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Enteros, reales. Álgebra Superior. El conjunto de los enteros. El conjunto de los enteros esta constituido por los números enteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmente se representa mediante la letra Z . Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
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Enteros, reales Álgebra Superior
El conjunto de los enteros El conjunto de los enteros esta constituido por los números enteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmente se representa mediante la letra Z. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} La recta numérica sirve para representar gráficamente conjuntos de números. 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 7 8
El anillo de los enteros Los enteros forman lo que se conoce como un anillo. Un anillo es un conjunto dotado de las propiedades que se más adelante. En los enteros se definen dos operaciones la suma y la multiplicación. Las propiedades de estas operaciones se listan a continuación.
Valor absoluto de un entero Definimos el valor absoluto como sigue. El valor absoluto de a se denota por |a| = a si a > 0 y |a| = –a si a < 0. Símbolicamente: a > 0 |a| = a a < 0 |a| = –a Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al eliminar el signo que lo precede. |4| = 4 |–33| = 33 |+45| = 45
Propiedades Axioma 1. Propiedad conmutativa de la suma. Si a y bZ, entonces a + b = b + a Axioma 2. Propiedad asociativa de la suma. Si a, b y cZ, entonces (a + b) + c = a + (b + c) Axioma 3. Elemento neutro de la suma. Si aZ, entonces a + 0= 0 + a = a Axioma 4. Inverso aditivo. Si aZ, entonces a + (–a)= (–a) + a = 0
Propiedades (cont.) Axioma 5. Propiedad conmutativa de la multiplicación. Si a y bZ, entonces ab = ba Axioma 6. Propiedad asociativa de la multiplicación. Si a, b y cZ, entonces (ab)c = a(bc) Axioma 7. Elemento neutro de la multiplicación. Si aZ, entonces a1= 1 a = a Axioma 8. Propiedad distributiva de la multiplicación y la suma. Si a, b y cZ, entonces a(b + c) = ac + ab (a + b)c = ac + bc
Propiedades del anillo de los enteros Ley de cancelación Se cumple la siguiente proposición: si a, b y cZ ya + b = a + c, entonces b = c. Demostración. Suponemos a + b = a + c. Sumamos a cada miembro de la igualdad el inverso aditivo de a. (–a) + (a + b) = (–a) + (a + c) Por la propiedad asociativa. ((–a) + a) + b = ((–a) + a) + c Por el axioma de elemento inverso de la suma. 0 + b = 0 + c Dado que 0 es el elemento neutro de la suma. b = c
Propiedades del anillo de los enteros (cont.) Si a y bZ ya + b = a, entonces b = 0. Para todo entero a0 = 0a = 0. Se cumple que –(–a) = a. Se cumple la siguiente regla de signos para el producto de dos enteros. (–a)b = –ab (–a) (–b) = ab
Diferencia de enteros Definimos la diferencia de dos enteros de la siguiente manera. Si a y bZ,a – b es la diferencia de a y b y se calcula como. a – b = a + (–b) Se cumple la siguiente ley distributiva. Si a y bZ,a(b – c) = ab – ac
Ley de cancelación para la multiplicación Si a, b y cZ, y a 0, entonces ab = ac implica b = c. Demostración. Ya ab = ac que tenemos que ab – ac = 0, de donde a(b – c) = 0 y como a 0, entonces b – c = 0, o b = c.
Orden en los enteros El conjunto de los enteros es un conjunto ordenado. Dados dos números enteros el mayor de ellos es el que se encuentra más a la derecha en la recta numérica y el menor es el que está a la izquierda. Así, 3 > 2, 5 < 7,–3 < –2, 0 > –5. Definimos el conjunto de los naturales N como el conjunto formado por los enteros positivos, es decir N = {1, 2, 3, 4, …}. Con este conjunto podemos precisar el orden en los enteros.
Propiedades de los naturales Se cumplen las siguientes propiedades. La suma de dos números naturales es un número natural. El producto de dos números naturales es un número natural. Si a es un número entero, solo se cumple una de las siguientes: 1. a es un número natural. 2. a = 0. 3. –a es número natural.
