正則言語

正則言語 2011/6/27

形式言語 • Noam Chomsky() • 近代言語学者・哲学者・政治思想家 • 言語を形式的に解析しようとする試み • 形式文法から言語を構築していく • 情報理論との関連性（オートマトン、構文解析、チューリングマシン等）

形式文法 ある定められた規則（文法）から導出される文字列 G=(N,∑,P,S) • N　非終端記号の有限集合　　　　　　 • ∑　非終端記号の有限集合　　 • P 生成規則（有限）　　　　　　 • S 開始記号　　　　　　　　　　　

形式文法の例（文脈自由文法） G１＝（N,∑,P,S) N=｛A,B｝ ∑=｛0,1} P={S→0A, A→1A, A→AB,B→0,A→1｝ S→0A→01A→01AB→0110 S→0A→01

Chomsky階層 1956 形式文法のクラス • 正則文法Regular Grammar • 文脈自由文法　Context Free Grammar • 文脈依存言語　Context-Sensitive Grammar • 句構造文法　Phrase Structure Grammar RG ⊂ CFG ⊂ CSG ⊂ PSG

正則言語 生成規則が次の形のもの • A → aB • C→b 例外として • S→ε（空文字列）特長有限性オートマトンと等価

正則言語の例 生成規則が次の形のもの • N={A,B,S}　　∑＝｛0,1} • P={ A → 1B,B→0,S→１A} 等価なオートマトン S →　A → B →　F 1 1 0 この言語は110を生成する

文脈自由文法 • 構成規則が以下のような形のもの A→a (A∈N,a∈(N∪∑)＊）例 N={A,B,S} ∑＝｛0,1,2｝のとき P={S→A、A→1、B→02,A→0B1｝ • プッシュダウンオートマトンとの関連

文脈依存文法 • 生成規則が以下のような形のもの βAγ　→　βaγ P={a、β、γ∈(N∪∑)＊ ,A ∈N,a≠ε} βとγの位置によってA→aが成立する • 線形高速オートマトン

句構造文法 • 構成規則が以下のような形のもの α→β P={α∈(N∪∑)＊ N(N∪∑)＊）,β ∈(N∪∑)＊} • 左辺に少なくとも一つの非終端記号があるだけ • チューリングマシンとの関連

正則文法と有限オートマトン • 正則便法と等価な有限オートマトンを構成できる • N={A,B}　　∑＝｛0,1} • P={ A → 1B,B→0,S→１A} S　→　A →　B → F 1 10

正則文法における反復補題 直観的な理解 • 正則文法G１は有限オートマトンに変換できる • 有限オートマトンには有限の状態しかない • 長い文字列は必ず同じ状態に到達する • ループを何回回るような文もG1は受理する

正則文法における反復補題 • Lが正則言語なら、ある定数nが存在し、Lに属する長さがnまたはそれ以上のすべての語Wに対し次のような語X,Y,Zが存在する W=XYZ |XY|≦n |Y|≧1 K=1,2,3,…　に対し　XY*Z

正則文法における反復補題 S 0 A X 1 B 0 C Y 1 B 1 D Nの個数＜|Z| Z 0 {S,A,B,C,D} 010110 　　必然的に重複する状態が出る

証明 • ある生成文字列長|N|に対し、同じ状態（生成規則）Fが複数（ F１、F2 ）存在する • １～F１で生成される文字列をX、 F1＋１～F2をY、 F2~NをZとする • 定義より| Y|≧1 • |XY|≦n • F1＋１～F2はループを構成し何回も文字列を生成できる • XY*Z

正則言語における反復補題の意味 • 正則言語は反復定理の特長をもっている • ある言語をもってきて、それが反復定理をみたさなければ、正則言語ではない • 文脈自由言語についても反復定理が適用できる • ある条件を満たさなければ文脈自由言語ではない

参考文献 • Wikipedia • オートマトン・言語理論　富田悦次　横森　貴森北出版株式会社基礎情報工学シリーズ５

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