Voronoi Game on Graph and its Complexity

1. Voronoi Game on Graph andits Complexity 寺本 幸生 上原 隆平 (JAIST)

2. ボロノイゲーム • 競争施設配置問題の理想化されたモデル 競争施設配置の例 • 競争している2人のチェーン店（コンビニなど）の経営者B, Rが、それぞれ n個のお店を新たに開店しようと計画している。 • 消費者は最寄のお店を常に利用する。 • 経営者 B, Rは交互にお店を開店していく (Bが最初にお店を開店）。 • このとき、相手より多くの収益（商圏の面積）を得るためには、どのような戦略でその n個のお店を配置すればよいか？

3. 目的と関連研究 • 目的： • ゲームモデルにおいて、先攻Bと後攻Rのどちらかに優位性があるのかを調べる。もしあるなら、その必勝戦略を与える。 • 関連研究： • 1次元の連続区間（線分，円周）上のボロノイゲーム Ahn らにより、後攻Rの必勝戦略が示されている。 また、離散的なモデル（パス，サイクル）では必ず引き分けると結論。 必ず引き分けるとは限らない！　離散モデルは議論の余地がある • 2次元の連続領域内（矩形領域）のボロノイゲーム どちらかに優位性があるかどうかは未解決。 木構造のようなグラフ上のボロノイゲームは自然な拡張。 （パスやサイクルに対してより2次元に近づいているという意味で）

4. グラフG上のボロノイゲームVG(G, n) • プレイヤーBとRが交互に頂点を占領していき、それぞれ n個ずつ頂点を占領したらゲーム終了。（Bが先攻） 例：　１０ｘ１０のグリッド点のランダム全域木 2頂点間の距離：最短路上の辺の個数 プレイヤーBが占領した頂点。 50 プレイヤーRが占領した頂点。 • このとき、各頂点は近接関係により • 3つのタイプに分けられる。 • B に支配されている(近い）頂点 • R に支配されている（近い）頂点 • 　両プレイヤーに支配されている頂点 44 最終的に、完全に支配している頂点数 により勝敗が決まる。

5. グラフ上のボロノイゲームでの目的（1） • Ahnらの主張が成り立たない場合が存在することを示す。  先手が必ず勝つような場合がある。(完全 k分木を例に) • ラウンド数の少ない場合と • 大きな完全 k分木を例に、先手に対する必勝戦略を示す。

6. 完全 k(>1) 分木上のボロノイゲーム • 完全 k分木： • 全ての内部頂点はちょうど k個の子を持ち、 • 全ての葉は同じレベルにある根付き木。 k ラウンド数が少ない（k³ 2n）場合： 先攻が有利 鳩ノ巣原理より、少なくともひとつは 誰にも占領されていない根の子が 存在する。 k

7. k<2nの場合 • kが奇数でかつ kh < 2n < kh+1を満たすレベルh が存在し、k 分木 T が十分大きいとき、先攻は必勝戦略を持つ。 (実際は、2h以上のレベルを持つような k 分木を仮定する) 2 • グラフ上のボロノイゲームVG(T, n) における必勝戦略  ゲームフィールド Tのサイズとラウンド数 nの関係により 必要に応じて戦略を変えなければならない。

8. キーレベル戦略 • キーレベル h上の頂点の個数 khと ラウンド数 nの関係式 2n / kh > a (=1 + 2/k – 1/(k–1) )かどうかにより戦略を変える。 khと 2nがほぼ等しいかどうかで場合わけを行う。

9. 2n > akhの場合 戦略：　　レベル h上の頂点をできるだけ多く取る 各家族の少なくとも一つの頂点は占領する レベル h上の頂点をより多く制した方が勝つ Bはレベル hの半分より多くの頂点を占領できる 2n£akhの場合、キーレベルに固執すると負ける…

10. 2n£akhの場合の戦略 • 最初に、キーレベルの１つ上のレベル h–1 の頂点をできるだけ多くとる。 • キーレベルのまだいずれのプレイヤーに取られていない頂点vに関して、その親が後手に取られているなら、vをとる。 • レベルh+1の頂点についても、同じような戦略でとっていく。 • このとき、先手の利得は後手の利得より少なくとも 2(kh – 1) / (k – 1) より多くなる。

11. k<2nの場合(2) • kが偶数でかつ kh£2n < kh+1を満たすレベルh が存在し、k 分木Tが十分大きいとき、 両者が最善を尽くすと必ず引き分ける。 • 後攻Rは先攻 Bの対称手を打てるので、負けることは無い。 Q. 後攻Rは必勝戦略を持つか？ A. No. キーレベル戦略により、Bはレベルh上の頂点を 少なくとも半分は占領することができる。 　　　 最終的な利得としてRと同数の頂点を支配できる。

12. グラフ上のボロノイゲームでの目的（2） • 一般のグラフ上でのボロノイゲーム VG(G, n) において、 必勝戦略が存在するかどうかを判定する問題の困難性について. • 1-ラウンドボロノイゲーム1-VG(G, n): 先手が、最初に n個の点を置き、その後で後手が n点置くような、 制限されたボロノイゲーム。  一般のグラフ上での1-ラウンドボロノイゲームに関して、後手が 必勝戦略を持つかどうかの判定問題がNP完全であることを示す。 Cheong et al. や Fekete et al. の2次元の矩形領域内の1-ラウンドゲームについて結果  後手が必ず先手の利得の 1+e 倍の利得を得る。

13. 項 cjがリテラル xiを含む 各変数 xi に関して 項 cj がリテラル xiを含む 各項 cj に関して cj c’j cj c’j xi xi xi xi xi xi c’j cj つなぐ つなぐ NP困難性 • この問題がNPに属することは自明。 • 3SATからのリダクションを考える。 • F : 3和積標準形の論理式 • n : 論理式 Fの変数の数 • m : 論理式 Fの項の数 • 与えられた論理式 Fからボロノイゲーム VG(G, n) の Gを構成する。 ある与えられた一般のグラフ上での1-ラウンドボロノイゲームに関して、 後手が必勝かどうかの判定問題はNP完全である。

14. リダクションの例

15. 先手は、少なくとも3n + m + 2n – 1 = 5n + m – 1の利得を得る。 • 後手は、論理式 Fを従属させるよう頂点を取ったとき、5n + mの利得を得、かつこのときのみ先手に勝つことができる。 • 後手は、少なくとも各変数 xiに対応する頂点 xi+, xi-のいずれかを占領しなければならない。

16. まとめと今後の課題 まとめ • 十分大きな完全k分木においては先攻 Bの優位性を示し、その必勝戦略を与えた。 • 一般のグラフ上の1-ラウンドボロノイゲームにおいて、後手が必勝戦略を持つかどうかの判定問題はNP-完全。 今後の課題 • グリッド上のボロノイゲームの考察。（より実用的なモデルとして） • 一般の木や k-tree, partial k-treeへの拡張。 • 一般のグラフ上のn-ラウンドボロノイゲームの計算困難性について調べる。