Operador > Si a y bZ, se dice que a es mayor que b si a – b es un número natural. Es decir, la diferencia de a y b es positiva. Ejemplo: 5 > 4 ya que 5 – 4 = 1 N – 3 > – 5 ya que – 3 –(– 5) = – 3 + 5 = 2 N 6 > – 6 ya que 6 –(– 6) = – 6 + 6 = 12 N
Propiedades de > Se cumple la siguiente propiedad transitiva. Si a > b y b > c, entonces a > c. También se cumple que Si a, b y cZ, y a > b, entonces a + c > b + c. Si a > b, entonces –a < – b. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
Inducción Un conjunto es inductivo si, para cada aÎ A, entonces a + 1 también pertenece a A. El conjunto de los números naturales que incluye al 0 es un conjunto inductivo. Los siguientes pasos se siguen para hacer demostraciones inductivas. • Probar que la proposición se cumple para 0. • Suponer que la proposición se cumple para n y probar que esto implica que se cumpla para n + 1. • Deducir que la proposición se cumple para todos los elementos de N.
Ejemplo 1 Sea Hn = 0 si n = 0 y Hn+1 = 1 + 2Hn. Demostrar Hn = 2n – 1 BI: H0 = 20 – 1 = 1 – 1 = 0 HI: se cumple Hn = 2n – 1 Hn+1 = 1 + 2Hn= 1 + 2(2n – 1) = 1 + 2n+1 – 2 = 2n+1 – 1 Conclusión: n: Hn = 2n – 1
Ejemplo 2 Para todo n: 2(n + 2) (n + 2)2. BI: 2(0 + 2) (0 + 2)2 o 4 = 4 HI: 2(n + 2) (n + 2)2. 2(n + 1 + 2) (n +1+ 2)2. 2(n + 3) (n + 3)2. 2(n + 2) + 2 (n + 3)2. = n2 + 6n + 9 = n2 + 4n +4+2n+5 2(n + 2) + 2 (n + 2)2 + 2n+5 Por la hipótesis inductiva eliminamos 2(n + 2) (n + 2)2. 2 2n+5 Ya que esta se cumple para toda n, se cumple la hipótesis inductiva.
Ejemplo 3 Para todo n3 + 2n es divisible por 3. BI: 03 + 2·0 = 0 + 0 = 0 es divisible por 3. HI: n3 + 2n = 3k (n+1)3+2(n+1) = n3+3n2+3n+1+2n+2 = n3+2n+3n2+3n+3 = 3k+3(n2+n+1) Este número es divisible por 3, por lo tanto se cumple la hipótesis inductiva.
Modificación de la base inductiva La base inductiva no debe ser siempre con n = 0. Podemos comenzar en cualquier n0, tomando P(n0) como base de inducción. P(n0) n(P(n n0) P(n+1)) nP(n n0)
Ejemplo 4 Para todo 2n < n! para n 4. BI: 24 < 4! o 16 < 24 HI: 2n < n! 2·2n = 2n+1 < 2·n! < (n+1)·n! = (n+1)!
Ejemplo 5 Para todo 1+23+33+43+…+n3 = (n(n+1)/2)2 . BI: 1 = (1(1+1)/2)2 = 12 = 1 HI: 1+23+33+43+…+n3 = (n(n+1)/2)2 1+23+33+43+…+n3 + (n+1)3= (n(n+1)/2)2 + (n+1)3 = (n2(n+1)2/4) + (n+1)3 = (n+1)2(n2 + 4(n+1))/4 = (n+1)2 (n+2)2/4 = = ((n+1)(n+2)/2) 2
Ejemplo 6 Para todo 32n+1+2n+2es divisible por 7. BI: 31+21 = 7 HI: 32n+1+2n+2 = 7m 32(n+1)+1+2(n+1+2) = 32n+3+2n+3 = 3232n+1 + 212n+2= = 9x32n+1 + 2x2n+2 = 7x32n+1 + 2x32n+1 + 2x2n+2 = 7x32n+1 + 2(32n+1 + 2n+2) = 7x 32n+1 + 2 (7m) = 7(32n+1 + 2) Conclusión: 32n+1+2n+2es divisible por 7.
Divisibilidad Un entero a es divisible por un entero b si existe un entero c tal que: a = b·c Se dice que a es un múltiplo de b. Un número que tiene solo dos divisores, 1 y el mismo, se llaman número primo. Los números que no son primos se les llama compuestos. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b.
