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图论 Graphic Theory

图论 Graphic Theory. 阙夏制作. 内容回顾. 图论中著名的问题： 环球旅行问题到货郎问题； 四色猜想问题； Ramsey 问题： Ramsey 问题的描述； Ramsey 问题的证明； 妖怪图 (snark graph). 内容回顾－ 1. 图的基本概念 有向图 / 无向图  子图； 邻接  度； 路径 / 简单路径 / 回路 / 简单回路； 连通 / 连通图 / 连通分量 / 连通有向图 / 强连通图； 两个结论： 握手定理； 握手定理的推论。. 第一章 图的基本概念. §1 引论

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图论 Graphic Theory

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Presentation Transcript

  1. 图论Graphic Theory 阙夏制作

  2. 内容回顾 • 图论中著名的问题： • 环球旅行问题到货郎问题； • 四色猜想问题； • Ramsey问题： Ramsey问题的描述； Ramsey问题的证明； • 妖怪图(snark graph)

  3. 内容回顾－1 • 图的基本概念 有向图/无向图子图； 邻接度； 路径/简单路径/回路/简单回路； 连通/连通图/连通分量/连通有向图/强连通图； • 两个结论： 握手定理； 握手定理的推论。

  4. 第一章 图的基本概念 §1 引论 §2 图的概念 §3 道路和回路 §4 图的矩阵表示法 §5 中国邮路问题 §6 平面图

  5. 思考： (1)若有n个顶点的有向图G是强连通图，G中最少有几条弧才能保证其强连通性？ (2)若有n个顶点的无向图G是连通图，G中最少有几条边才能保证其极大连通性？ <<

  6. §3 道路和回路

  7. 二、欧拉（Euler）回路 • 定义：对于连通的无向图G，若存在一简单回路，它通过G的所有边，则这回路称为G的Euler回路； • 若图G中存在Euler回路，则称G为Euler图； • 在图G中，若存在包含所有边的简单路径，则称这条路径为Euler道路(Euler tour)。

  8. 或 C C 二、欧拉（Euler）回路－1 • 定理：若连通无向图G所有顶点的度都是偶数，则存在一条图G的Euler回路(充要条件) 证明（反证法）： 设C=(e1=(v0,v1),e2=(v1,v2),…,em=(vm-1 ,v0))是图中最大的回路。 假设C不是Euler回路。则图G如下图所示：

  9. C C 二、欧拉（Euler）回路－2 ∵ 图是连通的，则顶点不可能出现下面的情况： ∵图中任意结点的度均为偶数，∴有如下所示： 与假设矛盾， ∴C是Euler回路。

  10. 二、欧拉（Euler）回路－3 • 推论：如果连通图G只有两个度为奇数的顶点，则存在以这两个顶点为两端点，且包含G所有边的Euler道路。 • 补充：连通有向图存在Euler回路的充要条件是：每个顶点的入度＝出度。

  11. 欧拉回路求解方法 （Fleury‘s algorithm ）： (1)可从任一点出发去掉连接此点的一边。 (2)依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。

  12. 例子1－1 例1-1：如果可能求出下图的一条Euler回路。 v2 v7 v6 v1 v3 v8 v5 v4 v9

  13. v2 v7 例子1－1解答－1 v6 v1 v3 v8 v5 解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个顶点的度是否都是偶数。 d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2， d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4， d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。 所以存在Euler回路。 可以任意一个顶点为起点，这里以v2为起点: v4 v9

  14. 例子1－1解答－2 v2 v7 v6 v1 v3 v8 依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。 v5 v4 v9

  15. 例子1－1解答－3 v2 v7 v6 v1 v3 v8 依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。 v5 1 v4 v9 (1)先去掉(v2,v4)

  16. 例子1－1解答－4 v2 v7 v6 v1 v3 v8 依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。 1 v5 2 v4 v9 (2)接着去掉(v4,v3)

  17. 例子1－1解答－5 v2 v7 3 v6 v1 v3 v8 依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。 1 v5 2 v4 v9 (3)接着去掉(v3,v2)

  18. 例子1－1解答－6 v2 v7 3 v6 v1 v3 v8 依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。 1 v5 2 v4 v9 ……

  19. 例子1－1解答－7 v2 v7 4 3 v6 v1 v3 v8 依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边，则此顶点亦可去也。 b、去某边后不能造成图形的不连通。 1 v5 5 2 6 8 7 v4 v9 这时，如果去掉(v6,v5)将导致图不连通

  20. 例子1－1解答－8 v2 v7 4 14 12 3 v6 v1 v3 13 9 v8 1 v5 11 5 2 6 8 10 7 v4 v9 Euler回路： V2-v4-v3-v2-v1-v4-v5-v9-v6-v8-v9-v7-v6-v5-v2 从上例可知， Euler回路不唯一。

  21. 课堂练习 （1）下图所示能否产生Euler回路？如果可以找出一条Euler回路。

  22. 三、Hamilton回路 • 定义：若图G存在一条回路P，它通过G的每个顶点各一次又回到起点，则这回路称为G的Hamilton回路。 • 若图G中存在Hamilton回路，则称G为Hamilton图。 • 在图G中，若存在通过每个顶点各一次的道路，则称这条道路为Hamilton道路。

  23. Hamilton定理 • 定理(充分条件) ：设简单图G的顶点数为n(n>3)，若G中任意一对顶点vi、vj，恒有d(vi)+d(vj)≥n-1，则图G中至少有一条Hamilton道路。 • 推论(充分条件) ：若任意一对顶点vi、vj，恒有d(vi)+d(vj)≥n，则图G中至少有一条Hamilton回路。

  24. Hamilton定理证明 下面证明Hamilton道路的存在。 证明：(1)先证明G是连通的。 假设G不连通，则G至少有两个连通分量。设其中一部分有n1个顶点，另一部分有n2个顶点。分别在两部分各选一个顶点v1、v2， ∵ G是简单图，所以： d(v1)≤ n1－1 ，d(v2)≤ n2－1， d(v1)+d(v2) ≤ n1＋ n2－ 2＜n－1。 与假设d(vi)+d(vj)≥n-1矛盾，所以G连通。

  25. v1 vL v2 vL-1 vp Hamilton定理证明－1 (2)再证明存在Hamilton道路： 假设G中有一条从v1到vL道路 T=(v1,v2,…,vL)是图中的最长道路，即起点v1和终点vL不和T之外的顶点相邻。 (a)如果L＝n，即T是包含所有顶点的道路，即T是Hamilton道路，得证。 (b)若L＜n且v1和vL相邻，则存在包含T的回路；

  26. v2 vL v1 vp vp-1 Hamilton定理证明－2 若L＜n且v1和vL不相邻，则根据条件d(vi)+d(vj)≥n-1，有如下图示： 所以存在包含T的回路。

  27. vk v2 vL v1 vp vp-1 Hamilton定理证明－3 则根据条件d(vi)+d(vj)≥n-1，有如下图示： (c)证明存在比T更长的道路： 与假设矛盾，所以存在包含所有顶点的Hamilon道路。

  28. 课后作业 1.试证明10人中必有3个人相互认识或4个人相互不认识，两者必居其一。

  29. 思考题1答案 (1)若有n个顶点的有向图G是强连通图，G中最少有几条边才能保证其强连通性？ 答： n条边，一个环。 (2)若有n个顶点的无向图G是连通图，G中最少有几条边才能保证其极大连通性？ 答： n-1条边，即为一棵树的时候边数最少。

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