Logique du premier ordre (Logique de prédicats)

1. Logique du premier ordre(Logique de prédicats) Chap. 8

2. Plan • Pourquoi utiliser la logique du premier ordre (LPO)? • Syntaxe et sémantique • Utiliser la LPO • Le monde de Wumpus en LPO • Engenierie de connaissances dans LPO

3. Logique propositionnelle: pours et contres • Logique propositionnelle est déclarative  Logique propositionnelle permet d’exprimer des informations partielles/disjonctives/négatives • (contraste avec la plupart des structures de données et les bases de données) • Logique propositionnelle est compositionnelle: • Le sens du tout est composé des sens des parties • Sens de B1,1 P1,2 est dérivé du sens de B1,1 et de P1,2  Sens dans logique propositionnelle est hors-contexte (context-independent) • (différent de la langue naturelle où le sens est dépendant du contexte)  Logique propositionnelle est limitée en capacité d’expression • (pas comme en langue naturelle) • E.g., ne peut pas exprimer ”les fosses causent la brise dans les carrés adjacents” • À moins d’écrire une phrase par carré

4. Logique du premier ordre • Logique propositionnelle suppose que le monde contient des faits, • Logique du premier ordre suppose que le monde contient: • Objets (D): personnes, maisons, nombres, couleurs, match de baseball, guerre, … • Relations (Dn{vrai, faux}): rouge, rond, nombre-premier, est frère de, est plus grand que, est partie de, … • Fonctions (DnD): père de, meilleur ami de, un de plus que, …

5. Fonction vs. prédicat Jean Marie Philippe • Fonction: père_de(Philippe) = Jean • Prédicat: est_père_de(Jean, Philippe) = vrai • Les noms importent peu. C’est la définition qui est importante.

6. Syntaxe de LPO: éléments de base • Constantes KingJohn, 2, UdeM,... • Prédicats Brother, >,... • Fonctions Sqrt, LeftLegOf,... • Variables x, y, a, b,... (minuscule) • Connecteurs , , , ,  • Égalité = • Quantificateurs , 

7. Phrases atomiques Phrase atomique = prédicat (terme1,...,termen) | terme1 = terme2 Terme = fonction (terme1,...,termen) | constante | variable • E.g., Brother(KingJohn,RichardTheLionheart) > (Length(LeftLegOf(Richard)), Length(LeftLegOf(KingJohn))) prédicat phrase constante terme fonction

8. Phrases complexes • Les phrases complexes sont composées des phrases atomiques avec des connecteurs S, S1 S2, S1  S2, S1 S2, S1S2, E.g. Sibling(KingJohn,Richard) Sibling(Richard,KingJohn) >(1,2)  ≤ (1,2) >(1,2)  >(1,2)

9. Valeur de vérité en LPO • Les phrases sont vraies par rapport à un modèle et à une interprétation • Un modèle contient des objets (éléments du domaine) et des relations entre eux • Une interprétation spécifie les référés pour Symboles de constante→objets (la personne John) symboles de prédicat→relations (relation de père-fils) symboles de fonction→ relation fonctionnelle (père-de) • Une phrase atomique prédicat(terme1,...,termen) est vraie ssi les objets référés par terme1,...,termen sont en relation référée par prédicat

10. Modèle de LPO: Exemple • Prédicat: brother(Richard, John) • Interprétation de symboles • Évaluation de valeur de vérité: vraie parce que la relation brother se vérifie • Fonction: left_leg(John) • Interprétation • Évaluation:

11. Quantificateur Universel • <variables> <phrase> Everyone at UdeM is smart (Tout le monde dans UdeM est intelligent): x At(x,UdeM)  Smart(x) • x P est vraie dans un modèle m ssi P est vraie avec chaque objet qu’on peut assigner à x dans son domaine • Grosso modo: équivalent à la conjonction des instantiations de P At(KingJohn,UdeM)  Smart(KingJohn)  At(Richard,UdeM)  Smart(Richard)  At(UdeM,UdeM)  Smart(UdeM)  ...

12. Une erreur commune à éviter • typiquement,  est le connecteur principal avec  • Erreur commune: utiliser  comme connecteur principal avec : • Correct Tout le monde dans UdeM est intelligent): x At(x,UdeM)  Smart(x) • Incorrect x At(x,UdeM)  Smart(x) signifie “Everyone is at UdeM and everyone is smart”(tout le monde est à UdeM et tout le monde est intelligent)

13. Illustration Person smart UdeM UdeM x At(x,UdeM)  Smart(x) (Sous-ensemble) x At(x,UdeM)  Smart(x)

14. Quantification existentielle • <variables> <phrase> • Someone at UdeM is smart (Quelqu’un à UdeM est intelligent): • x At(x,UdeM)  Smart(x) • xP est vraie dans un modèle m ssi P est vraie avec x associée à un certain objet possible dans le modèle • Grosso modo: équivalent à la disjonction d’instanciations de P At(KingJohn,UdeM)  Smart(KingJohn)  At(Richard,UdeM)  Smart(Richard)  At(UdeM,UdeM)  Smart(UdeM)  ...

