使用信息技术工具改造 线性代数课程的理念与目标

1. 使用信息技术工具改造线性代数课程的理念与目标使用信息技术工具改造线性代数课程的理念与目标 教育部“使用信息技术工具改造课程”项目

2. 改革的缘由——需求牵引 • 现在的线性代数教学大纲存在着重大的缺陷，主要是没有把“需求牵引”和“技术推动”作为动力： • 1。不能满足工科后续课的需求，按所教的方法后续课无法用来解高阶、复数的矩阵题目；后续课普遍不用线性代数解题。

3. 工科后续课能用而不用矩阵的调查（给数学教指委的建议书中列出）工科后续课能用而不用矩阵的调查（给数学教指委的建议书中列出）

4. 一些典型的应用(1) • 静力学中的核心是平衡方程，一个空间物体有6个平衡方程，就是n=6的线性方程组,两个刚体相联，方程数n就加倍； • 电路课中稳态电路核心是基尔霍夫方程，n个节点（或回路）就有n个方程，交流电路更是复数方程，构成n元复数方程组。 • 线性代数教的手工解法解决不了，只好不用，还是用中学的代入法，这就是现状。后续课中要算的n都大于3，现代的科学计算问题n达到几百、几千，不教计算机结果是统统不用矩阵，简单的用中学的方法，复杂的只好不算。

5. 静力学模型

6. 交流电路模型

7. 典型的应用(2) • 计算信号流图传递函数公式。在传统的教材中，都向学生介绍梅森公式，这个公式是以图论为基础的，既没有证明，计算又极繁琐，后面根本不用，但几十年就是这样讲下来的。其实线性系统的任何复杂信号流图都可以严格地用矩阵表示，写成： • 其中，有N个信号，方程就有N个，矩阵就有N阶 • 很容易得出传递函数W的公式： • 靠手算，这个N 阶矩阵求逆的运算，谁都不敢碰。但若用MATLAB算，很复杂的系统，这个式子不过几秒钟就出结果了，既有严格理论，又可快速计算，比梅森公式强得多。它的前提是，学生会用计算机解线性代数问题，学生的数学基础是符合现代化标准的。

8. 一个信号流图的实例 信号流图代表的是线性方程组: x1=u, x2=x1-x3-x5, x3=G1*x2, x4=x3+x1-x5 x5=G2*x4, x6=x3+x5-x7 x7=G3*x6, x8=K*x7

10. 应用(3)频谱的计算 • 把DFT写成矩阵形式：设 • 通常N=1024,记作： • W矩阵是1024×1024阶的，106个元素 • 输入技巧:列×行

11. 应用(4)最优FIR滤波器设计 归结为解以下的超定线性方程组求d

12. 估计圆直径的方法 测圆周上n个点，求其半径。设圆周方程为： c1,c2为圆心的坐标，r为半径。整理上述方程，得到 • 用n个测量点坐标(xi,yi)代入，得到 • 这是关于三个未知数的n个线性方程，所以是一个超定问题。解出就可得知这个最小二乘圆的圆心坐标和半径r的值：

13. 应用(5) 坐标测量仪测园直径 • 归结为求超定方程最小二乘解c

14. 不用“技术推动” • 从“需求牵引”的角度，我们知道，即使是大学后续课程，需要的是高阶、复数、超定的线性方程组。用中学的代入法、消去法是不行的，所以要引进线性代数，其实，它比中学方法更繁，因为它不找窍门，而是死算，但死算有一个好处，因为程序简单了，所以线性代数的好处只有与计算机结合才能显示。 • 。线性代数不用计算机解题，不联系应用，不符合课程现代化的要求，落后于美国十多年；

15. 一个比方 • 中学代数中的“代入法”、“消去法”相当于手推独轮车，解决个体户自留地中的运输问题。 • 大学学线性代数是“载重汽车”，解决大生产中大规模、长距离的运输问题。 • 载重汽车很复杂，要讲它的原理和设计方法很费时间，但许多人忘掉了最关键一点，要使载重汽车发挥作用，必须要用发动机，要加油（MATLAB)，其次必须要学会开车（机算）、认路（建模）。如果仍然用手工，那么载重汽车还不如手推车，谁也不会用的。 • 现在的问题就在这里，我们在造“手工载重车”方面下的功夫很大，但在汽油发动机、开车、认路方面一点不教，所以在后续课的广阔天地中没人用载重汽车。要把大多数用汽车的与少数造汽车的区分开来，教会他们开车、认路、解决现代化大生产的需要，这是我们改革的目标。

