Pavel Finfrle

1. Návrh modelupro výpočet reálné hodnoty závazku ze smluv životního pojištění Pavel Finfrle Aktuárský seminář, 12.3.2004

2. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

3. Ohodnocení portfolia Model pro výpočet reálné hodnoty Cíl: poskytnout investorům informace o skutečné situaci pojišťovny 3. základní koncepty • US GAAP • Implicitní hodnota • Reálná hodnota Pavel Finfrle

4. US GAAP Model pro výpočet reálné hodnoty Snaha o • co nejlepší spárování nákladů a výnosů • časové rozlišení • co nejstabilnější realizaci zisků • dle předepsaného pojistného / EGP / EGM • zjištěné odchylky jsou (pokud možno) realizovány postupně "Technologie" • best estimate • diskontování očekávaným výnosem z kapitálu Pavel Finfrle

5. PVFP, Portfolio Value Model pro výpočet reálné hodnoty složka Embedded Value, současná hodnota nejlepšího odhadu budoucích rozdělitelných zisků snaha • o okamžité zachycení vzniku / zániku hodnot (tj. budoucích vyplatitelných dividend) • zohlednit všechny efekty ovlivňující hodnotu "Technologie" • best estimate • diskontování rizikovou diskontní mírou Pavel Finfrle

6. Reálná hodnota Model pro výpočet reálné hodnoty Koncepční rámec IAS • cena transferu aktiva / závazku v nevynucené transakci plně informovaných a věci znalých stran DSOP • střední současná hodnota peněžních toků plynoucích ze smluv životního pojištění při zohlednění (tržních) rizikových přirážek (MVM) • pojištění = "exotický derivát" Pavel Finfrle

7. Reálná hodnota Model pro výpočet reálné hodnoty Příčiny problémů • různorodost pojistných smluv, garancí a opcí poskytovaných pojistníkům • volba MVM u rizik neobchodovaných na veřejných trzích • nejednoznačně definované chování pojistných smluv • ohodnocení plateb ovlivnitelných pojistitelem • přístup k primárnímu trhu • ocenění opcí pojistníka Pavel Finfrle

8. Reálná hodnota Model pro výpočet reálné hodnoty 2. obvyklé přístupy k výpočtu Fair Value • "Tržní" stochastické modely • ocenění pomocí tržních oceňovacích technik (za předpokladu finanční racionality pojistníka) • obvykle velmi úzce vymezený okruh smluv, důraz na jeden konkrétní efekt / derivát • "Praktické" deterministické modely • úprava postupů výpočtu PVFP s případným separátním oceněním některých opcí a garancí Pavel Finfrle

9. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

10. Tradiční životní pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty Problematické vlastnosti • hodnoty plnění "ponechané na uvážení pojistitele" • komplikované systémy podílů na zisku • velké množství současně poskytnutých a neoddělitelných garancí • indexace, odkup, redukce, TUM, ... • nestandardní, neporovnatelné produkty Pavel Finfrle

11. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

12. Obecná představa Model pro výpočet reálné hodnoty pojistník • je při rozhodování ovlivněn stavem finančního trhu • obvykle ani nemá dostatek informací a znalostí • neřídí se pouze optimalizací finančního výnosu "částečná finanční racionalita" odpovídá zkušenosti • např. výhodnější produkty - menší počet ukončení • u produktu s garantovaným zhodnocením: "pojistník má tím větší tendenci odstoupit od smlouvy, čím je výnosová křivka výš" Pavel Finfrle

13. Obecná formulace Model pro výpočet reálné hodnoty • Hodnota závazku (náhodná veličina, na jednotku poj. částky) kde J=1 ... ukončení následkem úmrtí, J=2 ... ukončení následkem storna • Emaintintenzita správních nákladů (vč. ink. a odl. získatelských) • Eclaimnáklady spojené s likvidací, případně vracení provize • D' deflátor (diskontování a rizikové přirážky) • PS(t) připsané podíly na zisku v čase t • pokud pojistná doba n Pavel Finfrle

14. Obecná formulace Model pro výpočet reálné hodnoty • Reálná hodnota závazku • Finanční trh • určován procesy • Intenzity dekrementů intenzita úmrtnosti - deterministická intenzita stornovosti - náhodný proces, předpokládáme Pavel Finfrle

15. Předpoklady Model pro výpočet reálné hodnoty • závislost T, Jna Ft pouze prostřednictvím , tj. • v dalším neuvažujme Emaint, Eclaim a předpokládejme Pak pro N=min{n;w-x} ... maximální doba trvání pojištění • dále budeme modelovat Pavel Finfrle

