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1. 了解构成函数的要素;了解映射的概念 . 2. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 .

1. 了解构成函数的要素;了解映射的概念 . 2. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 . 3. 了解简单的分段函数,并能简单地应用. 1. 函数与映射的概念. 集. 数集. 合. 任意. 任意. 唯一确. 都有唯一确定. 定. f : A→B. f : A→B. [ 思考探究 1]   映射与函数有什么区别?. 提示: 函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集. 2. 函数的相关概念 (1) 函数的三要素是 、 和 .

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1. 了解构成函数的要素;了解映射的概念 . 2. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 .

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  1. 1.了解构成函数的要素;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.

  2. 1.函数与映射的概念 集 数集 合 任意 任意 唯一确 都有唯一确定 定

  3. f:A→B f:A→B

  4. [思考探究1]   映射与函数有什么区别? 提示:函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集.

  5. 2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是、和 . (2)相等函数 如果两个函数的 和完全一致,则这两 个函数相等. 定义域 对应关系 值域 对应关系 定义域

  6. [思考探究2]   如果两个函数的定义域与值域相同,则它们是否为相等函数? 提示:不一定,如函数f(x)=x和函数g(x)=-x的定义域和值域均为R,但两者显然不是同一函数.

  7. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有:、、. 解析法 列表法 图象法

  8. 1.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射,则下 面说法错误的是 () A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素 B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素,则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能没有对应元素

  9. 解析:根据映射的概念可知,A中两个元素可以和B中的同一个元素对应,即允许多对一,不允许一对多.解析:根据映射的概念可知,A中两个元素可以和B中的同一个元素对应,即允许多对一,不允许一对多. 答案:B

  10. 2.如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是 ()

  11. 解析:A、B、C选项中都有“一对二”情形,不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”,只有D符合函数定义.故选D.解析:A、B、C选项中都有“一对二”情形,不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”,只有D符合函数定义.故选D. 答案:D

  12. 3.下列各组函数是同一函数的是 () A. y = 与y=1 B. y = 与y= C. y = 与y=2x-1 D. y = 与y=x

  13. 解析:∵y= 排除A; y = 排除B; y = 排除C. 答案:D

  14. 4.若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(-1)=.4.若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(-1)=. 解析:∵f(x)=x2+bx+c,f(1)=0,f(3)=0. ∴1+3=-b,1×3=c. 即b=-4,c=3. ∴f(x)=x2-4x+3. ∴f(-1)=1+4+3=8. 答案:8

  15. 5.设函数f(x)= ,若f(x)=10,则x =. 解析:当x>0时,-2x<0,故不合题意; 当x≤0时,x2+1=10, ∴x=-3. 答案:-3

  16. 对于映射f:A→B的理解要抓住以下三点: 1.集合A、B及对应关系f是确定的,是一个整体,是一个 系统; 2.对应关系f具有方向性,即强调从集合A到集合B的对应, 它与从B到A的对应关系是不同的; 3.对于A中的任意元素a,在B中有唯一元素b与之相对应. 其要点在“任意”、“唯一”两词上.

  17. 已知映射f:A→B.其中A=B=R,对应关系f:x→y=-x2+2x,对于实数k∈B,在集合A中不存在元素与之相对应,则k的取值范围是 () A.k>1B.k≥1 C.k<1 D.k≤1

  18. [思路点拨]A中不存在元素与k对应⇔方程-x2+2x=k无解,利用判别式可以求k的范围.[思路点拨]A中不存在元素与k对应⇔方程-x2+2x=k无解,利用判别式可以求k的范围. [课堂笔记]由题意,方程-x2+2x=k无实数根,也就是x2-2x+k=0无实数根. ∴Δ=(-2)2-4k=4(1-k)<0,∴k>1. ∴当k>1时,集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案]A

  19. 若-15∈B,则在集合A中与之对应的元素x为何值?若-15∈B,则在集合A中与之对应的元素x为何值? 解:∵-15∈B,∴-x2+2x=-15. 即x2-2x-15=0解之得x=-3或x=5.

  20. 求函数解析式的常用方法 1.配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x) 表示出来,再用x代替两边的所有“g(x)”即可; 2.换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),得f(t)的解析式 即可; 3.待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般 形式,根据特殊值,确定相关的系数即可;

  21. 4.赋值法:给变量赋予某些特殊值,从而求出其解析式.4.赋值法:给变量赋予某些特殊值,从而求出其解析式. 5.解方程组法:利用已给定的关系式,构造出一个新的关 系式,通过解关于f(x)的方程组求f(x). [特别警示]函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.