16. 矩阵在科学计算中的重大意义 • 矩阵是组织海量数据进行运算的最好的数学方法,如果矩阵运算仍然用单个元素运算来完成，那末人们宁愿用代入法或消去法等中学方法。至少它可以省掉一些运算量。 • 要使矩阵运算带来实际的好处，必须要有能进行海量数据运算、处理、绘图的工具，笔算无法显示矩阵优势，只有靠计算机。 • 如果计算机每次只对两个数进行运算，那它的效率和计算器差不多。计算机的优势只有在数据批处理中才能显示。 • 会矩阵不会计算机，是瘸子；会计算机不会矩阵，也是瘸子，要把两者的优势结合起来，才算真正进入了科学计算的殿堂。线性代数能完成这一点，对大学生，对现代化，将是功德无量！

17. 国内外教材简要对比

18. 说明我国教材的三个弱点 1。不注意从几何图形引入线性代数的概念，不用图说明问题。 2。不使用现代化计算工具，使得解题的范围无法扩大。 3。不联系应用实际，不了解科学和工业现代化对线性代数的需求。不能激发学生学习的热情。 国内的线性代数改革，多侧重于课程内部概念的讲法，但缺少两点：一是不注意与应用、与后续课等外部的关系的改革，二是不注意引进新技术，没有用现代化的计算和教学工具。这正是我们常讲的引领科技发展的两个动力：“需求牵引”和“技术推动”。少了这两点，创新的新思想、新课题就没法诞生。

19. 机算和手算解题范围的对比 • 可以用下图表示数学软件对线性代数的作用。白色部分为手工能解的区，黑色区是手工不能解的区域，灰色区是计算太繁的区域，用了数学软件后全部都能解。不难看出，数学软件可以使线性代数较好地满足后续课和未来工程计算的需要。

20. 新旧线性代数内容覆盖图

21. 大纲改革后的解题指标 1。解6元以上的实数线性代数方程组（力学）； 2。解3元以上的复数线性代数方程组（电路）； 3。会进行3阶以上的信号流图传递函数计算，即学会做文字变量的求逆运算；（信号与系统） 4。进行6阶3元以上超定方程组的求解； • 这是指教材中控制的例题和习题的深度，我们觉得，线性代数达到这个水平，与后续课就可以实现无缝衔接了。 • 实际上，只要学会使用计算机编程以后，阶数是没有上限的。

22. 补丁书《线性代数实践…》 • 补充的内容为： • 1。后续课和工程中的应用实例； • 2。线性代数中所有概念的几何形象,甚至动画； • 3。解各种线性代数问题的MATLAB程序； • 4。适合计算机算的习题。另外就是MATLAB语言入门。它的宗旨是实现下面三句口号： • 线性代数抽象吗？看了本书后，你会知道它的概念都基于空间形象。 • 线性代数冗繁吗？学了本书后，你会懂得它的计算全藉助简明程序。 • 线性代数枯燥吗？读了本书后，你会发现它的应用极其广泛又精彩。

23. 美国的做法 • 1990年开始，先组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG)。8月，他们和工程界的代表，共同提出了几条建议，简称为LACSG Recommendations：要点是：(i)，线性代数课程要面向应用，满足广大的非数学专业学生的需要；(ii)，它应该是面向矩阵的; (iii)，它应该是根据学生的水平和需要来组织的；(iv)，它应该利用最新的计算技术;(v)，对数学专业要另设课程提高其抽象性。 • 1992年NSF又资助了一个ATLAST计划，ATLAST是 Augment the Teaching of Linear Algebra using Software Tools (用软件工具增强线性代数教学)的缩写。该计划在1992 到 1997 六个暑期组织了许多学习班。使大批教师接受了科学计算语言的培训。从而在全国推动了线性代数与计算机的结合。

24. 本项目工作过程（2005） • 2005年5月～8月写出了《线性代数实践与MATLAB入门》， • 2005年9月在学校的支持下办了40余人的线性代数教师培训班，以稿为教材，讲8节课。并举行座谈，听取反馈意见。 • 2005年11月，在一个学生班中试点加1学分的“线性代数实践”。也收集反馈。 • 这两项试点的结果都反映在2006 年4月给教指委的建议书中。

25. 试用的方法和效果 • 我校利用这本书的初稿在全校线性代数老师办了一次培训班，给参加培训的老师计工作量，因此参训老师踊跃。在学生班中也作了加一个学分“线性代数实践”的试点，收到了很好的反映。 • 书的用法是在线性代数课中加一个《线性代数实践》学分，在线性代数上到一半的时候开设。1学分，15学时，其中讲课10学时（MATLAB 4学时，线性代数实践 6学时）上机10机时（5学时）。考试成绩按10~15%计入线性代数总分。

