatto(nero) = Sigmund Freud: I motti di spirito

21. ma torniamo alla nostra bicicletta PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa? Matteo viaggia per 2 Km in salita e per 2 Km in discesa, ma passa 12 minuti in salita, e 4 minuti in discesa! anche quando la strada percorsa in salita e discesa è la stessa, la vita del ciclista è principalmente in salita! (non linearità) PROBLEMA : se un amico di Matteo pedala 2 Km in avanti e 2 Km indietro, ma su una strada piana, chi impiega meno tempo: Matteo ad andare e tornare da scuola, o il suo amico a percorrere il circuito piano? se siete mai stati in bici, non avrete problemi a dare una risposta ... ma dal punto di vista matematico manca un dato: la velocità dell’amico di Matteo.

22. La salita non è l’unico «nemico» del ciclista c’è anche il vento ... Proviamo a riformulare il problema, mettendo il vento al posto della salita. Matteo e il suo amico Mattia decidono di fare una gara in bici. Matteo percorre 2 Km verso ovest e torna al punto di partenza. Mattia invece percorre 2 Km verso nord e poi torna alla partenza. Entrambi pedalano ad una velocità di 20 kmh, ma oggi c’è un forte vento, che spira da est a ovest, a 10 Kmh. Quindi Matteo percorre l’andata a favore di vento e il ritorno contro vento, mentre Mattia ha sempre vento trasversale. Chi vince la gara? Chiameremo la gara fra Matteo e Mattia gara MM

23. gara MM Esaminiamo la gara di Matteo. Matteo percorre i 2 Km di andata alla velocità di 30 Kmh (20 suoi + 10 del vento). A questa velocità si percorre 1 Km in 2 minuti. Matteo pertanto impiega 4 minuti a percorrere i 2 Km dell’andata. 30 Kmh Al ritorno invece Matteo viaggia a 10 Kmh (20 suoi – 10 del vento) quindi impiega 6 minuti a fare 1 Km. Pertanto al ritorno Matteo impiega 12 minuti. 10 Kmh tempo totale di Matteo = 4 + 12 = 16 minuti

24. gara MM tempo totale di Matteo = 16 minuti Esaminiamo la gara di Mattia. Mattia invece ha vento trasversale. Quindi è come se percorresse un tratto che lo porta più a est del punto da raggiungere, mentre il vento nel frattempo lo sospinge a ovest. 10 Kmh A B Poiché la velocità del vento è la metà di quella di Mattia, BA è la metà di OB. Quindi il triangolo OBA è la metà di un triangolo equilatero. 20 Kmh O

25. gara MM tempo totale di Matteo = 16 minuti vince Mattia A B Andare in direzione trasversale al vento è conveniente rispetto ad andare prima a favore di vento e poi contro vento. C O

26. Naturalmente, se ruotiamo i due percorsi di 90º la situazione si invertirebbe e allora vincerebbe Matteo equivale a ruotare di 90º la direzione del vento Mattia A O Matteo C A Se invece ruotiamo di 45º l’arrivo è alla pari. Mattia O la gara MM non è invariante per rotazioni. Matteo C

27. Nel movimento di rotazione (continua) ogni 90º le posizioni di Matteo e Mattia si scambiano. Mattia Ciò comporta che quello che prima era un vantaggio di Mattia, diventa un vantaggio di Matteo. O Cioè un vantaggio negativo per Mattia. Matteo TEOREMA Se una funzione continua in un intervallo prende valori positivi e negativi, allora si annulla in almeno un punto. O

28. La gara MM è la riedizione di un famoso esperimento, detto esperimento MM, dai due fisici Michelson e Morley che lo effettuarono nel 1887. La luce si propaga attraverso lo spazio mediante onde Come le onde sonore si propagano nell’aria, quelle luminose si propagano attraverso un mezzo, chiamato etere. La Terra si muove nello spazio, quindi si muove attraverso l’etere. In che direzione? Con che velocità? L’esperimento di Michelson e Morley serviva per trovare velocità e direzione del movimento della Terra rispetto all’etere.

29. esperimento MM L’ esperimento MM mandava due raggi avanti e indietro, in due direzioni ad angolo retto. Un interferometro determinava la differenza fra il ritorno dei due raggi. Come nella gara MM, il raggio che va avanti e indietro nella direzione dell’etere dovrebbe impiegare un tempo maggiore, rispetto al raggio che va in direzione trasversale. etere L’interferometro, estremamente preciso, avrebbe misurato anche una minima differenza nel ritorno dei due raggi. L’esperimento fu ripetuto varie volte, ruotando l’apparecchio in varie posizioni. Non fu registrata alcuna differenza nel ritorno dei due raggi.

