1 / 27

Funkce

Definice 3. Funkce. Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny:. K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- finiční obor.

gamma
Download Presentation

Funkce

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Definice 3. Funkce • Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny: • K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- • finiční obor. • Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvy- • kle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

  2. 1 1 1 -1 -1 1 1 Funkce • Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, • jsou různé! Různá zobrazení, liší se v definičních oborech

  3. 1 -1 1 Graf funkce • Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadné- • ho systému. obor hodnot definiční obor Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ).

  4. Graf funkce y argument funkční hodnota Protože funkční hodnota funk-ce f(x) se obvykle značí pís-menem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno-ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem pří-slušné fyzikální veličiny. Protože argument funkce f(x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v přípa-dě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny. x

  5. Graf funkce • Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- • stavuje funkci. Funkce zaznamenatelné do grafu Funkce, kterou nelze znamenat do grafu? Dirichletova funkce

  6. 1 0 Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení. Graf funkce • Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- • stavuje funkci.

  7. Definice 15. Definice 16. Operace s funkcemi • Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je • nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor. Buďte f a g funkce, Dfg = Df∩ Dg neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí. Buďte f a g funkce, Hgje podmnožinouDfSloženou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.

  8. Složené funkce • Příklady na složené funkce :

  9. Složené funkce • Příklady na složené funkce :

  10. Definice 16. Vlastnosti funkcí Nechť funkce f s definičním oboremDfmá následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni Lichá funkce : f(x) = x3 Sudá funkce : f(x) = x2-1

  11. Definice 17. -2π -π π 2π Vlastnosti funkcí Nechť funkce f s definičním oboremDfmá následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f. Periodická funkce : f(x) = x-[x] Periodická funkce : f(x) = sin(x) 1 -1 p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1 p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π

  12. Definice 18. -4π -2π 2π 4π Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Funkce se nazývá zdola omezená na množině M, platí-li Funkci nazveme shora omezená, platí-li Funkce omezená shora Funkce omezená zdola Funkce omezená shora i zdola

  13. Vlastnosti funkcí f(x) = x2-1 omezená zdola na M = Df f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -1,+1 > +1 -1 +1 -1 f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -2,+2 > -1 +1

  14. +1 +1 Vlastnosti funkcí f(x) = 1/x omezená shora na M = (+∞,0) f(x) = 1/x omezená zdola na M = (0,+∞) +1 +1 +1 +1 f(-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu!

  15. Definice 18. Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Říkáme, že funkce má na množině M v bodě aM maximum, platí li Funkce má na množině M v bodě aM minimum, platí li f(x) = x2-1 má minimum v a = 0 na M = Df f(x) = -x2+5x-1 má maximum v a = 2.5 M = Df 2 1 -1 1 1 2 4 3 -1

  16. max max min min max max min min Vlastnosti funkcí

  17. max max max max max max Definice 19. min min min min min Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df. Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum).

  18. Definice 20. Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df. Říkáme, že funkce je na množině Mrostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li respektive f(x1) ≥f(x2), f(x1) < f(x2), f(x1) >f(x2) . ostře rostoucí rostoucí klesající ostře klesající

  19. Definice 4. Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df. Říkáme, že funkce je prostá, platí li NE – prostá funkce prostá funkce

  20. Definice 21. Vlastnosti funkcí Buď f je prostá funkce, DfaHf její definiční obor a obor hodnot. Funkci nazveme funkcí inverzní k f. prohodit osy

  21. Vlastnosti funkcí Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle osy kvadrantů 1 a 3. Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá. Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je. Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.

  22. Vlastnosti funkcí y = 2x + 1 1 y = ½x + ½ -1 1 -1

  23. y0 y0 y0 Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y0 změ-nou funkčního předpisu z y na x

  24. x0 x0 x0 Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x0 změ-nou funkčního předpisu z y na x

  25. Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změ-nou funkčního předpisu z y na x

  26. Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změ-nou funkčního předpisu z y na x Pozn.: na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.

  27. Shrnutí • Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé • Funkci určuje Dfa přiřazení (funkční předpis) • Některé funkce lze zaznamenat do grafu • Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat • Definujeme funkci sudou a lichou • Definujeme funkci periodickou • Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou • Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a • maxima • Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí • Definujeme funkci inverzní • Graf funkce lze snadno posunout či převrátit

More Related