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ENSAIOS FATORIAIS pxq

ENSAIOS FATORIAIS pxq. Lima, PC. Lima, RR. ENSAIOS FATORIAIS p x q. Exemplo: 2 adubos e 3 doses com 4 repetições Fatorial 2 x 3. Os ensaios fatoriais com dois fatores, o primeiro com p categorias e o segundo com q categorias, são geralmente designados fatoriais p x q.

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ENSAIOS FATORIAIS pxq

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Presentation Transcript

  1. ENSAIOS FATORIAIS pxq Lima, PC Lima, RR

  2. ENSAIOS FATORIAIS p x q Exemplo: 2 adubos e 3 doses com 4 repetições Fatorial 2 x 3 Os ensaios fatoriais com dois fatores, o primeiro com p categorias e o segundo com q categorias, são geralmente designados fatoriais p x q. Exemplo: 2 adubos e 3 doses com 4 repetições Tratamentos: 2x3 = 6 Parcelas: 2x3x4 = 24 O número de tratamentos de um fatorial p x q é igual ao produto pxq e o número de parcelas no experimento é igual a pxqxr , onde r é o número de repetições. Exemplo: 2 adubos e 3 doses com 4 repetições Efeito dos Adubos Efeitos das Doses Efeito da Interação (A x D) Na análise dos fatoriais p x q procuramos conhecer os efeitos provocados na variável resposta por cada um dos dois fatores e pela interação entre eles.

  3. ENSAIOS FATORIAIS p x q Exemplo: 2 adubos e 3 doses com 4 repetições Comparar os 2 Adubos e Comparar as 3 Doses Quando a interação entre os dois fatores nãofor significativa, estuda-se os efeitos de cada um dos fatores separadamente. Quando a interação entre os dois fatores for significativa devemos estudá-la (desdobramento da interação) para conhecer o efeito de um fator em cada categoria do outro. Exemplo: 2 adubos e 3 doses com 4 repetições Comparar as 3 doses no Adubo 1 Comparar as 3 doses no Adubo 2 e Comparar os 2 adubos na Dose 1 Comparar os 2 adubos na Dose 2 Comparar os 2 adubos na Dose 3

  4. Modelo Estatístico para um Fatorial p x q ENSAIOS FATORIAIS p x q DIC DBC DQL : representa o efeito da categoria i do fator A; : representa o efeito da categoria j do fator B; : representa o efeito da interação entre os fatores A e B.

  5. ENSAIOS FATORIAIS p x q MODELOS PADRÕES PARA A TABELA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA Considere um experimento fatorial I x J, com K repetições DIC DBC DQL

  6. ENSAIOS FATORIAIS p x q Análise de Variância para os fatoriais p x q Para exemplificar considere os dados de um fatorial 3x2 em DBC com 4 repetições onde os fatores são A (com as categorias a1, a2 e a3) e B (com as categorias b1 e b2): Para os cálculos de: - SQTotal - SQRepetições - SQLinhas - SQColunas utiliza-se as fórmulas já vistas de acordo com o delineamento adotado no experimento. Para os cálculos das Somas de Quadrados dos Fatores e da Interação utiliza-se uma tabela auxiliar de totais (tabela contendo os dois fatores). SQTratamentos = 130,375 SQRepetições = 4,791666 SQTotal = 165,625

  7. FATORIAIS p x qTabela auxiliar de totais A tabela auxiliar de totais para este exemplo é: t(a1b1) representa a soma de todas as parcelas que receberam o nível a1 do Fator A e o nível b1 do Fator B. 14(4) t(a2b1) 31 t(a3b1) 9 t(a1b1) t(a1b2) 11 t(a2b2) 30 t(a3b2) 10 Neste exemplo, a soma correspondente é 14.

  8. FATORIAIS p x qTabela auxiliar de totais Tabela auxiliar de totais 14(4) 31 9 11 30 10 Observe que cada total corresponde à soma de 4 dados neste exemplo. O próximo passo será obter os totais marginais da tabela.

  9. FATORIAIS p x qTabela auxiliar de totais Tabela auxiliar de totais Cálculos de: SQFator A SQFator B SQ(A e B) ou SQDentro da Tabela SQInteraçãoAxB 14(4) 31 9 11 30 10 Observe! Observe! Observe! SQTratamentos = 130,375 SQRepetições = 4,791666 SQTotal = 165,625

