1 / 18

Die 1-Baum-Relaxation des TSP mit der Subgradientenmethode

von Sebastian Kerkhoff Thorger Brüning. Die 1-Baum-Relaxation des TSP mit der Subgradientenmethode. Was ist gegeben?. Ein Graph G bestehend aus n Knoten und einer Kantenmenge E Die Kantenlängen bzw. -kosten c ij von Knoten i nach Knoten j. IN UNSEREM FALL : c ij = c ji.

elie
Download Presentation

Die 1-Baum-Relaxation des TSP mit der Subgradientenmethode

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. von Sebastian Kerkhoff Thorger Brüning Die 1-Baum-Relaxationdes TSP mit der Subgradientenmethode

  2. Was ist gegeben? • Ein Graph G bestehend aus n Knoten und einer Kantenmenge E • Die Kantenlängen bzw. -kosten cij von Knoten i nach Knoten j. • IN UNSEREM FALL : cij = cji

  3. Traveling-Salesman-Problem • Gesucht: • wobei - jeder Knoten den Grad 2 hat - keine Subtouren existieren -

  4. Traveling-Salesman-Problem • Gesucht: • wobei - jeder Knoten den Grad 2 hat - keine Subtouren existieren -

  5. Definition: 1-Baum • Ein Teilgraph B von G wird 1-Baum genannt, falls: a) Knoten 1 mit genau zwei Kanten (1,i) und (1,j) inzident ist b) der Graph B\{1} ist ein Gerüst auf G\{1} • => jede Tour ist ein 1-Baum • => Ein 1-Baum ist genau dann eine Tour, falls jeder Knoten den Grad 2 hat. 1-Baum Tour

  6. Die Lagrangerelaxation Beachtet man nun die Tour-Eigenschaft, dass jeder Knoten (außer 1) Grad 2 haben muss als starke Restriktion, erhält man die Lagrangerelaxation: Definiert man u1:= 0 , so erhält man:

  7. Das letztlich zu lösende ProblemDas Lagrange-Dualproblem Definiere: => Problem lässt sich wie folgt schreiben: Bei der 1-Baum Relaxation wird nun die Relaxation dual gelöst.Wir suchen:

  8. Die Subgradientenmethode h1 und h2 sind Subgradienten

  9. Der verwendete Subgradient Sei B der -optimale 1-Baum, so ergibt sich der Subgradient: h(u)=(0,1,-1,1,-1) Daher: ui = ui-1 + d * h(ui-1)

  10. Festzuhalten bleibt: • Sei ein -optimaler 1-Baum, sowie eine -optimale Tour, so gilt • Ist zusätzlich eine -optimale Tour, gilt In diesem Fall ist die gefundene Lösung von w(u) also die gesuchte optimale Tour

  11. Der AlgorithmusDer Beispiel-Plan

  12. Der Algorithmus1.Schritt u(0) = (0,0,0,0,0,0) w(u(0)) = 13

  13. Der Algorithmus1.Schritt u(0) = (0,0,0,0,0,0) w(u(0)) = 13 h(u(0)) = (0,0,-1,1,1,-1)

  14. Der Algorithmus2.Schritt u(1) = (0,0,-1,1,1,-1) w(u(1)) = 15

  15. Der Algorithmus2.Schritt u(1) = (0,0,-1,1,1,-1) w(u(1)) = 15 h(u(1)) = (0,0,0,1,-1,0)

  16. Der Algorithmus3.Schritt u(2) = (0,0,-1,2,0,-1) => Tour !!! w(u(2)) = 16

  17. Der Algorithmusan schwierigeren Beispielen • Berlin: 52 Knoten Problem wird vom Algorithmus gelöst • 76 City-Problem: 76 Knoten Algorithmus bietet als untere Schranke: 537 Wert der optimalen Tour: 538

  18. Der Algorithmusan schwierigeren Beispielen • Biergärten: 127 Knoten untere Schranke des Algorithmus: 117431 Wert der besten bekannten Tour: 118282 entspr. maximaler Abweichung von 0,7 %

More Related