1 / 50

Platonische Körper

Platonische Körper. Polyeder. Die 5 platonischen Körper inspirieren sowohl Wissenschaftler wie auch Mystiker seit Jahrtausenden. Aber wieso gibt es eigentlich nur 5 regelmässige Polyeder? Nach dieser Lektion haben Sie den Beweis in der Tasche!. Inhalt des Vortrags.

latoya
Download Presentation

Platonische Körper

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Platonische Körper

  2. Polyeder Die 5 platonischen Körper inspirieren sowohl Wissenschaftler wie auch Mystiker seit Jahrtausenden. Aber wieso gibt es eigentlich nur 5 regelmässige Polyeder? Nach dieser Lektion haben Sie den Beweis in der Tasche!

  3. Inhalt des Vortrags Platonische Körper in der Philosophie Platonische Körper in der Natur Platonische Körper in der Chemie Begriffsklärung Beweis, dass es nur 5 Platonische Körper geben kann

  4. Platonische Körper in • Philosophie • Natur • Chemie

  5. In Platons Timaios-Dialog Platon setzt die 5 regelmässigen Körper in Beziehung zu den Begriffen Erde, Wasser, Luft und Feuer und zum Weltganzen. Diese Darstellung stammt aus dem Buch „Mysterium cosmographicum“ des Astronomen Johannes Kepler.

  6. Deutung bei Kepler

  7. Kristalle Fluorit Salz Pyrit

  8. Coccosphäre der Alge Braarudosphaerabigelowi

  9. Skelett der Radiolarie circogoniaicosaedra

  10. Hepatitis C Virus

  11. Platonische Körper in der Chemie Tetraederlücke Ferrimagnetische Struktur von Spinellen

  12. Begriffsklärung • Polyeder • Einfache Polyeder • Konvexe Polyeder • Platonische Polyeder

  13. Polyeder-Begriff Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein Teil des dreidimensionalen Raumes, der von Polygonen (Vielecken) begrenzt wird.

  14. Polyeder-Begriff Polyeder können Löcher und innere Hohlräume haben, die dann ebenfalls von geraden Flächen und Kanten begrenzt sein müssen. Sie müssen keinerlei Symmetrie aufweisen.

  15. Einfache Polyeder Ein einfaches Polyeder besitzt keine „Löcher“. Das bedeutet, dass sich sein Oberfläche stetig in eine Kugeloberfläche deformieren lässt.

  16. Konvexe Polyeder Ein Polyeder ist konvex, wenn zu je zwei Punkten aus dem Inneren des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen im Innern des Polyeders verläuft.

  17. Nicht-konvexe Polyeder

  18. Definition der Platonischen Körper 1. Platonische Körper sind konvex. 2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke. 3. Alle Flächen sind kongruent. 4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

  19. Platonische Körper sind konvex. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke. Alle Flächen sind kongruent. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen. Dieser Körper ist kein Platonischer Körper, weil er nicht konvex ist.

  20. Platonische Körper sind konvex. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke. Alle Flächen sind kongruent. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen. Dieser Körper ist kein Platonischer Körper, weil die Flächen keine regelmässigen Vielecke sind.

  21. Platonische Körper sind konvex. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke. Alle Flächen sind kongruent. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen. Dieser Körper ist kein Platonischer Körper, weil verschiedenartige Flächen vorkommen.

  22. Dieser Körper ist kein Platonischer Körper, weil nicht an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenstossen. Platonische Körper sind konvex. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke. Alle Flächen sind kongruent. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

  23. Zusammenfassung der Definition der Platonischen Körper • einfach • konvex • lauterkongruenteregelmässige • Vielecke • lauterkongruenteEcken

  24. Beweis • Euklid • Polygone • Eck-Konfigurationen • Konstruktionen

  25. Euklid von Alexandria (ca. 340–ca. 270) Euklid schreibt im 13. Buch seiner Elemente: „Weiter behaupte ich, dass sich ausser den fünf Körpern kein weiterer Körper errichten lässt, der von einander gleichen gleichseitigen und gleichwinkligen Figuren umfasst würde.“

  26. 1. Schritt: Polygone Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist gleich zwei rechten Winkeln. e=a undd=b, weil g parallel zu c.  a+b+g=e+d+g • e+d+g=180° •  • a+b+g=180°

  27. 1. Schritt: Polygone Die Innenwinkelsumme eines n-Ecks ist gleich (n-2) mal zwei rechten Winkeln. n=4: I4=2∙180°=360° • n=5: I5=3∙180°=540° • n=6: I6=4∙180°=720° • n=7: I7=5∙180°=900° • usw. In=(n-2)∙180

  28. 2. Schritt: Regelmässige Polygone Das regelmässige Dreieck ist das Gleichseitige.