  22. (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (2)已知 ,求f(x)的解析式. [思路点拨]

  23. [课堂笔记](1)设f(x)=ax+b(a≠0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即ax+5a+b=2x+17,不论x为何值都成立. ∴ 解得 ∴f(x)=2x+7.

  24. (2)法一:设t= +1,则x=(t-1)2(t≥1). 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 =( )2+2 +1-1=( +1)2-1, ∴f( +1)=( +1)2-1( +1≥1), 即f(x)=x2-1(x≥1).

  25. 若将(2)中的条件改变“f(x)+2f( )=3x”,如何求解? 解:∵f(x)+2f( )=3x, ① ∴以 代x,则f( )+2f(x)=3· . ② 由①②联立消去f( )得 f(x)= -x(x≠0). 故f(x)= -x(x≠0).

  26. 分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数,解决与分段函数有关的问题,最重要的就是逻辑划分思想,即将问题分段解决,还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法.分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数,解决与分段函数有关的问题,最重要的就是逻辑划分思想,即将问题分段解决,还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法. [特别警示] 分段函数的解析式虽然由几部分构成,但它 表示的是一个函数.

  27. 设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 [思路点拨] 求f(x)的解析式 求b,c 解方程f(x)=x

  28. [课堂笔记]法一:若x≤0,f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, ∴ 解得 ∴f(x)= 当x≤0时,由f(x)=x,得x2+4x+2=x, 解得x=-2,或x=-1; 当x>0时,由f(x)=x,得x=2. ∴方程f(x)=x有3个解.

  29. 法二:由f(-4)=f(0)且f(-2)=- 2,可得f(x)=x2+bx+c的对称轴是 x=-2,且顶点为(-2,-2),于 是可得到f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)=x的解的个数就是函数图象y =f(x)与y=x的图象的交点的个数, 所以有3个解. [答案]C

  30. 分段函数是高考的热点内容,以考查求分段函数的分段函数是高考的热点内容,以考查求分段函数的 函数值为主,属容易题,但09年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中,使试题难度 陡然增加,这也代表了一种新的考查方向.

  31. [考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 009)的值为 () A.-1 B.0 C.1 D.2

  32. 【解析】 ∵x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2), 又f(x+1)=f(x)-f(x-1), 两式相加得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x), 故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故函数周期为6. ∴f(2 009)=f(6×334+5)=f(5)=f(-1)=log22=1. 【答案】C

  33. [自主体验] 已知符号函数sgnx= 则不等式(x+1)sgnx>2的 解集为.

  34. 解析:当x>0时,sgnx=1. 由(x+1)sgnx>2得x>1. 当x=0时,sgnx=0. 不等式(x+1)sgnx>2解集为∅. 当x<0时,sgn=-1, 由不等式(x+1)sgnx>2得x<-3. 综上可知不等式(x+1)sgnx>2的解集为{x|x<-3或x>1}. 答案:{x|x<-3或x>1}

  35. 1.已知f:x→-sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B={0, } 的一个映射,则集合A中的元素个数最多有 () A.4个         B.5个 C.6个D.7个 解析:∵A⊆[0,2π],由-sinx=0得x=0,π,2π;由-sinx= ,得x= , ,∴A中最多有5个元素. 答案:B

  36. 2.(2010·枣庄模拟)已知函数f(x)= ,那么 f[f( )]的值为 () A.9 B. C.-9 D.- 解析:由于f[f( )]=f(log2 )=f(-2)=3-2= . 答案:B

  37. 3.若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)=3.若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)= () A.x-1 B.x+1 C.2x+1 D.3x+3 解析:∵2f(x)-f(-x)=3x+1, ① 用-x代x得,2f(-x)-f(x)=-3x+1, ② ①×2+②得,3f(x)=3x+3, ∴f(x)=x+1. 答案:B

  38. 4.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R,a,b为常数,则f(ax+b)=. 解析:∵f(x)=x2+2x+a, ∴f(bx)=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2. 则 ∴a=2,b=-3. ∴f(x)=x2+2x+2, 则f(ax+b)=f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2 =4x2-8x+5. 答案:4x2-8x+5

  39. 5.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,5.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q, 则f(36)=. 解析:f(36)=f(6)+f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)] =2(p+q). 答案:2(p+q)

  40. 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); (2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的 解析式. 解:(1)因为对任意x∈R有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2, 又f(2)=3,从而f(1)=1. 又f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0, 即f(a)=a.

  41. (2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 又有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0, 故对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0. 在上式中令x=x0,有f(x0)- +x0=x0. 又因为f(x0)=x0,所以x0- =0, 故x0=0或x0=1.

  42. 若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0.若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0. 若x0=1,则有f(x)=x2-x+1, 易验证该函数满足题设条件. 综上,函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.

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