Capitolo 5

1. Capitolo 5 Integrali, aree, primitive

2. Alcuni esempi Derivate e calcolo di aree hanno insospettabili connessioni. Definizione 5.1 (Funzione primitiva) Sia f : I → R, I intervallo. Una funzione F : I → R derivabile si dice primitiva di f in I se F(x) = f(x) ∀x ∈ I. Problema: come calcolare una primitiva? Dobbiamo “invertire” la tabella delle derivate. Calcolo di aree. Calcolo dell’area della regione delimitata da varie curve.

3. Idea per il calcolo dell’area Un metodo ragionevole per procedere potrebbe consistere nell’approssimare l’area con l’area di regioni più “semplici”e poi effettuare una operazione di limite. Per esempio dividiamo l’intervallo [a, b] in N sottointervalli per mezzo della suddivisione a = x0< x1< ... < xN = b. Indichiamo con Dxila lunghezza dell’i-esimo sottointervallo [xi-1, xi]. Sopra ogni sottointervallo [xi-1, xi] “costruiamo” un rettangolo con base il sottointervallo e altezza di lunghezza f(xi). L’area di questo rettangolo è f(xi) × Dxi. La somma di tutte le aree è SN = f(xi)Dxi+ ... + f(xN)DxN. Possiamo supporre che SNsia un’approssimazione dell’area della regione R sottesa dal grafico della funzione f. Al crescere di N, e contemporaneamente con la riduzione Dxi→ 0, possiamo definire area(R) = lim SN, per N → +∞, maxDxi→ 0.

4. Integrale secondo Riemann Consideriamo una funzione limitata e definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], f : [a, b] → R, ∃k ≥0 tale che |f(x)| ≤ k ∀x ∈[a, b]. Una partizione P dell’intervallo [a, b] un insieme ordinato e finito di punti P = {x0, ..., xN}, dove x0= a < x1< ... < xN-1< xN= b. Una partizione P produce una suddivisione dell’intervallo [a, b] in N sottointervalli [a, x1], [x1, x2], ..., [xN-1, xN]. Indichiamo con Dxila lunghezza dell’i-esimo intervallo della partizione, Dxi= xi. xi-1. Dato che la funzione f limitata, gli insiemi Si= {f(x), x∈ (xi-1, xi)} sono non vuoti e limitati, quindi esistono sia l’estremo inferiore mi che l’estremo superiore Mi. Le somme di Riemann superiore ed inferiore di f corrispondenti alla partizione P sono definite dalle relazioni

5. Integrale secondo Riemann Osserviamo che, posto m = inf im(f) e M = supim(f), risulta m(b -a) ≤s(f,P) ≤S(f,P) ≤M(b -a), quindi esiste l’estremo inferiore e superiore dell’insieme {s(f,P), P partizione di [a, b]}, e dell’insieme {S(f,P), P partizione di [a, b]}. e possono verificarsi due casi, • sups < inf S, oppure • sup s = inf S. Nel secondo caso la f risulta integrabile.

6. Definizione 5.2 (Funzione integrabile) Una funzione f : [a, b] → R limitata si dice integrabile (secondo Riemann) su [a, b] se supP(s) = infP(S). Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale (di Riemann) di f in [a, b] e sar denotato con uno dei simboli dove I = [a, b] il dominio di integrazione e f = f(x) la funzione integranda. Problemi e necessità. • Condizioni di integrabilità. • Calcolo degli integrali Condizioni di integrabilità Consideriamo f : [a, b] → R, • se f è limitata e monotona allora f è integrabile. • Se f è continua allora f è integrabile. Nota. La sola limitatezza non basta.

7. Proprietà dell’integrale f localmente integrabile: integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato incluso nel dominio. Definizione 5.3 Sia f : I → R, I intervallo, f localmente integrabile, a, b ∈I. L’integrale da a a b di f il numero reale definito come segue I due numeri a e b vengono detti primo e, rispettivamente, secondo estremo di integrazione.

9. Valor medio Definizione 5.4 (Valor medio integrale) Sia f : [a, b] → R integrabile, si chiama valor medio di f nell’intervallo [a, b] la quantità Dalla proprietà iv) degli integrali si deduce che il valor medio integrale di f compreso tra il suo sup e il suo inf Se f anche continua, assume tutti i valori tra l’estremo inferiore e l’estremo superiore della sua immagine.

10. Nota. Per il punto ii) del Teorema del valor medio la continuità è essenziale.

11. Relazioni tra integrazione e derivazione Sia f una funzione localmente integrabile in un intervallo I, sia a ∈I, possiamo considerare la funzione integrale Osservazione. La funzione F è una funzione continua se f è integrabile.

12. Risultati fondamentali Teorema 5.3 (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f una funzione localmente integrabile in un intervallo I e a ∈I, sia F la funzione integrale Sia inoltre x0un punto interno a I, se f è continua in x0allora esiste F(x0) e si ha F(x0) = f(x0).

13. Risultati fondamentali Teorema 5.4 (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia I un intervallo, f : I → R una funzione continua e derivabile con funzione derivata fcontinua nell’intervallo I; sia a ∈I, allora

15. Integrali indefiniti Definizione 5.5 (Integrale indefinito) Sia f : I → R, I intervallo, f continua in I. L’insieme delle primitive di f si chiama integrale indefinito di f e si denota con il simbolo

16. Calcolo di primitive Nella Tabella che segue si riportano alcuni integrali indefiniti (il simbolo C sta ad indicare una costante reale generica). La primitiva si può trovare leggendo la tabella delle derivate “al contrario”, in tal senso si dice che “l’integrazione l’operazione inversa della derivazione”. Affermazione impropria ma suggestiva.

17. Integrazione per sostituzione Idea: sostituire un integrale complicato con uno più “semplice”. Questo viene fatto sostituendo al posto di x una funzione di x. Formula Nota. Dal punto di vista del calcolo facilita scrivere la sostituzione nel seguente modo (che produce un risultato corretto anche se formalmente impreciso): si individua la sostituzione u = g(x), avvalendosi della forma du/dx = g(x) si scrive du = g(x)dx, quindi se F= f. Esempio. consideriamo l’integrale indefinito Se si pone u = cosx, formalmente du = -sin xdx e potendo “operare con dx e du dopo il segno di integrale”,

19. Integrazione per parti Idea: utilizzare la regola della derivata del prodotto (fg)= fg+fg. Formula, Nota. l’applicazione della regola non “meccanica”e non sempre porta a una semplificazione del problema.