  29. 2. Schritt: Regelmässige Polygone Das regelmässige Viereck ist das Quadrat.

  30. 2. Schritt: Regelmässige Polygone Das regelmässige Fünfeck (Pentagon)

  31. 2. Schritt: Regelmässige Polygone Das regelmässige Sechseck (Hexagon)

  32. 2. Schritt: Regelmässige Polygone Das regelmässige Siebeneck (Heptagon)

  33. 2. Schritt: Regelmässige Polygone Übersicht über die Peripheriewinkel

  34. 3. Schritt: Bedingung An einer Ecke müssen mindestens drei gleiche Flächen zusammenstossen. Die Summe der Peripheriewinkel der Flächen, die an einer Ecke zusammenstossen, muss kleiner als 360° sein, da sonst die Flächen keine Ecke bilden.

  35. 3. Schritt: Gleichseitige Dreiecke An einer Ecke können 3, 4 oder 5 gleichseitige Dreiecke anstossen, nicht aber 6 oder mehr. 3 Dreiecke 3∙60°<360° 4 Dreiecke 4∙60°<360° 5 Dreiecke 5∙60°<360° 6 Dreiecke 6∙60°=360° 7 Dreiecke 7∙60°>360° usw. –unmöglich!

  36. 3. Schritt: 1.Eckkonfiguration Drei gleichseitige Dreiecke an einer Ecke

  37. 3. Schritt: 2. Eckkonfiguration Vier gleichseitige Dreiecke an einer Ecke

  38. 3. Schritt: 3. Eckkonfiguration Fünf gleichseitige Dreiecke an einer Ecke

  39. 4. Schritt: Quadrate An einer Ecke können 3 Quadrate anstossen, nicht aber 4 oder mehr. 3 Quadrate 3∙90°<360° usw. –unmöglich! 4 Quadrate 4∙90°=360° 5 Quadrate 5∙90°>360°

  40. 4. Schritt: 4. Eckkonfiguration Drei Quadrate an einer Ecke

  41. 5. Schritt: Regelmässige Pentagone An einer Ecke können 3 regelmässige Pentagone anstossen, nicht aber 4 oder mehr. 3 Pentagone 3∙108° < 360° 4 Pentagone 4∙108° > 360° 5 Pentagone 5∙108° > 360° usw. –unmöglich!

  42. 5. Schritt: 5. Eckkonfiguration Drei regelmässige Pentagone an einer Ecke

  43. 6. Schritt: Hexa-, Heptagone, etc. Drei regelmässige Hexagone bilden keine Ecke! Dasselbe gilt für alle regelmässigen Polygonemit n > 6.

  44. 7. Schritt: Konstruktion Es kann also nur gerade 5 reguläre, konvexe Polyeder geben, bei denen an jeder Ecke gleich viele reguläre Polygone anstossen. Ende des Beweises hx/wzbw/qed Die 5 Platonischen Körper ergeben sich durch Konstruktion aus den 5 erlaubten Eckkonfigurationen:

  45. 7. Schritt: Tetraeder Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke dreigleichseitige Dreiecke anstossen. Das Tetraeder (Vierflach) hat 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten.

  46. 7. Schritt: Oktaeder Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke viergleichseitige Dreiecke anstossen. Das Oktaeder (Achtflach) hat 8 Flächen, 6 Ecken und 12 Kanten.

  47. 7. Schritt: Ikosaeder Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke fünfgleichseitige Dreiecke anstossen. Das Ikosaeder (Zwanzigflach) hat 20 Flächen,12 Ecken und 30 Kanten.

  48. 7. Schritt: Hexaeder (Würfel, Kubus) Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke dreiQuadrate anstossen. Das Hexaeder (Sechsflach) hat 6 Flächen,8 Ecken und 12 Kanten.

  49. 7. Schritt: Dodekaeder Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke dreiregelmässige Fünfecke anstossen. Das Dodekaeder (Zwölfflach) hat 12 Flächen,20 Ecken und 30 Kanten.

  50. Schlusswort Link zu diesen Folien: http://www.gymliestal.ch/manuelerdin/Schule/Home.html Ende des Vortrags

More Related