16. Obecná fomulace Model pro výpočet reálné hodnoty a jsou upravené o příslušné rizikové přirážky Pavel Finfrle

17. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

18. Peněžní toky Model pro výpočet reálné hodnoty určujeme reálnou hodnotu 4 peněžních toků • 3 procesy - reálná hodnota přísl. toku na intervalu (0,t) • pojistného • plnění při úmrtí • odbytného • náhodná veličina - reálná hodnota plnění při dožití Pak Pavel Finfrle

19. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

20. Požadavky Model pro výpočet reálné hodnoty • odpovídající časová struktura úrokových sazeb • tj. zachycení výnosové křivky f M(0,t) • dále: výnosová křivka = tržní křivka forwardových intenzit • výpočet ceny dluhopisu • malý počet sledovaných hodnot • jednoduché vyjádření závislosti intenzity stornovosti a stavu trhu • stav trhu = tvar výnosové křivky Pavel Finfrle

21. Hull-White / Vašíčkův model Model pro výpočet reálné hodnoty Model okamžité úrokové intenzity r(t) • při rizikově neutrální pravděpodobnostní míře P kde a 0 a0, Wienerův proces při P, (t) umožňuje vystihnout výnosovou křivku řešením • r(t) - Markovský proces, normální rozdělení přírůstků Pavel Finfrle

22. Hull-White / Vašíčkův model Model pro výpočet reálné hodnoty při přirozené pravděpodobnostní míře Q W(t)Wienerův proces při Q,  cena rizika Deflátor Pavel Finfrle

23. Intenzita stornovosti Model pro výpočet reálné hodnoty v(t) očekávaná intenzita stornovosti (případně upravená o rizikovou přirážku) Možný způsob vyjádření závislosti intenzit stornovosti a úroku kde W(t) - Wienerův proces řídící r(t) a (t) se stanoví tak, aby (za přirozené pravděpodobnosti Q) Pavel Finfrle

24. Hull-White / Vašíčkův model Model pro výpočet reálné hodnoty Nevýhody modelu • záporné hodnoty intenzity úroku • modelování vývoje výnosové křivky • 100%ní korelace pro všechny časy • dlouhý konec stabilní v Heath-Jarrow-Mortonově rámci Pavel Finfrle

25. Příklad - kvantily r(t) Model pro výpočet reálné hodnoty Pavel Finfrle

26. Příklad - výnos. křivka Model pro výpočet reálné hodnoty Pavel Finfrle

27. Příklad - výnos. křivka Model pro výpočet reálné hodnoty Pavel Finfrle

28. Dvoufaktorový model Model pro výpočet reálné hodnoty v HJM rámci Reprezentace kde a když 10,a 0 a20, nezávislé Wienerovy procesy (při rizikově neutrální pravděpodob. míře) opět k vystižení výnosové křivky Pavel Finfrle

29. Dvoufaktorový model Model pro výpočet reálné hodnoty ceny rizika příslušné procesům za přirozené pravděpodobnostní míry Q Intenzita stornovosti • poměr k1/k2- míra důrazu na pravou stranu výn. křivky Pavel Finfrle

30. Příklad - kvantily r(t) Model pro výpočet reálné hodnoty Pavel Finfrle

31. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

32. Systémy podílu na zisku Model pro výpočet reálné hodnoty • klíčová oblast pro určení závazku ze smlouvy tradičního životního pojištění • jak v případě, že záleží na rozhodnutí managementu? • VŠECHNY následující systémy "80% z výnosu přesahujícího technickou úrokovou míruje určeno na podíly na zisku" Pavel Finfrle

33. Systémy podílu na zisku Model pro výpočet reálné hodnoty • Předpokládejme, že • garantováno průběžné zhodnocování minimální sazbou • typicky technická úroková míra • i na dříve připsaných podílech na zisku • připsané podíly na zisku vedeny na zvláštním účtu • speciálně nezvyšují rizikovou částku tj.  systém podílu na zisku = algoritmus určení RatePS(t) • nejjednodušší volba RatePS(t) = r(t) (systém 1) Pavel Finfrle

34. Aktiva kryjící prostředky rezerv Model pro výpočet reálné hodnoty • Pevně úročené papíry a vklady • dominantní složka finančního umístění • ČAP 2001 - 78 %, z toho cenné papíry 66 % • účetní výnos obvykle lineární amortizací • model: bezkupónové dluhopisy • P(t,T) cena dluhopisu se splatností v T v čase t • výnos a účetní hodnota metodou efektivní sazby • Akcie • změna ceny přímo do výsledku • jiné typy aktiv neuvažujeme ? strategie (re)investování ? aktivní/pasivní? jednoduché/reálné ? Pavel Finfrle