30. esperimento MM Non fu registrata alcuna differenza nel ritorno dei due raggi. tentativi di spiegazione 30 Km/sec La Terra era forse ferma rispetto all’etere? Se anche la Terra è ferma rispetto all’etere in un giorno dell’anno, dopo sei mesi si muove velocemente. - 30 Km/sec L’esperimento ripetuto dopo sei mesi, dette lo stesso risultato. Tutto sarebbe contro questa ipotesi. La Terra è il centro dell’Universo?

31. La situazione fu spiegata dalla Teoria della Relatività di Einstein. Molto ben esposta nel libro di Durell. Nella teoria di Einstein, il tempo e lo spazio si deformano se l’osservatore è in moto (con velocità simili alla velocità della luce). Le formule della velocità ne risentono e cambiano in modo non lineare per gli osservatori in moto.

32. La situazione fu spiegata dalla Teoria della Relatività di Einstein. Le formule della velocità ne risentono e cambiano in modo non lineare per gli osservatori in moto. Osservatore in moto. Dove u è il rapporto fra la velocità del secondo osservatore e la velocità della luce. non lineare in x, t horror non-linearitatis

33. ma torniamo alla gara MM Cosa succede se Matteo e Mattia, invece di andare avanti e indietro, seguono un percorso circolare? O

34. Cosa succede se Matteo e Mattia, invece di andare avanti e indietro, seguono un percorso circolare? Esaminiamo la gara di Matteo. In ogni istante Matteo va con velocità 20 Kmh in direzione tangente alla circonferenza Ma il vento lo sospinge verso ovest a 10 Kmh O La velocità di Matteo è pertanto la proiezione, sulla retta tangente della risultante P quindi dipende dal punto P = (x,y) Per calcolare il tempo impiegato da Matteo, bisogna risolvere un integrale curvilineo

35. Per calcolare il tempo impiegato da Matteo, bisogna risolvere un integrale curvilineo. Ma se ci interessa solo sapere chi vince la gara MM, possiamo ragionare così: Il tempo impiegato per percorrere un circuito è indipendente dal punto di partenza o dal verso di percorrenza. Se cambiamo punto di partenza e verso di percorrenza, Mattia e Matteo viaggiano in modo sincrono, quindi compiono un giro nello stesso tempo. O NON La Matematica serve a fare i conti NON O’

36. Cosa succede se Matteo e Mattia, invece di andare avanti e indietro, seguono un percorso ellittico? O Questo caso può essere risolto per deformazione continua ... rette ellissi cerchi O O O

37. Quali sono i percorsi in cui Matteo e Mattia impiegano lo stesso tempo? concetto di uguaglianza in Geometria = congruenza sono uguali? sono uguali? Nella Geometria Euclidea, due figure sono congruenti se esiste un movimento rigido del piano che la porta a coincidere traslazioni, rotazioni, simmetrie Ma se c’è vento, le direzioni non sono più tutte uguali, quindi le rotazioni non sono ammesse.

38. La gara MM non è invariante per rotazioni. GEOMETRIA MM Nella Geometria MM, due figure sono «uguali» se coincidono dopo un movimento rigido del piano, che non altera la direzione del vento. quindi le rotazioni non sono ammesse. sono uguali nella Geometria Euclidea non sono uguali nella Geometria MM Geometria non Euclidea traslazioni Nella geometria MM sono ammesse simmetrie rispetto all’asse del vento simmetrie rispetto ad un asse ortogonale alla direzione del vento. qui il vento cambia verso, non direzione

39. I due triangoli sono sovrapponibili mediante simmetria rispetto all’asse x, all’asse y e traslazione. Quindi sono uguali nella Geometria MM. O Matteo e Mattia li percorrerebbero nello stesso tempo. Felix Christian Klein Nel Programma di Erlangen (1872) fu il primo a definire la Geometria come «la parte della Matematica che si occupa delle proprietà degli oggetti, invarianti rispetto ad un prefissato gruppo di trasformazioni».

40. traslazioni Nella geometria MM sono ammesse simmetrie rispetto all’asse del vento simmetrie rispetto ad un asse ortogonale alla direzione del vento. traslazioni f(x, y) = (x+a, y+b) simmetrie rispetto all’asse del vento g(x, y) = (x, - y) e sequenze ... simmetrie rispetto ad un asse ortogonale alla direzione del vento h(x, y) = (- x, y) se partiamo da un punto P = (x, y) eseguiamo una traslazione f(P) = (x+a, y+b) poi eseguiamo una simmetria g(f(P)) = g(x+a, y+b) = (x+a, -y-b) oppure eseguiamo una simmetria g(P) = (x, - y) poi eseguiamo una traslazione f(g(P)) = f(x, - y) = (x+a, -y+b) non otteniamo lo stesso risultato

41. fare prima una traslazione e poi una simmetria non è la stessa cosa che fare prima una simmetria e poi una traslazione. Il mondo è pieno di operazioni non commutative. Le potrete studiare solo negli insegnamenti di Algebra di un Corso di Laurea in Matematica per esempio, all’Università degli Studi di Siena.

42. Grazie per l’attenzione