26. 教师培训班的部分反映（见‘培训班部分成员谈学习体会）教师培训班的部分反映（见‘培训班部分成员谈学习体会） 培训班40名教师，有27名写了心得，普遍盛赞引入软件和实践的好处。见给教指委建议书。 “老师不能只抱着一本规定的教材上课，必须看外国的最新教材和发展趋势，并从历史的观点分析差距产生的原因和克服的办法；必须了解后续课如何用线性代数，要更多地了解线性代数在工程中的应用。这次培训班和这本实践教材的最大贡献是在这个方面。” “在当前条件下，可以改革的地方应该先做起来。比如用本教材中的应用实例使学生提高学习的目的性和积极性，充分利用二维、三维的空间形象强化学生的感性认识；在计算能力方面，目前马上让全部学生大量使用MATLAB有一定困难，但至少要告诉同学哪些工作应该由计算机来完成，”

27. 05届学生反映举例 • 一边学理论，一边学实践，让我们在其他同学面前多了一份自豪！欣慰之情难以言表！ 自豪只是内心之感，学这们课的最大体会是多了一技之长！学以制用，此为学的目的：学 matlab让我深刻地体会到了学习线性代数的用途所在，为此解除了困惑，有了学习的动力。 • 这门课对我们很有用，可惜只有我们班开课，应推广至全部同学。 • 最好能增加上机次数，以后每学期最好也能开几次课。不然就忘了，白学了！ • 在2008年初，对这个已是三年级的班又重做了调查，对“线性代数实践”课程仍然反映很好。97％学生认为线性代数应该笔算、机算都会，才能解决实际问题。线性代数实践教给他们很有用的能力。而且反映学习机算并不难。另外，反映后续课没有很好用机算使他们无用武之地。

28. 08年1月对05班学生重新调查 • (7)你觉得学生学完线性代数课后应该：(a)。只会用笔算就够了；(b)。只会用计算机算就行了；(c)。笔算、机算都会。 请说明理由； 答： 2人答 (a), 8人答(b), 70人答(c), 未答 4 • (9)增加计算机算题的内容对教师费不费时？大概要增加多少学时？对学生掌握起来难不难？会帮助还是削弱理论理解？ 答：不难， 8～10学时，能帮助理解。编程有困难，要有多练的条件。 • (13)你在其他哪些课程中曾用计算机解过题？用什么语言？对学校做好“提高教育现代化水平”的其他建议。 答：数值算法，C语言，MATLAB语言，

29. 工作过程（2007） 1。在总结2006胶印教材的基础上，编写了正式教材《工程线性代数（MATLAB版）》，2007.7由电子工业出版社正式出版。 2。教材出版后，迅速作出课件； 3。争取了分教指委的基金项目。 4。继续在本科班进行试点，特别是为了检验教材的适用性。除正式安排了三个班试点外，在普通班也介绍这本书作为参考书。 5。对试点学生的效果进行调查。

30. 用MATLAB的教材优越性何在 根据两年的实践，我们在新书中又把其特点归纳为四个方面，即四个主要特点： 1。基本概念都从几何图形引入，做到抽象与形象的结合； 2。一切繁琐计算都有简明程序，推动笔算与机算的结合； 3。大量实例诠释了课程的价值，实现理论与实践的结合； 4。能与后续课的需要无缝衔接，体现课程的辐射效应。 考虑到部分教师和学生工程基础不足，把与后续课有关的内容移到最后一章，可以选修。

31. 关于抽象与形象的结合 ① 三元方程组解的几何意义（适定、超定与欠定）； ② 两个向量的行列式是它们组成的平行四边形的面积； ③ 三个向量的行列式是它们组成的平行六面体的体积； ④ 二维、三维向量线性相关和线性无关的几何意义； ⑤ 平面（二维）线性变换的几何特征及其意义； ⑥二维特征值和特征向量的几何意义； ⑦三元齐次方程基础解系的几何特征； ⑧二元超定方程最小二乘解的几何表述； ⑨二次型化为标准型的不同方法的几何解释

32. 关于笔算与机算的结合 ① 矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令； ② 矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；[U0,ip]=rref(A) ③ 多元线性方程组MATLAB求解的几种方法；x=inv(A)*b, U=rref(A) ④ 行列式的几种计算机求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(L)) ⑤ n个m维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令; r=rank(A),U=rref(A) ⑥ 求欠定线性方程组的基础解系及超定方程解的MATLAB命令；xb=null(A) ⑦ 矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A) ⑧ 化二次型为标准型的MATLAB命令；yTDy=xTAx; 其中y=P-1x,

