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數學網頁規劃

機率. 數學網頁規劃. 第 16 組 廖信行 張家銘 陳炫羽. 一 . 數學單元主題內容教材分析 :. 機率： 1. 樣本空間與事件 1.1 樣本空間 1.2 事件 2. 機率的定義與性質 2.1 機率的定義 2.2 機率的性質 3. 期望值. 1. 樣本空間與事件. 1-1 樣本空間 1-2 事件. 1-1 樣本空間. 何謂樣本空間 ? 簡單的舉例來說 : 投擲一粒骰子，觀察它出現的點數，會有六種可能的出現的結果，這些結果所形成的集合為∪＝｛ 1,2,3,4,5,6 ｝，這叫做擲一粒骰子試驗的樣本空間 。 所以樣本空間就是 :

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Presentation Transcript

  1. 機率 數學網頁規劃 第16組 廖信行 張家銘 陳炫羽

  2. 一.數學單元主題內容教材分析: • 機率： • 1.樣本空間與事件 • 1.1樣本空間 • 1.2事件 • 2.機率的定義與性質 • 2.1機率的定義 • 2.2機率的性質 • 3.期望值

  3. 1.樣本空間與事件 • 1-1樣本空間 • 1-2事件

  4. 1-1樣本空間 何謂樣本空間? 簡單的舉例來說: 投擲一粒骰子，觀察它出現的點數，會有六種可能的出現的結果，這些結果所形成的集合為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝，這叫做擲一粒骰子試驗的樣本空間。 所以樣本空間就是: 做一試驗所有可能的結果所成的集合稱為樣本空間，我們通常以∪表示樣本空間。

  5. 樣本空間的練習 基礎題: 1.丟一個硬幣一次，觀察每次出現的結果是正面或反面，寫出其樣本空間為何? Ans:∪＝｛正面,反面｝ 2.承上題，丟一個硬幣兩次，其樣本空間為何? Ans: ∪=｛(正面,正面) ,(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)｝

  6. 樣本空間的練習 進階題: 袋中有4個球，編號1~4，分別依下列方法從袋中取球觀察號碼，求各試驗中的樣本空間: (1)取球兩次，每次一球，球取出後不放回 (2)同時取出兩球 Ans: (1)設(x,y)表示第一次抽出x號，第二次抽出y號，則其樣本空間為 ∪＝｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝ (2)設 x,y表示同時取出的兩球號碼，則其樣本空間為 ∪＝｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

  7. 1-2事件 何謂事件的定義? 就是樣本空間的子集合稱為事件。 舉一個很簡單的例子說明: 投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝。 問:(1)子集A表示點數為偶數的事件集合為何? (2)子集B表示點數為奇數的事件集合為何? Ans:(1)A=｛2,4,6｝ (2)B=｛1,3,5｝

  8. 何謂互斥事件? 如果兩個事件中沒有共同的元素，稱此兩個事件互相 排斥，簡稱為互斥事件。 數學上的寫法是: 兩事件A,B的交集為空集合，即A∩B=∮ 舉上一頁的例子: 投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝， 事件A為是偶數點的集合，事件B是奇數點的集合，問事件A和B 是否互斥? Ans:是。 因為A=｛2,4,6｝，B=｛1,3,5｝，我們可以知道A∩B=∮

  9. 事件的練習題 甲和乙兩人各擲一粒骰子一次，觀察所出現的點數，若A表示出現 的點數和為5的事件，B表示出現點數差為4的事件，則A，B兩事件 是否為互斥事件? Ans:是。 因為A=｛(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)｝，B=(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)｝ 所以我們知道A∩B=∮

  10. 1.機率的定義與性質 • 2-1機率的定義 • 2-2機率的性質

  11. 2-1機率的定義:拉卜拉斯的古典機率 • 什麼是拉卜拉斯的古典機率? 設某一隨機試驗的樣本空間S由n個樣本點組成，假設每一個樣本點出現的機會均等，事件A由m個樣本點組成，其中n、m為自然數，且m≤n，則事件A發生的機率為: P(A)==

  12. 拉卜拉斯的古典機率 • 例1: S有n個元素，則每一個元素出現的機會是? 任一元素=n(A)=1 全部元素個數=n(S)=n 所以 =1/n ans:1/n

  13. 拉卜拉斯的古典機率 • 例2: 一個袋子有6顆球，3顆白球跟3顆黑球，請問從中取一顆球是白球的機率是? 白球=n(A) 全部球數=n(S) n(A)=3n(S)=6P(A)==3/6=1/2 ans:1/2

  14. 2-2機率的性質 • 1.基本性質 • 2.性質推廣 • 3.例題

  15. 2-2機率的性質 • 基本性質 • 由古典機率的定義，可以得到下列的機率性質，若S為樣本空間，A、B為事件，則: • 1.標準化:必然發生的事件其機率為1，(即P(U)=1)，而必然不會發生的事件機率為0，即P(Φ)=0 ，其中S為樣本空間。 • 2.機率的範圍:每一個事件發生的機率必在0與1之間，即A為任一事件，則0≤P(A)≤1. • 3.加法性:若A，B為互斥事件，則事件A，B至少有一件發生的機率，等於各個事件發生的機率和，即 P(AUB)=P(A)+P(B).