35. Dluhopisy do splatnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Portfolio složeno výhradně z dluhopisů se splatností v N. • známe = účetní hodnota rezervy v čase t • FaceV(t) nomin. hodnota dluhopisů kryjících rezervu v čase t kdeAF(t) efektivní sazba pro amortizaci portfolia Pak RatePS(t) = AF(t) (systém 2) Pavel Finfrle

36. Obecné portfolio dluhopisů Model pro výpočet reálné hodnoty Zaveďme • FaceV(t,s) nominální hodnota dluhopisů držených v čase t se splatností v čase snebo dříve • BookV(t,s) účetní hodnota jednotkového dluhopisu v čase t se splatností v čase s PakAF(t,s)amortizační faktor příslušný BookV(t,s) Požadujeme Pavel Finfrle

37. Dluhopisy na danou dobu I Model pro výpočet reálné hodnoty V čase t jsou volné prostředky investovány do dluhopisů se splatností v t+D Zjednodušení • pojišťovna nemá v čase t dluhopisy se splatností v t+Dnebo později. Pak • FaceV(t,s) je spojitá na a existuje na Pavel Finfrle

38. Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Pokud platí je splněno. Pavel Finfrle

39. Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Pokud platí je splněno. úbytek splatných dluhopisů Pavel Finfrle

40. Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Pokud platí je splněno. změna rezervy zhodnocení portfolia Pavel Finfrle

41. Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Pokud platí je splněno. zvýšení nominální hodnoty reinvestováním splatných dluhopisů Pavel Finfrle

42. Dluhopisy na danou dobu III Model pro výpočet reálné hodnoty Celkový amortizační faktor v čase t  (systém 3) Případně investování v čase t do dluhopisů se splatností v min{t+D,N} (systém 5) Pavel Finfrle

43. Akcie - proces ceny Model pro výpočet reálné hodnoty při přirozené pravděpodobnostní míře Q a úrokové intenzitě kde S(t) cena akcie (resp. index trhu) v čase t Z(t) je Wienerův proces nezávislý na W(t),  > 0 celková volatilita akciového trhu,   (-1,1) korelace výnosu z akcií s úrokovou mírou  > 0 cena rizika příslušná procesu Z(t) Pavel Finfrle

44. Akcie Model pro výpočet reálné hodnoty  ... podíl akcií v portfoliu kryjícím rezervu, zbytek investován do dluhopisů na danou dobu D Výnos z portfolia požadujeme ! nelze použít jako RatePS(t) - je nutné opožděné podílení na zisku Pavel Finfrle

45. Opožděné podílení na zisku Model pro výpočet reálné hodnoty Nadvýnos je ukládán do speciální rezervy PSBase(t), na základě které se pak stanoví RatePS(t) • Jednoduché roční vyhodnocování • na konci roku - celá PSBase(t) použita pro stanovení RatePS(t) • Rate(t) okamžitý výnos z portfolia (systém 6) Pavel Finfrle

46. Opožděné podílení na zisku II Model pro výpočet reálné hodnoty Preciznější sledování nepřipsaných podílů na zisku tj. akt. výnos - technická intenzita - akt. přípis podílů na zisku Požadavky na zůstatek v rezervě podílů na zisku PSBase(t) a) pojistníkům se rozdělí dané procento  zPSBase(t) Pavel Finfrle

47. Opožděné podílení na zisku II Model pro výpočet reálné hodnoty Požadavky na zůstatek v rezervě podílů na zisku PSBase(t) b) pojistníkům se rozdělí část PSBase(t) převyšující  procent ze statutární rezervy • tzn. požadován zůstatek PSBase(t) ve výši K(t)(V(t)+PS(t)) Pavel Finfrle

48. Obsah Model pro výpočet reálné hodnoty • Ohodnocení smluv životního pojištění • Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění • Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP • obecná formulace • konkrétní formulace • model intenzity úroku • systémy podílu na zisku • výsledky simulací • Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti Pavel Finfrle

49. Výnosová křivka Model pro výpočet reálné hodnoty a) konstantní f(0,t) = ln (1.045) b) přibližně odpovídající CZ SWAP 31.12.2003 • zadána Nelson-Siegelovou křivkou Pavel Finfrle

50. Intenzita stornovosti Model pro výpočet reálné hodnoty zadána Nelson-Siegelovou křivkou, po rizikové přirážce Pavel Finfrle