15. Une autre erreur commune à éviter • Typiquement,  est généralement utilisé avec • Erreur commune: utiliser  comme le connecteur principal avec : • Correct x At(x,UdeM)  Smart(x) • Incorrect x At(x,UdeM)  Smart(x) est vraie s’il existe quelqu’un qui n’est pas à UdeM !

16. Illustration Person smart UdeM UdeM x At(x,UdeM)  Smart(x) (intersection non vide) x At(x,UdeM)  Smart(x) x x

17. Quelques exemples • Toute personne est mortel. Socrate est une personne. x Personne(x)  Mortel(x) Personne(Socrate) • Socrate est mortel. Mortel(Socrate) • IFT3335 est un cours à UdeM. Cours(IFT3335)  Donné_à(IFT3335, UdeM) ou Cours(IFT3335,UdeM) • Tous ceux qui suivent le cours IFT3335 sont des étudiants à UdeM. • Ceux qui suivent le cours IFT3335: x Suivre(x,IFT3335)  Cours(IFT3335) • Étudiants à UdeM: Étudiant(x,UdeM) • Toute la phrase: x Suivre(x,IFT3335)  Cours(IFT3335)  Étudiant(x,UdeM) • Certains dans le cours IFT3335 sont des étudiants à UdeM. x Suivre(x,IFT3335)  Cours(IFT3335)  Étudiant(x,UdeM) • Propriété: Jean est un étudiant. • Étudiant(Jean) • Ou x Étudiant(Jean, x) • Négation: Aucun est irremplaçable. • x Personne(x)  Remplaçable(x) • x Personne(x)  Remplaçable(x) ?

18. Propriétés des quantificateurs • x y est équivalent à yx • x y est équivalent à yx • x y n’est pas équivalent às yx • x y Loves(x,y) • “There is a person who loves everyone in the world” • yx Loves(x,y) • “Everyone in the world is loved by at least one person” • Dualité de quantificateurs:chacun peut être exprimé en utilisant l’autre: x P = x P, x P = xP • x Likes(x,IceCream) x Likes(x,IceCream) • x Likes(x,Broccoli) xLikes(x,Broccoli)

19. Égalité • terme1 = terme2est vrai sous une interprétation donnée ssi terme1et terme2réfèrent au même objet (= est un prédicat spécial) • E.g., définition de Sibling en terme de Parent: x,ySibling(x,y)  [(x = y)  m,f  (m = f)  Parent(m,x)  Parent(f,x)  Parent(m,y)  Parent(f,y)]

20. Utiliser LPO Le domaine de parenté: • Brothers are siblings x,y Brother(x,y) Sibling(x,y) • One's mother is one's female parent m,c Mother(c) = m (Female(m) Parent(m,c)) • “Sibling” is symmetric x,y Sibling(x,y) Sibling(y,x)

21. Utiliser LPO Le domaine des ensembles: • s Set(s)  (s = {} )  (x,s2 Set(s2)  s = {x|s2}) • x,s {x|s} = {} • x,s x  s  s = {x|s} • x,s x  s  [ y,s2 (s = {y|s2}  (x = y  x  s2))] • s1,s2 s1 s2 (x x  s1 x  s2) • s1,s2 (s1 = s2)  (s1 s2 s2 s1) • x,s1,s2 x  (s1 s2)  (x  s1 x  s2) • x,s1,s2 x  (s1 s2)  (x  s1 x  s2)

22. Interagir avec une base de connaissances en LPO • Supposons que l’agent dans le monde de wumpus utilise une base de connaissances (KB) en LPO. Il perçoit une odeur et une brise (mais pas de scintillement) à t=5: Tell(KB,Percept([Smell,Breeze,None],5)) Ask(KB,a BestAction(a,5)) • I.e., Est-ce que la KB entraîne une certaine meilleure action à t=5? • Réponse: Yes, {a/Shoot} ← substitution (binding list) • Étant donné une phrase S et une substitution σ, • Sσ dénote le résultat de l’application de σ sur S; e.g., S = Smarter(x,y) σ = {x/Hillary,y/Bill} Sσ = Smarter(Hillary,Bill) • Ask(KB,S) retourne une/toute σ telle que KB╞σ

23. Substitution • Remplacer une variable par un terme (constante, variable, ou fonction) x/Terme • {x/Hillary, y/Bill} • {x/y, z/Bill} • {x/Mère_de(z), y/Père_de(z)} • Contraintes • x ne doit pas apparaître dans Terme • {x/Mère_de(x)} X • Une variable ne peut pas être substituée 2 fois • {x/Jean, x/Philippe} X • Sert à instancier une expression générale (contenant des variables) et à unifier deux expressions (voir plus tard)

24. Application d’une substitution • x/Terme: Remplacer toutes occurrences de la variable par le Terme e.g. Smarter(x,z) {x/y, z/Bill} : Smarter(y,Bill) Smarter(x,y) {x/y, z/Bill} : Smarter(y,y) (Smarter(x,z)  President(z,c)  Country(c) ) {x/y, z/Bill}: Smarter(y,Bill)  President(Bill,c)  Country(c) • Composition des substitutions σ1● σ2: appliquer σ1 ensuite σ2 = appliquer σ2 sur σ1 et faire l’union avec σ2 e.g. {y/z, x/Bill} ● {z/Hillary, v/Chelsea} = {y/Hillary, x/Bill}  {z/Hillary, v/Chelsea} = {y/Hillary, x/Bill, z/Hillary, v/Chelsea}

