第六节多元函数的极值

第六节多元函数的极值 一多元函数的极值二多元函数的最值三条件极值

则称函数在点P0处取得极大值 则称函数在点P0处取得极小值设函数在点的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点都有如果有一多元函数的极值 1 极值的定义函数的极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

例如函数 在点（0，0）处取得极小值，如下左图： z z o o y y x x 函数在点（0，0）处取得极大值，如上右图：如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。

定理1 设函数在点 处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点有证明：则是一个一元函数，又因为对若固定因为是函数的极值，函数在处取得极值，处可导，故同理可证 2 二元函数极值存在的必要条件则该

定理1 设函数在点 的某个邻域内具有二阶连续的偏导数，且点是函数的驻点，即设则（1）当且时，且时，点是极值点，点是极大值点，点是极小值点。将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点，则必要条件可叙述为：可微函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 3 极值存在的充分条件

（2）当时，点 不是极值点。不能确定点（3）当时，第二步：解方程组是否为极值点。求得一切实数解，可得一切驻点。第四步：定出的符号，按充分条件的结论做出结论。总结：求极值的步骤：第一步：确定定义域（若未给出）；第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C。

解：此函数的定义域为 解方程组例1 求函数的极值。所以故函数在点（0，1）取得极小值，为0。解得驻点（0，1），又

解：此函数的定义域为 解方程组例2 求函数的极值。解得驻点P1(-1,-1)， P2(0,0)， P3(-1,-1)，又列表讨论如下：

驻点 P1（-1，-1） P2（0，0） P3（1，1）参数 10 10 A -2 B -2 -2 -2 10 -2 10 C 0 B2-AC -96 -96 z -2 极小值 0 不能确定 -2 极小值

例3 求证函数 有无穷多个极大值点而无一个极小值点。解：此函数的定义域为解方程组得又所以

无极值。 且A= 故当为奇数时，故当为偶数时， -2〈0，函数z有极大值，即当时，函数有极大值。所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。由于取整数，

函数如果在有界闭区域D上连续，则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元函数的最值，也可能在区域D内的驻点、不可微点或区域的边界上取得。二多元函数的最值求二元函数最值的方法是：将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值。

例4 求函数 在闭区域上的最值。在D的边界上，将代入函数中得解：由于函数z在区域D内处处可微，解方程组得驻点（6，-8），函数在该点处的值为

由于所以在边界上函数的最大值为125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上的最大值为125，最小值为-100。例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。在体积V是一定量的情况下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材料最省？

解：设圆柱的底面半径为 ，高为H，圆锥的高为，由题意得所以又定义域为解方程组

解得驻点 代入H的表达式得。故制作时应取才能使制作材料最省。从实际考虑，此浮标在体积V一定的条件下，存在最小的表面积。总结求实际问题的最值步骤如下：第一步：建立函数关系式，确定定义域；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。

解：中得这是一个一元函数，可用一元函数求极值的方法解，不难得到在点处取得极值为并代入从中解出在的条件下，求函数的极值。这类问题称为条件极值，称为约束条件。三条件极值先看如下的例子：当把约束条件代入函数（称目标函数）时，条件极值化为无条件极值。

对于条件极值问题，我们经常采用所谓—— Lagrange乘数法，步骤如下：第一步：构造辅助函数（Lagrange函数）；第二步：解方程组第三步：判断所有驻点是否为极值点。

例6 某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总 产量为42件，如果生产甲产品件，生产乙产品件，则总成本函数为单位为元，求最小成本。解：约束条件为构造 Lagrange 函数：解方程组：

（1）如：目标函数为： 约束条件为：，可设Lagrange函数：得驻点（25，17）。由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得最小值，即应计划每天生产甲产品25件，乙产品17件，才能取得最小的成本，为： C（25，17）=8×252-25×17+12×172 =8043（元）这个方法还可以推广：然后解下面方程组讨论。

（2）如目标函数为： 约束条件有两个：可设Lagrange函数：然后解右侧方程组加以讨论。

第六节 多元函数的极值