  10. FATORIAIS p x qAnálise de Variância Tabela da Análise de Variância Graus de Liberdade Observe que somando as Somas de Quadrados do Fator A, do Fator B e da Interação A x B obtemos a SQTratamentos. O mesmo se verifica para os graus de liberdade. Teste F GLFator A = no de categorias do fator A -1 = 3 – 1 = 2 GLFator B = no de categorias do fator B -1 = 2 – 1 = 1 GL A x B = GLFator A x GLFator B = 2 x 1 = 2 GLResíduo = por diferença = 23 – 2 – 1 – 2 -3 = 15 F5% Fator A (GL: 2; 15) = 3,68 F5% Fator B (GL: 1; 15) = 4,54 F5% A x B (GL: 2; 15) = 3,68 SQTratamentos = 130,375 SQRepetições = 4,791666 SQTotal = 165,625 SQ Fator A = 129 SQFator B = 0,375 SQ A x B = 1

  11. FATORIAIS p x qEstudo das médias dos fatores: caso de interação não significativa. Quando o teste F para a interação A x B não é significativo, estatisticamente os efeitos de um fator são independentes dos efeitos do outro fator. Nesses casos devemos estudar as médias das categorias de cada um dos dois fatores em separado. As médias para os fatores são obtidas da tabela auxiliar de totais. Para exemplificar, vamos utilizar os dados do exemplo anterior e vamos supor que o teste F para a interação tivesse sido não significativo.

  12. FATORIAIS p x qEstudo das médias dos tratamentos – caso de interação não significativa. Tabela auxiliar de totais Para o fator A, como o teste F foi significativo e temos 3 tipos, aplicamos o teste Tukey: 14(4) 31 9 Tabelas de Médias 11 30 10 b a c

  13. FATORIAIS p x qEstudo das médias dos tratamentos – caso de interação não significativa. Tabela auxiliar de totais Para o fator B, o teste F foi significativo mas como são apenas 2 categorias, não é necessário aplicarmos o teste Tukey. 14(4) 31 9 Tabelas de Médias 11 30 10 Mas se quisermos calcular a DMS para o teste Tukey: b a c a b

  14. FATORIAIS p x q Tabela da Análise de Variância Análise de Variância e Tabelas de Médias (caso de interação não significativa) Tabela de Médias para o Fator A Tabela de Médias para o Fator B

  15. FATORIAIS p x qCaso de interação significativa Quando o teste F para a interação A x B for significativo, estatisticamente os efeitos de um fator dependem dos efeitos do outro fator. Nesses casos, o procedimento a ser seguido é o de estudar a interação, isto é, estudar os efeitos de um fator em cada categoria do outro. Para facilitar o estudo de uma interação utiliza-se a tabela auxiliar de totais. O estudo da interação A x B consiste em comparar as médias das categorias do fator A em cada categoria do fator B (A:B) e/ou comparar as categorias do fator B em cada categoria do fator A (B:A). Vamos utilizar o exemplo anterior para apresentar essas duas possibilidades.

  16. A dentro de B FATORIAIS p x qCaso de interação significativa MÉDIAS PASSOS PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO Consiste em: - comparar as médias a1b1 , a2b1 e a3b1 o que significa comparar as médias de A na categoria 1 de B e • 1º passo: escolher a opção • estudar o fator A condicionado ao fator B (A:B) • ou • - estudar o fator B condicionado ao Fator A (B:A) • estudar o fator B condicionado ao Fator A (B:A) • comparar as médias a1b2 , a2b2 e a3b2 • o que significa comparar as médias de A na categoria 2 de B

  17. B dentro de A FATORIAIS p x qCaso de interação significativa MÉDIAS PASSOS PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO • Consiste em: • comparar as médias a1b1 com a1b2 • o que significa comparar as médias de B na categoria 1 de A • e • 1º passo: escolher a opção • estudar o fator A condicionado ao fator B (A:B) • ou • - estudar o fator B condicionado ao Fator A (B:A) • estudar o fator B condicionado ao Fator A (B:A) • comparar as médias a2b1 com a2b2 • o que significa comparar as médias de B na categoria 2 de A • e • comparar as médias a3b1 com a3b2 • o que significa comparar as médias de B na categoria de A

  18. Tabela do Desdobramento A:B FATORIAIS p x qCaso de interação significativa 66,500 SQ(A:B1) 63,500 SQ(A:B2) PASSOS PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO 1º passo: Escolha da opção: A:B ou B:A Tabela de Totais 2º passo: Análise de Variância do desdobramento da interação segundo a opção escolhida.

  19. A:B Tabela de Médias FATORIAIS p x qCaso de interação significativa Médias do fator A para B1 PASSOS PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO 1º passo: Escolha da opção: A:B ou B:A Médias do fator A para B2 2º passo: Análise de Variância do desdobramento da interação segundo a opção escolhida. 3º passo: Comparação das médias de um fator em cada categoria do outro, conforme a opção escolhida.

