Potenziale Elettrico

1. Potenziale Elettrico V Q Q 4pe0r 4pe0R R r R C R B r B A r q A Superfici Equipotenziali independenza dal cammino

2. Forze Conservative e Conservazione Energia • l’energia totale ècostanteed èla somma di energia cinetica e energia potenziale • Concetto di Potenziale Elettrico • È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è una proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica) come è il Campo Elettrico ? (le differenze di potenziale sono funzione solo delle posizioni)

3. Conservazione energia meccanica di una particella • Energia Cinetica • non-relativistica • Energia Potenziale • determinata dalla legge di forza • per Forze Conservative l’energia totale è costante: energia totale =K+U è costante • esempi di forze conservative • gravità; energia potenziale gravitazionale • elastica; molla (legge di Hooke):U(x)=kx2 • elettrica; energia potenziale elettrica • esempi di forze non-conservative (dissipative) • attrito • moto viscoso (velocità limite)

4. + - Le forze elettriche sono conservative • una carica negativa è attratta verso la carica positiva fissa • la carica negativa possiede più energia potenziale e meno energia cinetica lontano dalla carica fissa positiva, e … • più energia cinetica e meno energia potenziale vicino la carica positiva fissa. • Tuttavia, l’energia totale si conserva • Consideriamo una particella carica che si sposta attraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico: • Introduciamo ora l’energia potenziale elettrica ed il potenziale elettrostatico ….

5. Potenziale Elettrico e Energia Potenziale • Immaginiamo una carica di prova, Qo, in un campo elettrico esterno, E(x,y,z)(Ciascuna componente Ex Ey Ez è una funzione di x,y,z) • Qual’è l’energia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo campo? • Definiamo arbitrariamente doveU(x,y,z)è nulla: a distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono finite) • U(x,y,z)è eguale al lavoro necessario per portare Qo dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z) • Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = QoV(x,y,z) • Udipende daQo, maVè independente daQo(che può essere + oppure -) • V(x,y,z)è il potenziale elettrico associato conE(x,y,z) • V(x,y,z) è un campo scalare

6. E q 0 A B WABè la differenza di energia potenziale per andare daA a B Potenziale Elettrico ... • Supponiamo che la caricaq0si muova daAaBattraverso una regione di spazio in cui è presente il campo elettricoE. Poichèsullacaricaagiràunaforzadovuta adE, unacertaquantitàdilavoroWABdovràesserefatto per ottenerequestorisultato. Definiamo ladifferenzadipotenzialeelettricocome: DV ha una intensità ed un segno: + oppure - Se - (VB più basso), il lavoro svolto dal campo è negativo, mentre è positivo quello svolto dalla forza Fe • È una buona definizione ? • ÈVB - VAindependente da q0? • ÈVB - VAindependente dal cammino? Unità di misura: Volt=Joule/Coulomb

7. Felet Fapplicata = -Felet q E 0 A B Indipendente dalla carica. Indipendente dalla carica di prova ? • Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa della presenza del campo E. • essendo: lavoro = forza  spostamento Þ • una carica positiva “cadrà” da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo esterno viene svolto. • per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessario “spendere” energia – svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere energia cinetica)

8. B A ´ ´ x -1mC (c) VAB> 0 (b) VAB= 0 (a) VAB< 0 Esempio 1 • una carica singola ( Q = -1mC) è fissa all’origine. Definire un punto A a x=+5m e un punto B a x = +2m. • Qual’è il segno della differenza di potenziale tra A e B? (VABºVB - VA ) • La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto B. • Una carica positiva inAsarebbe attratta verso la carica da-1mC; pertanto un lavoro esternoNEGATIVOdovrebbe essere svolto per muovere la carica daA a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva) • Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione: Poichè , VAB <0 !!

9. -Felet Felet q E 0 A B Independente dal Cammino ? • Definizione della differenza di potenziale : DVAB=VB - VA. • L’integrale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo il percorso da A a B. • La questione è: Dipende questo integrale dallo specifico percorso scelto per andare da A a B ? dl

10. B C q h E r dl A Vediamo se è veramente indipendente • Consideriamo il caso di un campo costante : • via diretta:A - B • via più lunga:A - C – B Notare che dl punta in verso opposto a E. dl • Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l’integrale è lo stesso per ENTRAMBI i cammini.