33. 关于实现理论与实践的结合 • ① 多项式插值系数的计算 • ② 平板稳态温度的计算 • ③ 交通流量的分析 • ④ 成本核算问题 • ⑤ 图及其矩阵表述 • ⑥ 网络的矩阵分割和连接 • ⑦ 弹性梁的柔度矩阵 • ⑧ 用行列式计算面积

34. 关于实现理论与实践的结合(续) • ⑨ 化学方程的配平 • ⑩ 减肥配方的实现 • ⑾ 刚体平面运动的计算和绘图 • ⑿ 混凝土配料中的应用 • ⒀ 圆锥截面二次型方程插值问题 • ⒁ 人口迁徙模型 • ⒂ 物料混合问题（用到微分方程）

35. 关于与后续课应用的衔接 ① 用线性代数解直流电路举例 ② 用线性代数解交流电路举例 ③ 用线性代数解线性系统中常微分方程的举例 ④ 用线性代数解线性系统中信号流图的举例 ⑤ 用线性代数求数字信号处理中的系统函数举例 ⑥ 用线性代数解静力学问题的举例 ⑦ 用线性代数解运动学问题的举例 ⑧ 用线性代数解机械测量学问题的举例 ⑨ 用线性代数解文献管理问题的举例 ⑩ 用线性代数解经济管理问题的举例

36. 学生的反映 • 对三届试点班的民调都显示，学生都反对只教笔算，对试点中自己学会机算非常自豪。其主要好处：①。学以致用，有目的，有兴趣；②。建立空间概念，加强了理解；③。节省了算题时间，可以多看书和思考；④。会解任意高阶题目，对后续课很有用处。 • 在全校理论统考对比中，试点班的成绩就远高于普通班，并没有发生学生因使用计算机而偷懒的问题；相反，却因提高了感性认识和学习兴趣而对理论理解更深了 • 实践能力的差距就更大了。普通班只能笔算三阶以下简单的实数方程组，对试点教材中几十道应用题可望而不可及，而试点班却能用计算机快速解出这些高阶的复数乃至超定方程组的问题。这就实现了线性代数与后续课（力学、电路、信号与系统、信号处理、自动控制等课程）的无缝衔接，也给后续课的机算创造了条件。

37. 目前可供选择的有实践内容的教材 • 1。陈怀琛，龚杰民：《线性代数实践及MATLAB入门》，2009 年1月电子工业出版社，第二版，打实践补丁书，MATLAB和后续课应用讲得较深，适合于教师培训 • 2.陈怀琛，高淑萍，杨威：《工程线性代数（MATLAB版）》，2007年7月电子工业出版社，适合于学生上课，理论与实践结合结合紧密，用的实例比较浅，一年级学生容易接受。 • 3.杨威，高淑萍：《线性代数机算与应用指南》，西安电子科技大学出版社刚出版，打实践补丁，适合于用老教材的学生。

38. 项目的目标 • 项目的当前目标——MATLAB+机算 • 发给各位的资料： 三本教材，一张MATLAB入门光盘，这是我校本学期在全校5000名本科生中教会机算的主要步骤。 • 作为项目还有后面的两大目标 一。关于理论部分的需求分析和精简 二。在后续课程中的建模和辐射

39. 高级目标之一——精简理论 继续需求牵引的论证：我们的论证只讲了后续课需要增加什么，高教司说这不行，必须要减轻学生的理论负担，你要减少学时。理论的这些内容都是后续课需求的吗？有谁论证过?不需要的就应该精简。 如何精简一些理论内容，减少课时。最主要的是要把“造车者”和“用车者”的培养要求区分开来。把数学类和非数学类区分开来，用车的应占绝大多数，他们没必要学那么多造车的理论。 实施的方法现在只能是大胆讨论，谨慎实践。关键要教指委这样的权威部门说话，并对研究生入学考试要求做相应的改革才行。

40. 需求分析要有三个区分 • 1。把数学专业的要求与非数学专业相区分，即把造车的与用车的要求加以区别； • 2。把当前的急需要求和未来的长远要求相区别，在本科阶段要用的放在第一位，把解决实际问题放在第一位，考研放在第二位，因为那是两年半后的事，还有复习机会。 • 3。把多数人与少数人的要求相区别，考研毕竟只占少数，不应该让大批不考研的学生跟着陪绑，损失了他们该学的有利于他们就业的内容。