  20. Tabela da Análise de Variância FATORIAIS p x qEstudo da interação Estudo da interação: A em cada categoria de B: Modelo de análise. Desdobramento A:B Médias A para B1 Médias A para B2

  21. Tabela do desdobramento B:A FATORIAIS p x qCaso de interação significativa SQ(B:A1) 1,125 SQ(B:A2) 0,125 SQ(B:A3) 0,125 PASSOS PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO 1º passo: Escolha da opção: A:B ou B:A Tabela de Totais 2º passo: Análise de Variância do desdobramento da interação segundo a opção escolhida.

  22. B:A Tabela de Médias FATORIAIS p x qCaso de interação significativa Médias do fator B para A1 PASSOS PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO Médias do fator B para A2 1º passo: Escolha da opção: A:B ou B:A 2º passo: Análise de Variância do desdobramento da interação segundo a opção escolhida. Médias do fator B para A3 3º passo: Estudo das médias de um fator em cada categoria do outro, conforme a opção escolhida.

  23. Tabela da Análise de Variância FATORIAIS p x qEstudo da interação Estudo da interação: B em cada categoria de A Modelo de análise. Desdobramento B:A Médias B para A1 Médias B para A2 Médias B para A3

  24. EXEMPLO 1 • FATORIAL COM INTERAÇÃONÃO SIGNIFICATIVA

  25. Um experimento foi instalado no delineamento blocos casualizados em esquema fatorial 3 X 4 para avaliar a altura de plantas de milho. Estudou-se adubação de cobertura (Toda no plantio, ½ no plantio e ½ 30 dias após e toda 30 dias após) e quatro variedades (A, B, C e D). Foram anotadas as alturas de plantas em metros. EXEMPLO 1 EXPERIMENTO Ficha do Experimento Fatores: Tipos de adubação e Variedades Categorias: No plantio(1), metade no plantio e metade 30 dias após(2), só em cobertura(3) e A, B, C, D Trat.: A-1, A-2, A-3, B-1, B-2, B-3, C-1, C-2, C-3, D-1, D-2, D-3 No de Repetições: 2 Tam. da Parcela: não informado Bordadura: não informado Delineamento: DBC Variáveis Resposta:Altura de plantas (m) Dados observados

  26. EXEMPLO 1 Dados Observados Com os dados originais, calculamos as SQTotal e SQBlocos. SQTotal = 3,5933 SQBlocos = 0,2223

  27. EXEMPLO 1 Dados Observados Com os dados originais, construímos a tabela auxiliar de totais. Tabela Auxiliar de Totais SQTotal = 3,5933 SQBlocos = 0,2223

  28. EXEMPLO 1 Tabela Auxiliar de Totais Com a Tabela Auxiliar de Totais calculamos as SQAdubação, SQVariedades e SQ A x V. SQTotal = 3,5933 SQBlocos = 0,2223 SQAdubação = 0,1438 SQVariedades = 1,5119 SQ AxV = 0,7195

  29. EXEMPLO 1 Tabela da Análise de Variância O primeiro resultado a ser verificado é a significância da interação. • * significativo ao nível 5% Como a interação foi não significativa, devemos estudar cada fator separadamente. Os fatores são qualitativos, vamos usar o teste Tukey. SQTotal = 3,5933 SQBlocos = 0,2223 SQAdubação = 0,1438 SQVariedades = 1,5119 SQ AxV = 0,7195

  30. EXEMPLO 1 Tabela da Análise de Variância Para as Variedades: Para as Adubações: • * significativo ao nível 5% Como o teste F para Adubações foi não significativo: Médias de Alturas para Variedades Médias de Alturas para Adubação Mas, a DMS para o teste Tukey é:

  31. EXEMPLO 1 Tabela da Análise de Variância Resultado Final • * significativo ao nível 5% Os tipos de adubações utilizados mostraram os mesmos efeitos nas alturas médias de plantas. Já as variedades C e D apresentaram altura média superior à variedade A. A variedade B apresentou a mesma altura média da variedade A. O experimento apresentou boa precisão (CV = 11,4%). Médias de Alturas para Variedades Médias de Alturas para Adubação

  32. EXEMPLO 2 • FATORIAL COM INTERAÇÃOSIGNIFICATIVA

  33. Os dados seguintes foram obtidos em um ensaio sobre a produção de matéria seca de forrageiras consorciadas com leguminosas. O ensaio foi montado segundo o esquema fatorial 3x4 em blocos casualisados, sendo 3 gramíneas (Azevém, Falaris e Festuca) e 3 doses de calagem além de uma testemunha (0, 1, 2 e 4 toneladas/ha). EXEMPLO 2 EXPERIMENTO Ficha do Experimento Fatores: Leguminosas e doses de calcário Categorias: Azevem, Falaris, Festuca e Dose 0, Dose 1, Dose 2 e Dose 4. Trat.: A-0, A-1, A-2, A-4, FA-0, FA-1, FA-2, FA-4, FE-0, FE-1, FE-2 e FE-4 No de Repetições: 3 Tam. da Parcela: não informado Bordadura: não informado Delineamento: DBC Variáveis Resposta:Produção de Matéria seca (t/ha) Dados observados

