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6.6 按年龄分组的种群增长 6.1 投入产出模型 6.4 市场经济中的蛛网模型

第六章 代数方程和差分方程模型. 6.6 按年龄分组的种群增长 6.1 投入产出模型 6.4 市场经济中的蛛网模型. 模型 : 微分方程 vs 差分方程 量 x 的变化依赖于 x 本身. 微分方程 时间连续 易于数学分析 较理想化. 差分方程 时间离散 易于数值计算 较具体化. 6.6 按年龄分组的种群增长. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同. 以雌性个体数量为对象. 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律. 假设与建模. 种群按年龄大小等分为 n 个年龄组，记 i= 1,2, … , n.

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  1. 第六章 代数方程和差分方程模型 6.6 按年龄分组的种群增长 6.1 投入产出模型 6.4 市场经济中的蛛网模型

  2. 模型: 微分方程vs差分方程量x的变化依赖于x本身 • 微分方程 • 时间连续 • 易于数学分析 • 较理想化 • 差分方程 • 时间离散 • 易于数值计算 • 较具体化

  3. 6.6按年龄分组的种群增长 • 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律 假设与建模 • 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di

  4. (设至少1个bi>0) ~按年龄组的分布向量 ~Leslie矩阵(L矩阵) 假设 与 建模 xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量 预测任意时段种群按年龄组的分布 分析k稳态分布

  5. 稳态分析的预备定理 • L矩阵存在正单特征根1， 特征向量 • 若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 且 , c是由bi, si, x(0)决定的常数 或Jodan标准型 证明思路 L对角化 P的第1列是x*

  6. 与基本模型 比较 3）=1时 稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布 ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。 ~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率 ~ 各年龄组种群数量不变

  7. 3）=1时 （与si 的定义 比较） 稳态分析 ~ 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1 ~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比

  8. 离散人口控制模型 年龄分布向量 L= A+H， =bi，bi=hi, hi=1  控制平均生育率， hi生育模式

  9. 与连续时间人口模型比较 年龄分布向量 人口密度函数 数值解 解析解 分布参数控制 多变量控制 r i, tk p(r,t)(的积分)xi(k) , (r) 1-si p0(r) xi(0) f(t) H

  10. 习题 P214ex9, ex10

  11. 研究课题 课题：给出Leslie模型定理1，定理2的证明 方法：参考文献+高等代数

  12. 2007CUMCM-A 中国人口增长问题 基本模型 Malthus模型？ Logistic模型？ 偏微分方程模型？ Leslie差分方程模型？ 针对本问题怎样选择和修改？ 数据的分析和使用？

  13. 人口增长Leslie模型 城市女性人口数： X(k)=Sf X(k-1)+Bf X(k-1)+ Mm(k) 城市男性人口数 Y(k)=Sm Y(k-1)+Bm X(k-1)+ Mf(k) 迁移反映乡村人口城镇化 出生性别比影响 年龄分布向量

  14. 人口增长微分方程模型 p(r,t)表示城镇人口密度函数(乡村类似) 迁移m(r,t)=kp(r,t)

  15. 小结: 微分方程(差分方程)建模量x的变化依赖于x本身 • 差分方程 • 时间离散 • 易于数值计算 • 较具体化 • 微分方程 • 时间连续 • 易于数学分析 • 较理想化

  16. 6.1 投入产出模型 背景 • 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系，每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）. • 根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求 . • 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. • 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应用领域不断扩大 . 本节：建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用.

  17. 列昂节夫 Leontief, 哈佛大学，纽约大学1973年Nobel经济学奖 W. W. Leontief (1906~1999 ) was a Russian-American economist notable for his research on how changes in one economic sector may have an effect on other sectors. Leontief won the Nobel Memorial Prize in Economic Sciences in 1973, and three of his doctoral students have also been awarded the prize (Paul Samuelson 1970, Robert Solow 1987, Vernon Smith 2002).

  18. 投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 中国2002年投入产出表（产值单位：亿元） 初始投入：工资、税收、进口等 外部需求：消费、积累、出口等

  19. 直接消耗系数表 由投入产出表直接得到 一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 农业每1亿元产出直接消耗464/2918=0.159亿元农业产品 直接消耗499/2918=0.171亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系

  20. 投入产出平衡数学模型 设共有n个部门 xi~第i部门的总产出 di~对第i部门的外部需求 xij~第i部门对第j部门的投入 xij~第j部门总产出对第i部门的直接消耗 aij~直接消耗系数——第j部门单位产出对第i部门的直接消耗

  21. 假设直接消耗系数不变 模型应用 技术水平没有明显提高 问题1如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000亿元, 问这6个部门的总产出分别应为多少？ 求解 A由直接消耗系数表给出 d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T 6个部门的总产出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）.