Propiedades de la divisibilidad Sean a, b, y c Z. Tenemos las siguientes propiedades básicas: a|a (Propiedad Reflexiva). Si a|b y b|c, entonces a|c (Propiedad Transitiva). Si a|b, entonces |a| |b|. Si a|b y b|a , entonces |a| = |b|. Si a|b y a 0, entonces b/a|b . Si a|b y a|c entonces a|(b+c). Si a|b y c es un entero, entonces a|bc. Si c|a y c|b , entonces c|ar+bs, para r y s arbitrarios. Ejemplos: 5|5 es cierto 5| 30 y 30|150, 5|150 5| 20, 20/5=4|20 3|18 y 3|21, 3|39 7|49, entonces 7|49*2=98 6|12 y 6|18, 6|(3*12+2*18)=72
Combinación lineal Una combinación lineal de dos enteros a, b es una expresión de la forma ar + bs Donde r y s son enteros. Un entero c divide a los enteros a y b si y solo si c divide a cualquier combinación lineal de a y b. Ejemplo: sea a = 12, b = 18 y c = 6, entonces 6 = 12r + 18s donde r = –1 y s = 1 Una condición necesaria para que un número g sea combinación lineal de a y b es que g sea divisible entre todo divisor común de a y b.
Ejemplos Probar que 52 no es combinación lineal de 20 y 15. Divisores de 20 y 15 es 5 5 | 52 por lo tanto no existe una combinación lineal Encuentre una combinación lineal de 12 en términos de 98, 102. 102 – 98 = 4, 12 = 3*4, entonces 3*102 – 3*98 = 12 Pruebe que si c = 30n+6, entonces c no es combinación lineal de 1020 y 210. Divisores de 1020 y 210 son: 2, 3, 5, 10, 15 y 30. Divisores de 30n+6 son: 2, 3, 6, etc. No tiene como divisor a 5, por lo tanto no es posible obtener una combinación lineal.
Algoritmo de la división . Sean a∈ Z y b∈ N. Entonces existen q, r∈ Z con 0<r <|b| tales que a = bq + r. Además, q y r son únicos. Demostración. Sea a>0 y b>0. Considere los enteros de la forma a – bs. Sea r = a – bq >= 0 el menor de estos enteros. De aquí a = bq + r Si rb, ya que r = a – bq, obtenemos r – b = a – bq – b = a – b(q + 1), puesto que rb, resulta que a – b(q + 1) >= 0 Contradice el echo que r es el menor entero no negativo de la forma a – bs, ya que a – b(q+1) = r – b < r = a – bq. Por lo cual queda demostrado que r <b. Si a > 0 y a < b, a = b·0 + a y a< b, lo cual demuestra el teorema en este caso.
Supongamos que existen q’ y r’ además de q y r, tales que a = bq +rr<b a = bq’ + r’ r’<b De las anteriores obtenemos b(q – q’) = r’ – r De donde |b||q – q’| = |r’ – r| Pero |r’ – r| < b, lo anterior implica que |b||q – q’| = 0 y |r’ – r| = 0 Como |b| 0, se tiene que q = q’ y r = r’ Omitiremos los casos de a o b o ambos negativos.
Sea a = 436 y b = 17 436 = 17·25 + 11 q = 25 y r =11 Sea a = –436 y b = – 17 – 436 = – 17·25 – 11 Pero – 11 no sirve como residuo ya que es negativo, por tanto – 436 = – 17·26 + 6 q = 26 y r = 6 y 0 <r = 6 < |–17| = 17 Sea a = –436 y b = 17 –436 = 17·(–25) – 11 = 17·(–25) + 17 (–1) + 17– 11= –436 = 17·(–26) + 6 q = –26 y r = 6 y 0 <r = 6 < |–17| = 17 Sea a = 436 y b = – 17 436 = (–17)·(–25) + 11 q = –25 y r =11
Máximo común divisor Dados dos enteros a y b distintos de 0, decimos que el entero d>1 es un máximo común divisor (denotado por (a, b) o mcd(a, b)), de a y b si d|a, d|b y para cualquier otro c ∈ Z tal que c|a y c|b, entonces c|d. Algunas propiedades del máximo común divisor mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|) mcd (ka, kb) = |k| mcd(a, b) Si a|b.c y mcd(a, b) =1, entonces a|c mcd(a, b) = d ⇔ d|a, d|b y mcd(a/d, b/d)=1
Propiedades Si a y b son enteros positivos y d = as + bt es su combinación lineal positiva mínima, entonces todo divisor de d es divisor también de a y b. Demostración. Tenemos que a = dq + r con 0 r <|d|, sustituyendo d = as + bt, se tiene a = (as + bt)q + r O r = a(1 – sq) – btq r es combinación lineal de a y b Pero como 0 r < d y d es la combinación positiva mínima de a y b, resulta que r = 0, es decir, a = dq y por tanto d|a De igual forma se demuestra que d|b. Corolario: el mcd(a, b) es la combinación mínima positiva de a y b.
