230 likes | 400 Views
UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVU JEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA. FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA ZAVOD ZA MATEMATIKU. Ivica Gusić, red. prof. dr. sc. Miroslav Jerković, dr. sc. Leo Mandić Tomislav Suhina.
E N D
UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVUJEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA ZAVOD ZAMATEMATIKU Ivica Gusić, red. prof. dr. sc. Miroslav Jerković, dr. sc. Leo Mandić Tomislav Suhina
SADRŽAJ UVOD RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA MATHEMATICA ZAKLJUČAK LITERATURA
Parcijalna diferencijalna jednadžba (PDE) jest jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije. • PDE je linearna ako je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama. • U primjenama su najvažnije PDE drugog stupnja.
PDE općenito imaju vrlo velik broj različitih rješenja. • Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadţbemože se dobiti korištenjem dodatnih uvjeta koji proizlaze iz problema. • To mogu biti rubni uvjeti i početni uvjeti.
Općenito, toplinska jednadžba glasi: • Naziva se i difuzijskom jednadžbom.
Za metalni štap kod kojeg se toplina prenosi samo duž osi apscisa trodimenzionalna toplinska jednadžba prelazi u jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu: • Uz početni uvjet i rubne uvjete, nakon separacije varijabli, zadovoljavanja rubnih uvjeta, kao i početnog uvjeta, konačno rješenje jednadžbe je:
Ovo rješenje dobiva se uz pretpostavku da je f(x) kontinuirana po dijelovima na intervalu i da ima jednostrane derivacije u svim nutarnjim točkama tog intervala. • Zbog eksponencijalnog faktora, svi se članovi u približavaju nuli kako vrijeme teži beskonačnosti.
RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA
Dosada smo razmatrali jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu za slučaj kada imamo štap konačne duljine. • U slučaju štapa beskonačnih duljina (odnosno vrlo dugačkih štapova), Fourierove redove potrebno je zamijeniti Fourierovim integralima.
U tom slučaju, nakon sličnog postupka kao i za štap konačne duljine, rješenje jednodimenzionalne toplinske jednadžbe za beskonačno dugačak štap je:
Kao primjer imamo štap koji je uronjen u kupelj temperature 100 °C, a na krajevima je temperatura jednaka nuli. • Rješenje ima oblik: • Vrijedi:
n=41 n=11 Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2= 0.1), različit broj članova Fourierova reda (n))
c2=0,3 c2=0,5 Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2), konstantan broj članova Fourierova reda (n = 15))
Parcijalne diferencijalne jednadžbe su modeli za različite fizikalne i geometrijske probleme. • Jedna od takvih jednadžbi jest i jednodimenzionalna toplinska jednadžba. • Njezina važna primjena je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap.
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, John Wiley and Sons, Inc., 2006., 535. – 536., 552. – 554. i 562. – 564. str. http://demonstrations.wolfram.com/HeatTransferAlongARod/