  34. EXEMPLO 2 Dados Observados Com os dados originais, calculamos SQTotal e SQBlocos. SQTotal = 105,6447 SQBlocos = 0,6061

  35. EXEMPLO 2 Dados Observados Com os dados originais, construímos a tabela auxiliar de totais. Tabela Auxiliar de Totais SQTotal = 105,6447 SQBlocos = 0,6061

  36. EXEMPLO 2 Tabela Auxiliar de Totais Com a Tabela Auxiliar de Totais calculamos SQLeguminosas, SQCalcário e SQ L x C. SQTotal = 105,6447 SQBlocos = 0,6061 SQLeguminosas = SQCalcáreo = SQ LxC = 74,8744 2,7000 23,7608

  37. EXEMPLO 2 Tabela da Análise de Variância Com as somas de quadrados, realizamos a análise de variância. O primeiro resultado a ser verificado é a significância da interação. • * significativo ao nível 5% Como a interação foi significativa, devemos estudar o comportamentos de um fator em cada categoria do outro fator: Estudar as Leguminosas e Estudar as Doses de Calcário SQTotal = 105,64 SQBlocos = 0,61 SQLeguminosas = 74,8744 SQCalcáreo = 2,7000 SQ LxC = 23,7608

  38. EXEMPLO 2 Vamos estudar, inicialmente, os efeitos das leguminosas no teor de matéria seca, com cada dose de calcário.

  39. EXEMPLO 2Leguminosas em cada dose Tabela Auxiliar de Totais Com a Tabela Auxiliar de Totais calculamos: SQLeguminosas:0 SQLeguminosas:1 SQLeguminosas:2 SQLeguminosas:4 =38,5696 =40,8056 =16,4332 = 2,8268 Tabela do Desdobramento da Interação

  40. EXEMPLO 2Leguminosas em cada dose Tabela Auxiliar de Totais Médias: Teste de Tukey para médias das leguminosas em cada dose: Tabela de Médias

  41. EXEMPLO 2Leguminosas em cada dose Tabela Auxiliar de Totais Teste de Tukey para médias das leguminosas em cada dose: Tabela de Médias 7,03 – 0,84 = 6,19 4,26 – 0,84 = 3,42 7,75 – 0,84 = 6.91 5,01 – 0,84 = 4,14 5,92 – 0,84 = 5,08 5,64 – 0,84 = 4,80 5,23 – 0,84 = 4,39 4,37 – 0,84 = 3,53

  42. EXEMPLO 2Leguminosas em cada dose Tabela do Desdobramento da Interação O teor de matéria seca com as três leguminosas não respondeu à dose de 1 t/ha de calcário sendo maior com a Festuca, seguida da Falaris e o menor teor com a Azevém. Com 2 t/ha, a consorciação com Falaris e Festuca apresentaram mesmo teor médio de matéria seca, superando o teor apresentado pela consorciação com Azevém. Para a dose de 4 t/ha o maior teor foi obtido com a Festuca, seguida da Azevém e o menor com a Falaris. Tabela de Médias As médias seguidas da mesma letra nas linhas, não diferem entre si pelo teste de Tukey, ao nível de 5% de probabilidade.

  43. EXEMPLO 2 Em seguida, vamos estudar os efeitos das doses de adubo nos teores de matéria seca em cada leguminosa.

  44. EXEMPLO 2Estudo do Calcário Tabela Auxiliar de Totais Com a Tabela Auxiliar de Totais calculamos: SQ Doses:Azevém SQ Doses:Falaris SQ Doses:Festuca = 9,5046 = 5,5811 =11,3752 Como o fator em estudo é quantitativo (doses de calcário), o procedimento apropriado para o estudo das médias é a regressão.

  45. EXEMPLO 2Calcário em cada leguminosa Estudo da Interação com Análise de Regressão Os resultados da análise de regressão polinomial foram obtido com o software SISVAR. Os modelos ajustados para o efeito das doses no teor de matéria seca em cada leguminosa em consórcio foram: Para a Azevém: Para a Falaris: Para a Festuca:

  46. EXEMPLO 2Calcário em cada leguminosa FIGURA 1. Equações de Regressão para Teor de Matéria Seca em função de doses de calcário.

  47. ATÉ A PRÓXIMA!

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