41. 高级目标之二——后续课建模 • 在后续课中推动矩阵建模，对学过线性代数实践的学生， 其后续课中的矩阵运算就有了机算条件，应组织后续课多用矩阵、多用机算，充分扩展线性代数课程改革对教学计划的促进作用。对后续课教师进行线性代数机算的补课十分必要。 • 我们对机电类专业的十来门后续课引进矩阵建模和解题，得到了非常有价值的结果。它不仅可以使解题效率极大提高，而且对概念的深化和概括有极大影响，许多过去要死记硬背的规则和方法都可以省略了，学起来可以事半功倍。 • 举一些例子如下：

42. 力学课程 • 刚体力学中多个刚体的平衡方程完全用矩阵解决了，不用代入法和消去法。 • 对于具有变形协调方程的材料力学静不定问题也可用矩阵求解，因而根本不需要做初等的乘除加减运算了 • 再往复杂的结构力学问题发展就非常自然，只要解决建模问题，列出方程组，解就不成问题。 • 刚体运动学完全用变换矩阵和矩阵乘法来解决。 • 振动力学方程的解用矩阵完成，而其特征值和特征向量的物理意义非常清楚地表达了。

43. 电路——直流和交流电路 • 复杂的多节点多回路电路计算完全用矩阵实现，交流电路用复数矩阵，只要填矩阵，不要算，同样大大节省了学生用于计算的时间，专心于概念和模型建立。 • 在概念上也会有一个飞跃。因为现在的电路线性方程组可以是电压方程，也可以是电流方程。“电路方程组可写成AX＝B。系数A是阻抗或导纳矩阵，X是电路中的电压和电流状态向量，B是输入的已知电源向量”。有一位审稿的先生说我是错误的。他说，你这不是欧姆定理吗？怎么是方程组呢？其实这就是用矩阵表达的广义的多变量且适合于交流和直流的欧姆定理。大家可以从这里出发去创新和发挥，大有搞头！

44. 信号与系统——取代梅森公式 • 信号流图是描述线性系统的最重要的工具。在信号与系统课程中化简信号流图的方法就是梅森公式，这是梅森于1956年提出的，统治了这门学科50多年了。它是以图形拓扑为基础的方法，不给证明，要学生死记一些规则，掌握很困难，系统稍复杂一些就毫无办法。 • 把“矩阵建模+MATLAB”用与信号流图，理论很严格，只要把信号流图中的系数正确填进矩阵一个求逆就把结果解出来了，根本不必记什么规则。求解自动化，再复杂，计算机也能算出来。多好的方法啊，还要梅森公式干啥？这是革命性的课程改造。（参看前面需求分析的例子） • 它还为后面信号处理、自动控制改革打下了基础

45. 信号处理 数字滤波器系统函数 • 像这样一个不算复杂的滤波器，列写方程将是一个十几阶的线性方程组，没有人敢去碰它 • x1= u- k3x4; x2=x1; x3=k3x2+x4; x4=qx7; • x5= x2- k2x8; x6=x5; x7=k2x6+x8; x8=qx11; • x9= x6- k1x12; x10=x9; x11=k1x10+x12; x12=qx10; • x13=y= C0x10+ C1x11+ C2x7+ C3x3 • 掌握了线性代数，你就可以把它写成矩阵形式：一个求逆命令就全部解决了。而且是自动的。

46. 信号处理——复杂滤波器的计算

47. 自动控制——结构图的简化 • 自动控制系统结构图简化：不需要先去化为并联、串联和反馈，直接列写方程组并写成矩阵形式。然后用

48. 自动控制系统结构图的简化 • 设 • 只要在矩阵中设s为符号变量，代进去，系统自然给出很复杂的可靠的结果，要靠手算，不知要费多少时间和出多少次错误

49. 权威们的评价 • 对于用信号流图矩阵建模而突破的复杂线性系统化简的创新方法，有以下的权威评价。 • 西安交大校长郑南宁院士写道（2008年9月）： • 陈老师：您好！    • 您的来信收悉。您提的方法有创新性，我一定会在本届论坛上尽力推动这项工作。     • 祝好！    • 郑南宁

50. 权威们的评价 • 东北大学自动化学院院长薛定宇教授写道： • 陈老师，您好我以前也写过模型化简的程序，是关于由结构图到状态方程转换的，所以有比较tricky的例子。对当时遇到问题的例子也试用了您的方法，发现结果完全正确。另外，您的方法很简洁易用，有很好的应用前景。如果以后我控制书再版时将介绍您的方法，并引用您的文章和书籍，望慨允。... • 定宇