Primos relativos Dos números a y b son primos entre si (primos relativos) si su máximo común divisor es 1. Es decir, a y b son primos entre si, si y solo si, 1 = as + bt Proposición: Si a|bc y mcd(a, b) =1, entonces a|c. Demostración. 1 = as + bt, entonces c = asc + btc Ahora bien, a|a y a|bc, a divide a la combinación lineal a(sc) + (bt)t = c, por lo tanto a|c.
Mínimo común múltiplo El Mínimo Común Múltiplo (denotado [a, b] o mcm(a, b)) de dos números a y b es el entero más pequeño que es divisible por ambos números a y b. Ejemplo: a = 6 y b = 10 Los múltiplos de a son {6, 12, 18, 24, 30, 36, …} Los múltiplos de b son {10, 20, 30, …} La intersección de estos dos conjuntos es el conjunto {30, 60, 90, …} el más pequeño de estos valores es el mcm(6, 10) =30
Mcd * mcm Proposición: Si a y b son enteros positivos, entonces el producto de a y b es igual al producto de su mcd y mcm. Es decir ab = mcd(a,b)·mcm(a,b) = (a, b)[a, b]. Demostración: Sea m = mcm(a,b), m|ab y sea d tal que md = ab. Como m es múltiplo de a y b, m = ar = bs, entonces md = ard = bsd = ab, por lo que rd = b y sd = a por tanto d|a y d|b. (1) Por otro lado d’ un divisor de a y b, d’|ad’|b. Sean a’ y b’ tales que a = d’a’ y b = d’b’ Sea m’ un múltiplo común de a y b dado por m’ = a’b’d’ = ab’ = a’b. m’ es un múltiplo de m, es decir m’ = mt. mtd’ = m’d’ = a’b’d’d’ = ab = md, entonces td’ = d o d’|d.(2) Las condiciones (1) y (2) significan que d es divisor de a y b y que d es dividido por cualquier divisor de a y b, por lo tanto d es el mcd lo que implica que ab = mcd(a,b)·mcm(a,b)
El algoritmo de Euclides Para calcular el mcd de dos enteros a y b (ambos >0, suponemos a>b) se definen qi y ri recursivamente mediante las ecuaciones: a = bq1 + r1 (0<r1<b) b = r1 q2 + r2 (0<r2<r1) r1 = r2 q3 + r3 (0<r3<r2) .... rk-3 = rk-2 qk-1 + rk-1 (0<rk-1<rk-2) rk-2 = rk-1 qk(rk= 0) El máximo común divisor es el último residuo diferente de 0.
Ejemplo de algoritmo de Euclides a = 246, b = 118 a/b = 246/118 = 2 + 10/118, q1 = 2, r1 = 10 b/r1 = 118/10 = 11 + 8/10, q2 = 11, r2 = 8 r1/r2 = 10/8 = 1 + 2/8, q3 = 1, r3 = 2 r2/r3 = 8/2 = 4, q4 = 2, r4 = 0, mcd(246, 118) = 2
Mcd como combinación lineal El mcd de a y b se puede expresar como la combinación positiva mínima lineal de a y b. Ejemplo: a = 348 y b = 228 12 = 120 – 108 348 = 1x228 + 120 = 120 – (228 – 120) 228 = 1x120 +108 = 2x120 – 228 120 = 1x108 + 12 = 2x(348 – 228) – 228 108 = 9x12 = 2x348 – 3x228 mcd = 12 mcd(a, b) = 2a – 3b = 696 – 684 = 12
Actividad Encuentre el mcd y mcm de las siguientes parejas utilizando el algoritmo de Euclides: 2604 y 1344 405 y 510 Exprese el mcd como combinación lineal de 120 y 184
Ejemplos Calcule (84, 30): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos: 84 = 2(30) + 24 30 = 1(24) + 6 24 = 4(6) + 0 Entonces (84, 30) = 6. Además, de las ecuaciones anteriores obtenemos 6 = 30 – 24 = 30 – (2(30) + 84) = 3(30) + (–1)84 y hemos escrito a 6como la mínima combinación lineal positiva entre 84 y 30.
Calcule (–35,–48): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos: –35 = 1(–48) + 13 –48 = –4(13) + 4 13 = 3(4) + 1 4 = 4(1) + 0 Entonces (–35,–48) = 1. Además, de las ecuaciones anteriores obtenemos 1 = 13 – 3(4) = 13– 3(–48+4(13))= –3(–48)–11(13) = – 3(–48)–11(–35–1(–48)) = 8(–48)–11(–35) y hemos escrito a como la mínima combinación lineal positiva entre –35y –48.