25. Pourquoi substitution? • Tout homme est mortel. • Socrate est un homme. • Donc, Socrate est mortel. x Homme(x)  Mortel(x) Homme(Socrate) Mortel(Socrate) Homme(Socrate)  Mortel(Socrate) Homme(Socrate) Mortel(Socrate) σ={x/Socrate}

26. Base de conaissances pour le monde de wumpus • Perception • t,s,b Percept([s,b,Glitter],t)  Glitter(t) • Réflex • t Glitter(t)  BestAction(Grab,t) • Note: variables  exprimer une connaissance générale sur un ensemble d’objets (carrés, temps, etc.)

27. Déduire les propriétés cachées • x,y,a,b Adjacent([x,y],[a,b])  [a,b]  {[x+1,y], [x-1,y],[x,y+1],[x,y-1]} Propriétés des carrés (avec temps t): • s,t At(Agent,s,t)  Breeze(t)  Breezy(s) Les carrés à coté d’une fosse sont odorantes (smelly): • Règle de diagnostic ---effet  cause s Breezy(s) r Adjacent(r,s)  Pit(r) • Règle causale --- cause  effet r Pit(r)  [s Adjacent(r,s)  Breezy(s) ]

28. Remarque:Que signifie “premier ordre”? • On peut utiliser une variable pour représenter des objets seulement • Pas de variable pour des prédicats ou des fonctions • xy Personne(x)  y(x, USA) • Il y a une personne (x) qui a une certaine relation (y) avec USA • Logique du second ordre • Certaines de ces expressions du second ordre peuvent être réécrites en expressio du premier ordre • E.g. Relation(x, USA, y)

29. Ingénierie de connaissances dans LPO • Identifier la tâche • Assembler les connaissances pertinentes • Décider sur le vocabulaire de prédicats, de fonctions et de constantes • Encoder les connaissances générales dans le domaine • Encoder une description de l’instance spécifique du problème • Poser des questions à la procédure d’inférence et obtenir des réponses • Debugger la base de connaissances

30. Le domaine de circuits électroniques Additionneur d’un bit

31. Le domaine de circuits électroniques • Identifier la tâche • Est-ce que le circuit additionne correctement? (vérification de circuit ) • Assembler les connaissances pertinentes • Des circuits composés de fils et de portes; Types de portes (AND, OR, XOR, NOT) • Non pertinents: taille, forme, couleur, coût de portes • Décider sur le vocabulaire • Alternatives: Type(X1) = XOR Type(X1, XOR) XOR(X1)

32. Le domaine de circuits électroniques • Encoder les connaissances générales du domaine • t1,t2 Connected(t1, t2)  Signal(t1) = Signal(t2) • t Signal(t) = 1  Signal(t) = 0 • 1 ≠ 0 • t1,t2 Connected(t1, t2)  Connected(t2, t1) • g Type(g) = OR  Signal(Out(1,g)) = 1 n Signal(In(n,g)) = 1 • g Type(g) = AND  Signal(Out(1,g)) = 0 n Signal(In(n,g)) = 0 • g Type(g) = XOR  Signal(Out(1,g)) = 1  Signal(In(1,g)) ≠ Signal(In(2,g)) • g Type(g) = NOT  Signal(Out(1,g)) ≠ Signal(In(1,g))

33. Le domaine de circuits électroniques • Encoder l’instance spécifique du problème Type(X1) = XOR Type(X2) = XOR Type(A1) = AND Type(A2) = AND Type(O1) = OR Connected(Out(1,X1),In(1,X2)) Connected(In(1,C1),In(1,X1)) Connected(Out(1,X1),In(2,A2)) Connected(In(1,C1),In(1,A1)) Connected(Out(1,A2),In(1,O1)) Connected(In(2,C1),In(2,X1)) Connected(Out(1,A1),In(2,O1)) Connected(In(2,C1),In(2,A1)) Connected(Out(1,X2),Out(1,C1)) Connected(In(3,C1),In(2,X2)) Connected(Out(1,O1),Out(2,C1)) Connected(In(3,C1),In(1,A2))

34. Le domaine de circuits électroniques • Poser des questions à la procédure d’inférence • Quels sont les ensembles de valeurs possibles de tous les terminaux pour le circuit additionneur? i1,i2,i3,o1,o2 Signal(In(1,C1)) = i1 Signal(In(2,C1)) = i2 Signal(In(3,C1)) = i3 Signal(Out(1,C1)) = o1 Signal(Out(2,C1)) = o2 • Debugger la base de connaissances • Peut oublier des affirmations (assertions) comme 1 ≠ 0

35. Sommaire • Logique du premier ordre: • Objets et relations sont des primitives sémantiques • syntaxe: constantes, fonctions, prédicats, égalité, quantificateurs • Capacité d’expression plus grande: suffisant pour définir le monde de wumpus