11. rf Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale W = F d cos(q) Gravità Elettrico • mattone spostato yi yf • carica spostata  rf • FE = kq1q2/r2(sinistra) • WE = -kq1q2/rf • DUE= +kq1q2/rf • FG = mg (giù) • WG = -mgh • DUG= +mgh yf h yi

12. Esempio 1. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche(da +1, +2 e +3 μC rispettivamente) • W1 = 0 • W2 = k q1 q2 /r =3.6 mJ =(9109)(110-6)(210-6)/5 • W3 = k q1 q3/r + k q2 q3/r (9109)(110-6)(310-6)/5 + (9109)(210-6)(310-6)/5 =16.2 mJ • Wtotale = +19.8 mJ • WE = -19.8 mJ • DEen.pot.elettrica = +19.8 mJ (occhio ai segni!) 3 5 m 5 m 2 1 5 m

13. Esempio 2. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche negative (da -1, -2 e -3 μC rispettivamente) Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ? cariche simili si respingono, quindi dovremo ancora eseguire un lavoro positivo ! 3 • W = +19.8 mJ • W = 0 mJ • W = -19.8 mJ 5 m 5 m 2 1 5 m

14. Esempio 1 3. Lavoro necessario per avvicinare 3 cariche (uguali in valore assoluto) + 5 m 5 m - + 2 3 5 m Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra, cioè dello sperimentatore) per mettere insieme queste cariche è: a) positivo b) nullo c) negativo portare (1): lavoro nullo portare (2): lavoro positivo portare (3): lavoro negativo x 2

15. Potenziale Elettrico • Unità Joules/Coulomb Volts • Batterie • Prese elettriche • In realtà sono differenze di Potenziale • Linee Equipotenziali (equilivello) • Le linee del campo puntano verso il basso • V = k q/r (a distanza r dalla carica q) in particolare V() = 0

16. C E uniforme  A B Esempio • Dati tre punti A, B, C in un campo E uniforme Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ? • maggiore • eguale • minore Il campo elettrico va da A a B Il campo è uniforme così il potenziale elettrico è eguale in tutti i punti Il potenziale elettrico in A è minore del potenziale in B perchè il punto C interferisce con il massimo del potenziale in A.

17. C E uniforme  A B Esempio • Dati tre punti, A e B all’interno di un conduttore e C all’esterno, immersi in un campo E uniforme conduttore Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B • maggiore • eguale • minore “perchè il campo elettrico è nullo in ogni punto all’interno di un materiale conduttore”

18. C E uniforme  A B Riassumendo Vfinale - Viniziale Wcampo E Carica Cammino D E.P.E. = q DV + - Negativa Positivo A  B Negativa Negativo Positiva Zero Zero + - A  C Nulla Zero Zero Positivo Negativa C  B Negativa + - Positiva Negativo

19. E Esempio: Potenziale Elettrico + C B A Il potenzialeelettrico (generatodall’unicacaricapositiva) nelpunto A è __???__ chenelpunto B • maggiore • eguale • minore • Le linee del campo elettrico puntano “verso il basso” • La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E) • La linea CB è “verso il basso”, così B è ad un potenziale più basso di A

20. Esempio Potenziale Elettrico generato da un Protone Qual’è il potenziale elettrico ad una distanza r=0.5310-10m da un protone ? (Sia V()=0) V =U/q= k q/ r =(9109C2N-1m-2)(1.610-19C) /0.5310-10m= 27.2 volts rf = 0.510-10m +

21. EnergiaPotenziale Elettrica vs. Potenziale Elettrico • Energia Potenziale Elettrica (U) – l’energia di una carica in un punto. • Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un punto nello spazio – ci dice quale EPE avrebbe una carica se fosse posta in quel punto (generalmente ci riferiamo a differenze di potenziale tra due punti): U = Vq • Ciascuna delle due quantità è funzione solo del posto (scalare). Il segno è importante !

22. Esempio Due Cariche • Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto alle cariche presenti • Calcolare V dalla carica +7mC • Calcolare V dalla carica –3.5mC • Sommarli • V = kq/r V7=(9109C2N-1m-2)(710-6C)/5m = 12.6103V V3=(9109C2N-1m-2)(-3.510-6C)/5m = -6.3103V Vtot = V7+V3 = +6.3103V A 4 m 6 m Q=+7.0mC Q=-3.5 mC W=DU=DVq =(+6.3103V)(2mC) =+12.6 mJ Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 mC dall’infinito al punto A?

23. Due Cariche • Nella regione II (tra le due cariche) il potenziale elettrico è : 1) sempre positivo 2) positivo in alcuni punti, negativo in altri. 3) sempre negativo I II III Q=+7.0mC Q=-3.5 mC Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo

24. Curve Equipotenziali ed Energia Potenziale Elettrico

25. integrale di linea dl Potenziale Elettrico: dove è nullo? • Abbiamo considerato finora differenze di potenziale. • Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento. • un buon punto di riferimento è l’infinito ... tipicamente si pone V=0 • quindi il potenziale elettrico è definito come: per una carica puntiforme all’origine, integriamo dall’infinito lungo un certo asse, p.es. l’asse x • “r” è la distanza dall’origine

26. r1 x q1 r2 r3 q2 q3 Þ Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi Il potenziale da un insieme di N cariche è proprio la sommaalgebrica del potenziale dovuto a ciascuna carica separatamente. DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE.

27. Esempio • Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0 per tutti i punti sull’asse delle x? (si definisca V(x) º 0 per x = ¥ ) +2mC +2mC +1mC +2mC +1mC -2mC x x x -1mC -2mC -2mC -1mC +1mC -1mC (c) (a) (b) La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una sommaALGEBRICAdei contributi individuali Pertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull’asse x deve essere equidistante da +2mC e -2mC ed anche da +1mC e -1mC. Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)!

