Coloration gap sommet identifiante de graphes

1. Coloration gap sommet identifiante de graphes Mohammed Amin Tahraoui Eric Duchêne Hamamache Kheddouci Université de Lyon 1 • 12èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA’10), Marseille • France.

2. Plan • Coloration de graphe • Coloration arêtes • Étiquetage des sommets • Coloration sommet identifiante • Définition • Variantes du problème • Coloration Gap sommet-identifiante • Formalisation • Résultats • Perspectives

3. Colorations de graphe Coloration arêtes • Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle sorte que deux arêtes adjacentes n’aient jamais la même couleur. c :E {0,1,…,k-1} • ’ (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour obtenir une coloration arête. • Théorème de Vizing’s : Δ ≤ ’ (G) ≤ Δ +1 1 3 2 2 3 1 (G) =3

4. Colorations de graphe Etiquetage des sommets Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing) • L’étiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette. • Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing) • L’étiquetagedes sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur. Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommet-identifiante ou une colorationsommet adjacent -identifiante Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-DistinguishingEdge Colorings)

5. Coloration sommet-identifianteDéfinition propre impropre Coloration des arêtes qui permette de distinguer via une fonction de codage c Tous Les sommets Sommets adjacents Somme Union set Union multi-set {1,2} {1,2,3} 3 6 1 1 {1,3} 3 10 3 2 2 1 {3,5} 3 2 2 9 2 3 1 {2,4} 4 2 {1,4} 7 3 5 5 6 {1,5} 8 vertex-distinguishing edge-colorings (Burris & Schelp, 97) Irregular weighting (Chartrand et al ,86)

6. Coloration sommet-identifiante Variantes de problème Identifiante Coloration arête Fonction de codage

7. Coloration Gap sommet-identifianteDéfinition proper Non proper Coloration des arêtes qui permette de distinguer Tous Les sommets Sommets adjacents Somme Union set Union multi-set via une fonction de codage c. Gap

8. Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation Définition 1 • Soit un graphe G=(V, E) • Soit f : E → {1,……k} • Pour chaque sommet v de G : Max f(e) v ∈ e - Min f(e) v ∈ e si d(v)>1 c(v)= f(e) si d(v)=1 6 5 7 Min 6 4 1 3 2 10 2 1 10 2 9 9 7 0 2 Max Nombre chromatique gap(G): Le plus petit k tel que G admette une coloration Gap-sommet-identifiante

9. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K1ouK2 gap(G)≥n si (i) δ(G) ≥ 2 ou (ii)Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) ≥n − 1 Sinon • Bornes inférieures 5 4 4 2 2 4 0 2 2 1 4 3 0 3 3 3 1 5 1 1 0 3 5 1 3 1 2 3

10. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Conjecture: Pour tout graph connexeG d’ordren>2 gap(G) ≤ n+1 • Bornes supérieures • Nous avons prouvé cette conjecture • Larges ensembles de graphes de degré minimum δ (G) ≥ 2. • Classes spéciales de graphes de degré minimum δ (G) =1: • Chaines. • Arbresayant au moinsdeux feuilles à une distance égale à 2. • Arbre binaire complet.

11. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2 Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k≥2, gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4)(a) gap(G) = n+1 sinon (b)

12. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Cycle • Théorème 3 : • gap(Cn) = n, si n=0, 1(mod 4) (a) • gap(Cn) = n+1 si n=2, 3(mod 4)(b)

13. Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4) • gap(Cn) ≥ n • gap(Cn) ≤ n ? ? ? Case (a).1 : n mod 4 =0 f(e1)=1 7 3 (i+1)/2i impaire 8 4 n/2 i mod 4=2 f(ei) = n i mod 4=0 2 4 2 4 n-(i+1)/2i mod 4=1 (n-i)/2 i mod 4=2 6 0 c(vi) = (n –i-1)/2 i mod 4=3 8 4 n-(i/2) i mod 4=0 5 1 3

14. Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4) gapCn) ≤ n ? Case a.2 : n mod 4 =1 f(e1)=1 7 8 9 ii paire 8 n-1 i mod 4=2 5 2 f(ei) = n i mod 4=0 7 3 1 6 n-1i mod 4=2 8 9 n-i+1 i mod 4=0 c(vi) = n –i-1 i mod 4=3 0 4 n-i i mod 4=1 8 5 gap(Cn) =n 3

15. Coloration Gap sommet-identifiante (b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) • gap(Cn) > n ? ? ? • Chaque terme f(ei) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux signes différents) Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) ) gap(Cn) > n

16. Coloration Gap sommet-identifiante (b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) • gap(Cn) ≥ n+1 • gap(Cn) ≤ n+1 ? ? ? • Case (b).1 : n mod 4 =3 • n+1 mod 4= 0 (gap(Cn+1) = n+1) • Cn+1doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs. 1 7 3 8 4 2 4 gap(Cn) = n+1 2 4 4 6 0 8 4 3 5 1

17. Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) gap(Cn) ≤ n+1 ? Case (b).2 : n mod 4 =2 f(en)= f(en-1)=2, f(en-2)=3 et f(e1)=7 6 5 2 1 n+2-ii paire 4 0 Pour 1≤ i ≤ n-3, f(ei) = 1 i mod 4=2 2 i mod 4=0 2 5 1 2 3 gap(Cn) =n+1

18. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Coloration arête équilibrée Définition 2 Pour chaque sommet v de G=(V, E): Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v ∈e, Max f(e) v ∈e] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) ∩ I(v)≠ Ø 6 v1 1 5 v3 5 3 I(v1)=[1,6] I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={5} v2 v4

19. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Théorème 4 : SoitG un graphe avec δ(G) ≥ 2. S'il existe un sous-graphe couvrant H de Gtelqueδ(H) ≥2 S’ilexisteune coloration arête équilibrée de Htel que gap(H) ≤ k. gap(G) ≤k. Preuve • gap(H) ≤ k. • Pour toute (u,v) de V: • c(u)≠c(v) et • f : coloration équilibrée : x∈ I(u) ∩ I(v) • Pour toute (u,v) ∈ E(G)/E(H), f(e)=x, gap(G) ≤ k. 4 2 3 2 1 2 2 0 2 I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={2}

20. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Théorème 5 Pour tout graphe 2-arête-connexe G d’ordre n tel que G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons gap(G) = n Idée de preuve Proposer une coloration arête équilibrée d’un sous-graphe couvrant G’ de G. Algorithme Polynomial

21. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Notations • Au cours de l'algorithme: • SoitSc l’ensemble courant des sommetscodés. • InitialementSc= Ø. • Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à  au moins deux arêtes colorées(e1,e2). On fixe c(v) à |f(e1)-f(e2)|.

22. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Notations • Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Scet non encore inclus dans l’ensemble Sc. • Pour chaquesommetu de N(Sc), soit la fonctionP(u) qui renvoieunechaineentre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u. Sc P(u) v 1 u 7 8 N(Sc)

23. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Algorithme • Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent d'un cycle de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4). • Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n couleurs.

24. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à : • Cycle de longueur multiple de 4. • Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun. Observation Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4, Alors Δ(G) ≥3 , lesous-graphe H peut être toujours obtenu à partir de G.

25. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration) • Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4 • Sc=V(H) n-i+1i impaire 1 i mod 4=2 f(ei) = 2 i mod 4=0 5 1 7 6 8 2 4 6 Principe Pour tout sommet v de H : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)≠c(v)

26. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc), • Soit une chaine R=P(u) d’ordre k • Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod 4=0,1,2,3. • Sc= Sc U V(R) • Si|Sc|<|V| 5 1 7 u 5 3 6 8 2 2 4 6 Principe Pour tout sommet v de Sc : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)

27. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc), • Soit une chaine R=P(u) d’ordre k • Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de Rselon la valeur k mod 4=0,1,2,3. • Sc= Sc U V(R) 5 1 7 5 3 u 5 6 8 2 2 2 2 4 6 0 2 3 Principe Pour tout sommet v de Sc : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v) 1

28. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Etape 4: • Pour chaque sommet v de G : 2∈ I(v) • Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)≠c(v) • Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2 • Fin de l’algorithme • gap(G)=n. 5 1 7 5 3 5 6 8 2 2 2 2 2 4 6 0 2 3 2 1

29. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sous-graphe 2-arête connexe couvrant G’ différent d'un cycle. • Selon l’algorithme précédent, G’ admet une coloration Gap sommet identifiante équilibrée Corollaire 6 Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n

30. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6. Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥2, gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4)(a) gap(G) = n+1 sinon (b)

31. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Graphe de degré minimum δ (G) = 1 • Théorème 7 : • gap(Pn) = n, si n=2, 3(mod 4) (a) • gap(Pn) = n-1 si n=0, 1(mod 4)(b)

32. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats • Graphe de degré minimum δ (G) = 1 Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT d’ordre n > 3, nous avons gap(BT) = n − 1. Théorème 9 Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons gap(T) ≤ n.

33. Coloration Gap sommet-identifiante Perspective Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2) Pour tout graphe G d’ordre n avec un degré minimum δ (G) ≥ 2, gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4)(a) gap(G) = n+1 sinon (b) Conjecture 3 (Arbre) Pour tout arbre T d’ordre n ≥ 3, gap(T) = n, silacondition (ii) du Théorème 1 est remplie(a) gap(T) = n-1 sinon (b)

34. Merci pour votre attention