  16. 基本性質的推廣 • 設S為樣本空間，則: 1.A.B滿足A ⊂ B，則P(A≤P(B). • 餘事件的機率:若A⊂S為一事件，則 P(A’)=1-P(A). • 和事件的機率:A，B，C為S的三個事件， (1).P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). (2).P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B) -P(B ∩ C)-P(C∩ A)+P(A∩B∩C).

  17. 例題 • 例題: 袋中有編號1到10的整數號碼球共10個，阿草從袋中取一球，觀察其號碼，請問: 下列各事件發生的機率分別是多少? U={1.2.3.4.5.6.7.8.9.10} (1).球號是3的倍數. (2).球號是5的倍數. (3).球號是3的倍數也是5的倍數. (4).球號是3的倍數或是5的倍數. (5).球號是3的倍數或是5的倍數或是7的倍數.

  18. 例題-(1) • 1.取到球號是3的倍數之事件，可以表成 A={3.6.9}，所以 P(A)=3/10

  19. 例題-(2) • 2.取到球號是5的倍數之事件，可以表成 B={5.10}，所以 P(B)=2/10=1/5

  20. 例題-(3) • 3.取到球號是3的倍數也是5的倍數之事件為 AB，因為A ∩ B=Φ，所以其機率為 P(A ∩ B)=P(Φ)=0.

  21. 例題-(4) • 4.取到球號是3的倍數或是5的倍數的事件為 AUB，因為A，B互斥，所以由加法性得知 P(AUB)=P(A)+P(B)=3/10+2/10=5/10=1/2.

  22. 例題-(5) • 5.取到球號是7的倍數之事件可以表成C={7}， 所以P(C)=1/10， 而取到球號是3的倍數，5的倍數或是7的倍數可以表成 AUBUC ，因為事件A，B，C兩兩互斥，所以 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) =3/10+2/10+1/10 =6/10 =3/5.

  23. 3.期望值 • 3-1 數學期望值

  24. 3-1數學期望值 何謂數學期望值? • 如果做一實驗有K種可能結果，各種結果的報酬分別為m1，m2，…，mk，而得到這些報酬的機率分別為P1，P2，…，Pk(其中P1+P2+…+Pk=1)，則此實驗的數學期望值為m= m1 P1+ m2 P2+…+ mk Pk

  25. 期望值的運用 • 1.做為決策分析的參考 • 2.計算衡量某些數值，如人數、時間等數量

  26. 例題1 • 張三與人打賭，擲一個骰子 若出現1點則張三可得5元，擲出點數為2或3，則張三可得2元，若擲出點數為4.5.6，則張三輸3元。 問此遊戲張三的期望值為多少?對張三是否公平?

  27. ANS:期望值為1/6*5+1/3*2+1/2*(-3)=0 • 期望值為0，所以是公平的遊戲。

  28. 例題2 • 依據經驗，在101大樓前排班的計程車，載客人數1人的機率是60%， 2人的機率是30%， 3人跟4人的機率是5%，請問在101大樓前排班的計程車，載客人數的期望值為多少 • ANS:1*0.6+2*0.3+3*0.05+4*0.05=1.55(人)

  29. 補充St. Petersburg paradox • 期望值是否是唯一一種衡量決策的依據? • 有一個著名的賭局，規則如下，丟一個公正的銅板，直到出現第一次正面，遊戲即宣告結束；在第1次投擲就出現第一次正面，則可獲得2元，在第2次投擲才出現第一次正面，則可獲得4元，在第3次投擲才出現第一次正面，則可獲得8元，在第N次投擲才出現第一次正面，則可獲得2n元。

  30. 此遊戲的期望值為 • 就期望值的觀點，即使這個遊戲需要先付一筆龐大的賭金也是划算的(因為期望值減有限的賭金仍然是無限大) • 但實際上並不會有人願意出高額賭金來進行這個賭局，這個矛盾就稱為 St. Petersburg paradox

  31. 二.教學網頁設計理念 • 1. 希望此網頁能成為日後教學上的輔助工作，補充課本內容缺少者，如機率發展史、機率在生活上的運用。 • 2. 提供試題練習，結合生活與機率。 • 3. 希望學生能藉網頁中生動活潑的方式來學習機率，克服對機率的恐懼。 • 4. 希望藉由網頁內容裡的測驗卷(學習回饋表)來統計了解觀看此網頁學生的學習成果。 • 5. 設留言板達成此單元之學習交流。

  32. 三.教學網頁教學目標 • 1.能夠讓學生了解機率在日常生活中的應用，從不同的觀點去認識機率。 • 2.用線上考試方式,測驗學生了解程度。 • 3.能運用簡單機率與統計於生活中。 • 4.能加深在學校所學的機率知識。

  33. 四.網頁設計規劃流程 • 1.首頁 (簡介此網頁‚引用生活小問題‚可結合flash動畫來呈現吸引觀看者) • 2.機率課程 (課程教學：對課程內容之基本定義說明實際例子講解) • 3.機率史 (介紹歷史及相關人物小故事，並給予一些歷史上機率的小故事，如St. Petersburg paradox) • 4.生活機率統計 (藉由生活中的機率問題來感受體會.提供統計新聞以方便學生體會統計的目的意義)

  34. 五.參考資料 • 普通高級中學數學 第四冊 南一書局 • 普通高級中學數學 第四冊 龍騰文化

  35. 六.其他

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