1 / 22

Deret Taylor & Maclaurin

Deret Taylor & Maclaurin. Deret Taylor & Maclaurin. Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x), ..., f (n) (x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f (n+1) (x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b. Maka berlaku: dimana R n adalah sisanya yang berbentuk:.

kane
Download Presentation

Deret Taylor & Maclaurin

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Deret Taylor & Maclaurin

  2. Deret Taylor & Maclaurin • Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b. • Maka berlaku: dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:

  3. Deret Taylor & Maclaurin dimana   (a, x)

  4. Deret Taylor & Maclaurin • Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa : ........... 1)

  5. Deret Taylor & Maclaurin • Kemudian akan ditunjukkan bahwa mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy

  6. Deret Taylor & Maclaurin • Untuk membuktikan persamaan 1) digunakan induksi matematika. • Untuk n = 0

  7. Deret Taylor & Maclaurin • Misalkan berlaku untuk n = k

  8. Deret Taylor & Maclaurin • Untuk n = k + 1 Perhatikan bentuk misal:

  9. Deret Taylor & Maclaurin

  10. Deret Taylor & Maclaurin • dari n = k, diperoleh

  11. Deret Taylor & Maclaurin • Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa mempunyai 2 bentuk

  12. Deret Taylor & Maclaurin • Menurut teorema nilai rata-rata untuk integral • Misalkan maka

  13. Deret Taylor & Maclaurin • Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu

  14. Deret Taylor & Maclaurin • Misalkan maka

  15. Deret Taylor & Maclaurin • Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk sisa, yaitu

  16. Deret Taylor & Maclaurin • Sewaktu n berubah, maka umumnya  juga berubah. Jika untuk semua x dan  di dalam [a, b] kita mempunyai , maka persamaan di awal dapat ditulis: • Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin

  17. Deret Taylor & Maclaurin • Walaupun semua turunan f(x) ada di x = a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).

  18. Deret Taylor & Maclaurin • Contoh: Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x  0

  19. Deret-Deret Penting • Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan dll

  20. Deret Binomial • Bentuknya adalah • Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir • Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1

  21. Deret Binomial c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1 • Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1 Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan (d)

More Related