  22. Δx为的第1列 Δx为的其余各列 模型应用 问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？ 求解 总产出对外部需求线性 Δd~d增加1个单位 x的增量 若农业的外部需求增加1单位 6个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位. 其余外部需求增加1单位

  23. 补充习题 （经济预测）在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如下表（单位：亿元） 假设下年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵可视作不变）。

  24. 原油价格的振荡1

  25. 原油价格的振荡2

  26. 比较:1981～2010油价涨4倍

  27. 比较:2001～2010油价涨3倍

  28. 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 6.4 市场经济中的蛛网模型 供大于求 现 象 数量与价格振荡 描述商品数量与价格的变化规律 问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

  29. 需求函数 供应函数 y f g y0 P0 0 x0 x 蛛 网 模 型 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 减函数 生产者的供应关系 增函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

  30. f g    价 y P3 y0 y0 曲线斜率绝对值 g P4 f y2 P0 P0 P4 P3 y3 P2 x0 x0 P2 y1 P1 P1 x2 x3 0 0 量 x 蛛 网 模 型 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 x1

  31. 参考http://www.econmodel.com/classic/cobweb.htm

  32. 方 程 模 型 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型与蛛网模型的一致

  33. 经济稳定 结果解释 结果解释 考察 ,  的含义 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格  ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度  ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量  ~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定  小, 有利于经济稳定  ~ 生产者对价格的敏感程度

  34. y g 需求曲线变为水平 y0 f 0 x y g 供应曲线变为竖直 f 0 x0 x 模型应用 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使  尽量小，如   0 以行政手段控制价格不变 如限价房。 2. 使  尽量小，如  0 靠经济实力控制数量不变 国有企业的功用(如中石油\中石化)

  35. 国际油价vs国内油价 2011年10月08日

  36. 国内成品油价格 2005.3-2009.1，国际油价持平(迪拜现货45美元/桶45)，我国汽、柴油涨30%，40%；93号油3.98元/升30% 4.95元 2009.1至今，国际油价涨140% (45110) ，我国汽、柴油涨80%。 93号油4.95元53% 7.56元（2013.10.17） 2005年3月以来累计：国际油价涨140% ， 我国涨90%。 资料来源：国际能源网 http://www.in-en.com/

  37. 模型的推广 生产者管理水平提高 • 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件

  38. 齐次线性差分方程的解(n=2) • 齐次线性差分方程的通解 • 不相等实数根场合 • 有相等实根场合1=…= d • 复根场合1=a+bi=rei, 2=a-bi=re-i

  39. 非齐次线性差分方程的解 • 非齐次线性差分方程的特解 • 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解 • 非齐次线性差分方程的通解 • 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和

  40. 1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了 模型的推广 平衡点稳定，即k, xkx0的条件:

  41. 模型 yk=f(xk)，xk+1=g(2yk-yk-1) 线性化 yk-y0=-α(xk-x0), α>0 xk+1= β [(2yk-yk-1)-y0], β>0 稳定性条件(可以证明) αβ<1/3 通胀预期下的市场稳定性(数学04级学生毕业论文)

  42. 非均衡市场供求关系模型(数学05级学生毕业论文)非均衡市场供求关系模型(数学05级学生毕业论文) • 需求xk, 价格yk, 生产zk, >0为价格调节系数 • 当xk=zk退化为均衡供求关系模型。 • 稳定性条件(可以证明) • 充分小时，必稳定； 充分大时，等价于αβ<2

  43. 参考文献 黄赜琳，非线性非均衡蛛网模型的动态分析 数学的实践与认识 2004 /34 /3 刘彪文，论蛛网模型在货币市场及货币政策中的应用 南昌大学学报 2003 /34 /6 施大钊，应用Leslie矩阵对布氏田鼠种群数量的模拟分析 植物保护学报 2004 /31 /3 刘来福 . 生物种群随机 Leslie 矩阵模型的灭绝风险分析 . 见：萧树铁主编：中国工业应用数学会第二届会议文集，清华大学出版社， 1992: 412-415

  44. 习题 • P214 ex8

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