Factorización única Teorema de factorización única (teorema fundamental de la aritmética). Todo número entero distinto de 1 se puede expresar de la forma a = p1 p2 p3 …ph (1) donde p1 p2 p3 …ph son números primos positivos.
Demostración Demostración. Suponga que existe un conjunto M de números que no pueden expresarse como en (1). Demostraremos que M = . Suponga que a es el menor elemento de M, si a es primo, a = p1, lo cual contradice la suposición de M. Ahora suponga que a es compuesto y entonces a = bc, con 1< b < a y 1 < c < a. Como a es el mínimo elemento de M, b y c se pueden expresar de la forma (1). b = p1 p2 p3 …pn y c = q1 q2 q3 …qr Entonces a = p1 p2 p3 …pnq1 q2 q3 …qr Pero esta es una expresión de la forma (1), lo que contradice la existencia de M.
Demostración (cont.) Ahora demostraremos que la factorización es única. Suponga que existen dos factorizaciones para a a = p1 p2 p3 …pn a = q1 q2 q3 …qr Igualando p1 p2 p3 …pn = q1 q2 q3 …qr como p1 divide al producto de la izquierda, debe dividir al producto de la derecha, digamos que divide a q1. Nos queda p2 p3 …pn = q2 q3 …qr Análogamente, se puede decir para p2 = q2, p3 = q3, hasta llegar a tener 1 = qh qh+1 …qr si h < t, lo cual es imposible, similarmente si t < h, de ahi que h = t, con lo que queda demostrado.
Mcd, mcm y factorización Se puede demostrar que para dos números a y b con factorizaciones en primos dadas por el mcd y el mcm se pueden expresar como Donde ri = min{mi, si} y ti = max{mi, si}
ejemplo Factorice en potencias de primos y encuentre mcm y mcd: 194040 546000
Números racionales Consideremos el producto cartesiano de Z (Z – {0}) dado por Q = {(a, b) | aZ y b (Z – {0}) } Definimos la relación ~: (a, b) ~ (a’, b’) si ab’ = ba’ Ejemplo: (3, 4) ~ (12, 16) ya que 3·16 = 48 = 4·12
Propiedades La relación ~ es una relación de equivalencia. a) ~ es reflexiva ya que (a, b) ~ (a, b) o ab = ba. b) ~ es simétrica ya que (a, b) ~ (a’, b’) (a’, b’) ~ (a, b). ab’ = ba’ a’b = b’a o (a’, b’) ~ (a, b) c) ~ es transitiva, si (a, b) ~ (a’, b’) (a’, b’) ~ (a’’, b’’) (a, b) ~ (a’’, b’’). Si ab’ = ba’ (1) y a’b’’ = b’a’’ (2), multiplicando (1) por b’’ y (2) por b, obtenemos ab’b’’ = ba’b’’a’b’’b = b’a’’b. De estas dos obtenemos ab’b’’ = b’a’’b. Eliminando b’ llegamos a ab’’ = b’’a o (a, b) ~ (a’’, b’’).
Notación fraccionaria Se utiliza la siguiente notación: a/b = {(x, y) | (a, b) ~ (x, y)} Proposición: a/b = a’/b’ ab’ = ba’. Demostración. Suponga que se cumple a/b = a’/b’, esto quiere decir que si (a’, b’) a’/b’ (a’, b’) a/b, es decir (a, b) ~ (a’, b’), lo cual a/b = a’/b’ ab’ = ba’. Suponga ahora que ab’ = ba’, esto significa que (a, b) ~ (a’, b’). Sea (x, y) a/b (a, b) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a’, b’) ~ (x, y)a/b a’/b’ . Similarmente, suponga (a’, b’) ~ (a, b), sea (x, y) a’/b’ (a’, b’) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a, b) ~ (x, y)a’/b’ a/b. Por lo tanto ab’ = ba’ a/b = a’/b’.
Operaciones con racionales Lema 1: (a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ ) (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’. Demostración. ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por dd’ y (2) por bb’ obtenemos ab’dd’ = ba’dd’ y cd’bb’ = dc’bb’ Sumando lados izquierdos y derechos. ab’dd’ + cd’bb’ = ba’dd’ + dc’bb’ (ad + cb)b’d’ = (a’d’ + c’b’)bd (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’.
Operaciones con racionales (cont.) Lema 2: (a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ ) ac/bd = a’c’/b’d’. Demostración. ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por (2) obtenemos ab’cd’ = ba’dc’ acb’d’ = bda’c’ ac/bd = a’c’/b’d’.