28. Superfici Equipotenziali Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale. • Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere centrate sulla carica. • PROPRIETA’ GENERALE : • Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie equipotenziale. • Perchè ? Sulla superficie, NON vi è variazione diV(perchè è equipotenziale!) Pertanto, Si può concludere allora, che è nullo. Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale.

29. Superfici Equipotenziali di una sfera carica Er Superfici Equipotenziali • Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica. • Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come ci si aspetta dalla simmetria sferica. • Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica puntiforme. Queste superfici sono dette “equipotenziali”. • Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti.

30. Potenziale di una sfera uniformemente carica Esercizio Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica positiva ed uniforme con una carica totale Q. Determinare il potenziale elettrico: (a) all’esterno e (b) all’interno della sfera.

31. Potenziale di una sfera uniformemente carica Per il teorema di Gauss, al di fuori diuna sfera uniformemente carica diretto radialmente verso l’esterno essendo Q positiva. Per ottenere il potenziale nel punto B • Per il teorema di Gauss, all’interno di una sfera uniformemente carica

32. Potenziale di una sfera uniformemente carica

33. Potenziale di una sfera uniformemente carica

34. Potenziale di un guscio sferico conduttore carico V Q Q 4pe0a 4pe0r a r a a • campo-E (Legge di Gauss) • r< a: Er = 0 1 Q • r >a: Er = 2 4 pe r 0 • Potenziale • r> a: • r < a: E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a)

35. V Q Q 4pe0a 4pe0r a r a R a Cosa significa questo risultato ? Er • Grafico della componente radiale del campo elettrico di un guscio sferico carico: Notare che dentro il guscio, il campo elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il campo elettrico diminuisce come1/r2. Il potenziale per r>a è dato dall’integrale di Er. Questo integrale è semplicemente l’area sotto la curva Er . R a r

36. In definitiva ... • Se conosciamo il campo elettricoE, questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale Vovunque(noto per definizione VA , p.es. VA = 0 ) • Potenziale dovuto ad n cariche: • Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il potenziale è costante.

37. + + + + + + + + + + + + + + Conduttori • Tesi La superficie di un conduttore è sempre una superficie equipotenziale (infatti, l’intero conduttore è equipotenziale) • Perchè ? Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una componente del campo elettrico parallela alla superficie e le cariche si muoverebbero di conseguenza !! Similarmente a quanto avviene all’interno del conduttore. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche all’interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la superficie, il potenziale non cambia.

38. + + + E=0 dentro il guscio conduttore. + + - - - - - + - + - - +q la densità di carica indotta sulla superficie interna è non-uniforme. + - - + - + - + - - - + la densità di carica indotta sulla superficie esterna è uniforme + + + + Eesterno ha una simmetria sferica rispetto al centro del guscio sferico conduttore. Carica sui Conduttori • Come è distribuita la carica sulla superficie di un conduttore ? • Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie. esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro):

39. r L r S La sfera più piccola ha la densità di carica superficiale maggiore ! Þ piccola σ grande σ Carica sui Conduttori • Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ? • Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo raggio di curvatura. • 2 sfere, connesse da un filo e “distanti” • Entrambe allo stesso potenziale Ma:

40. Superficie Equipotenziale (Esempio) • Le linee del del campo sono più “fitte” in prossimità delle zone con grande curvatura. • Le linee del campo sono ^ alla superficie in prossimità della stessa (poichè la superficie è equipotenziale). • Le linee equipotenziali hanno forma simile a quella della superficie (in prossimità della stessa). • Le linee equipotenziali sono simili ad un cerchio (sfera in 3-D) per grandi r. piccola σ piccolo E grande σ grande E

41. Sfera conduttrice • Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal fatto che l’aria circostante diventa conduttrice se essendo  V=ER • R=1 cm • R=1m

42. Calcolo di E da V V+dV V • Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V • Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale Vinvertendo la precedente relazione tra E eV:

43. Calcolo di E da V • Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ? • coordinate cartesiane : • coordinate sferiche : • a parole: • la direzione della più “rapida diminuzione” di V, (massima pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l’intensità (modulo) di E è esattamente la pendenza. • Analogia con la gravità: • Consideriamo il caso di un “paesaggio” (valli e monti)-- una palla accelera verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla palla è il “gradiente” lungo il “terreno scosceso”. La palla inizia a muoversi lungo la direzione della maggiore pendenza. • Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità.

44. Calcolo di E da V: Esempio • Consideriamo il seguente potenziale elettrico: • Quale campo elettrico descrive ? ... esprimendolo come un vettore: si ha:

45. In definitiva ... Þ Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque, possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque Se conosciamo il campo E ovunque, possiamo calcolare la funzione potenzialeVovunque (si rammenti, che spesso definiamoVA = 0in qualche punto ()) • Unità di misura del Potenziale V = J/C • Unità di misura del Campo Elettrico V/m