GRÁFELMÉLET

1. GRÁFELMÉLET Alapfogalmak2.

2. Alapfogalmak • Sétánaknevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben ugyanazok az élek és pontok többször is előfordulhatnak. • Ha egy séta kezdőpontja megegyezik a séta végpontjával akkor zárt sétának nevezzük, különben nyílt sétának nevezzük.

3. X1 X3 e1 e5 e4 e2 e3 X2 e7 X5 e6 X4 Alapfogalmak • Séta: kiindulunk egy pontból, nem emeljük fel a ceruzát, és éleket húzunk (akár többször is mehetünk egy-egy élen vagy ponton keresztül oda is, vissza is, ahogy tetszik). Nyílt séta: (x1, e1, x3, e3, x5, e4, x1, e1, x3, e2, x4) Zárt séta: (x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e7, x5, e4, x1)

4. X1 X3 e1 e5 e4 e2 e3 X2 e7 X5 e6 X4 Alapfogalmak • Vonalnaknevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben minden él legfeljebb egyszer fordulhat elő, de lehetnek olyan pontok, amelye többször is előfordulnak. • Vonal: Egy séta vonal, ha nincs benne élismétlődés. • Egy gráf minden élét tartalmazó vonalat Euler vonalnak nevezünk. Vonal: (x1, e1, x3, e3, x5, e4, x1, e5, x4)

5. X1 X3 e1 e5 e4 e2 e3 X2 e7 X5 e6 X4 Alapfogalmak • Útnak nevezzük a gráf éleinek olyan egymáshoz csatlakoztatott sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször. • Út: Egy séta út, ha nincs benn pontismétlődés Út: (x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e6, x4)

6. X1 X3 e1 e5 e4 e2 e3 X2 e7 X5 e6 X4 Alapfogalmak • Körneknevezzük a gráf éleinek olyan egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben a kiindulási pont megegyezik a végponttal, de minden él és minden más pont legfeljebb egyszer fordul elő • Egy gráf minden pontját tartalmazó kört Hamilton körnek nevezünk Kör: (x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e6, x4, e5, x1)

7. Alapfogalmak • Egy vonal, út vagy kör hosszán az őket alkotó élek számát értjük. h (x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e6, x4) = 4

8. Letezesi feltetelek • Mi a nyilt Euler-vonal létezésének a feltétele? Egy összefüggő gráfban akkor és csak akkor van nyílt Euler-vonal, ha két pont fokszáma páratlan, a többi pont fokszáma pedig páros. • Mi a zárt Euler-vonal létezésének a feltétele? Egy összefüggő gráfban akkor és csak akkor van zárt Euler-vonal, ha minden pont fokszáma páros.

9. Feladat: • Meg lehet-e egyetlen vonallal rajzolni a köv. ábrákat?

10. Feladat • A Repülő Elefántok Társaságának igazgatótanácsa tíztagú. Az igazgató­tanácsi ülésre érkezvén néhányan kezet fogtak egymással. A titkárnő a társaság minden tagját megkérdezte, hogy hány másikkal fogott kezet. A következőket jegyezte fel: a) 3; 4; 6; 7; 6, 9; 5; 8; 7; 4. Az igazgató leszidta a titkárnőt, hogy a feljegyzései pontatlanok voltak. Honnan tudta? b) Lehetnek-e pontosak a titkárnő feljegyzései, ha a következőket írta: 2; 2; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 9? c) Lehetnek-e pontosak a titkárnő feljegyzései, ha a következőket írta: 0; 1; 2; 2; 3; 4;4 ;5 ;6 ;9? d) Lehetnek-e pontosak a titkárnő feljegyzései, ha a következőket írta: 9; 6; 4; 9; 6; 9; 8; 9; 9; 3?

11. Feladat X1 X3 e1 e4 e2 X2 Adott a következő gráf. Határozzátok meg a következő pontok és élek sorozatáról, hogy nyílt vagy zárt séták, vonalak, utak vagy körök-e? e3 e6 X5 e5 X4 (x1, e4, x5, e3, x3, e1, x1, e4, x5, e6, x2) (x1, e1, x3, e2, x4, e5, x2, e6, x5, e3, x3) (x1, e1, x3, e3, x5, e6, x2, e5, x4) (x3, e1, x1, e4, x5, e6, x2, e5, x4, e2, x3)

12. Alapfogalmak • A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely más pontjába élek mentén el lehet jutni.

13. Alapfogalmak • Ha egy adott G gráf nem összefüggő pontjait olyan csoportokra osztjuk, hogy az azonos csoportba eső bármely két pont között létezzen út, de különböző csoportokban lévők között ne, akkor az azonos csoportban lévő pontok és a hozzájuk tartozó élek összessége a gráf egy összefüggő komponensét alkotják.

14. 1 0 3 2 4 Alapfogalmak 1 0 • Egy irányított G gráf gyengén összefüggő ha bármely két pontja között csak egy irányba van út, erősen összefüggő ha mindkét irányban van út. 3 2 4