1 / 12

一.问题描述 二.定义 三.定理 四.构造函数 五.例题 六.一般插值

Hermite 插值. 一.问题描述 二.定义 三.定理 四.构造函数 五.例题 六.一般插值. 一 . 问题描述.

marlin
Download Presentation

一.问题描述 二.定义 三.定理 四.构造函数 五.例题 六.一般插值

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Hermite 插值 • 一.问题描述 • 二.定义 • 三.定理 • 四.构造函数 • 五.例题 • 六.一般插值

  2. 一.问题描述 • 假设函数y=f(x)是 在[a,b]上有一定光滑性的函数,在xo…xn上有n+1个异点,f(x)在这些点上取值yo…...yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yi i=0,1,…,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外,还知道f(x)在插值基点上的其他描述(如知道f(x)在插值基点上的导数值)。如何来构造插值函数呢? • Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值,使插值函数和被插函数的密和程度更好 。 • 主页下一页

  3. 二.定义 • f(x) 在区间[ a, b] 上 n+1个互异节点a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足 • f(xi) = yi • f’(xi)=y 'i i=0,1,2……n • 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件 • H(xi) = yi • H '(xi)= y 'i i=0,1,2……n • 若H(x)存在,则叫函数f(x) 的Hermite插值多项式.因为 H(x)是一个次数不高于2n+1次的多项式,常记为H2n+1(x). • 上一页主页 下一页

  4. 三.定理 定理一:满足插值条件 H(xi)= yi H'(xi)= y'i i=0,1,2……n 且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。 证明:令p(x)和q(x)是两个次数不高于2n+1的多项式且 在插值基点都满足以上插值条件 ,即: p(xi)=q(xi)=yi , p'(xi)=q'(xi)=y' i , i=0,1,2……n 令F(x)=p(x)-q(x),有F(xi)=0 ,F'(xi)=0, i=0,1,2,.....n 故F(x)有2n+2个根. 由于p(x),q(x)都是次数不高于2n+1的多项式,由代数基本定理知F(x )=p(x)-q(x)0,所以有 p(x)  q(x),多项式唯一. 上一页主页 下一页

  5. 定理二 :f(x)在区间[a,b]存在2n+2阶导数,则其Hermite插值余项为: • (x)=(x-x0)(x-x1)…...(x-xn) • 证明:(证明类似Lagrange余项) • 当x=xi,i=0,1,2……时,左右两端为0,公式成立. • 令xxi, x [a,b], 在节点x0,x1,……xn上 • f(xi)=H(xi) 所以 R(xi)=f(xi)-H(xi)=0 • f '(xi)=H '(xi) R '(xi)=f '(xi)-H '(xi)=0, • 所以 xi (i=0,1……n)为R(x)的二重零点, • 上一页 主页 下一页

  6. 对插值区间[a,b]中任一定点x,可设 • R(x)=f(x)-H2n+1(x)= k(x) [(x)]2 • k(x)为待定函数。做辅助函数 • F(z)= f(z)- H2n+1(z) - k(x) [(z)]2 • F(x)=0,所以z=x是F(z)的一个零点,此外x0……xn都是F(z)的二重零点, F(z)在[a,b]上有2n+3个零点,由洛尔定理,知插值区间[a,b]中存在一个  [a,b]使F(2n+2)()=0。注意[(z)]2是首项系数为1的2n+2次多项式, H2n+1(z)是2n+1次多项式,故有 • 0= F(2n+2)()= f(2n+2)()- 0 -(2n+2)!k(x), • 所以公式成立。 • 上一页 主页 下一页

  7. 四.构造函数 • 设Hermite插值函数 • n n • H2n+1(x) = Li(x) yi +  hi(x) y'i • i=0 i=0 • Li(x),hi(x)都是不高于2n+1次的多项式,类似Lagrange插值,利用Hermite插值条件可得 • Li(xj)=ij hi(xj) = 0 • L'i(xj)=0 h'i(xj)= ij i,j=0,1,2……n • 从而可设 • Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2 • hi(x)= (cix+di)[li(x)]2 • 上一页 主页 下一页

  8. 这里li(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) ai,bi ,ci,di为待定系数,分别由Li(xi)=1和Li′(xi)=0 及hi′(xi)= 1 (i=0,1,2……,n)确定. 三次Hermite插值函数的构造(n=1,2n+1=3) 已知数表:x x0 x1 y y0 y1 y′ y0′ y1′ 求一个三次Hermite插值函数H3(x). 解:H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+ y0′h0(x)+ y1′h1(x) 对 x=x0,有L0(x0)=1 L1(x0)=0h0(x0)=0h1(x0)=0 L0′(x0)=0 L1′(x0)=0 h0′(x0)=1 h1′(x0)=0 对 x=x1,有L0(x1)=0 L1(x1)=1 h0(x1)=0h1(x1)=0 L0′(x1)=0L1′(x1)=0h0′(x1)=0 h1′(x1)=1 上一页主页下一页

  9. L0(x)= (a0x+b0)(x-x1)2h0(x)= a(x-x0)(x-x1)2 解之得 L0(x)=[1+2*(x-x0)/(x1-x0)][(x-x1)/(x0-x1)]2 h0(x)=(x-x0)[(x-x1)/(x0-x1)]2 同理有 L1(x)=[1+2*(x-x1)/(x0-x1)][(x-x0)/(x1-x0)]2 h1(x)=(x-x1)[(x-x0)/(x1-x0)]2 上一页主页 下一页 书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟。

  10. 五.例题: • 求过0,1两点构造一个三次插值多项式,满足条件 • f(0)=1, f '(0)=1/2 , f(1)=2, f '(1) =1/2 • 解: 设H3(x)=Y0l0(x)+y1l 1(x)+y '0 h0(x)+y1h 1(x) • 因为l0(x)=(ax+b)(x-1)2 • 利用l0(0)=1和l0 ' (0)=0, 得 b=1,a=2. • 所以: l0(x)=(2x+1)(x-1)2 • 同理可得 l1(x)=(3-2x)x2 • h0(x)=x(x-1)2 • h1(x)=x2(x-1) • 所以 • H3(x)=(1+2x)(x-1)2 +2(3-2x)x2+0.5(x-1)2x +0.5(x-1)x2 • =-x3+1.5x2+0.5x+1 • 上一页主页下一页

  11. 六.一般插值 实际问题中还会有其他的插值问题,这类问题可用Lagrange插值基函数的方法解决.如已知数据表: x 0 1 y y0 y1 y′ y0′ 求过0,1两点构造一个插值多项式p(x),满足条件 p(0)= y0 , p′(0)= y0′ , p(1)= y1 解: 他有三个条件,故p(x)可设为二次多项式 p(x)= y0L0(x)+ y1L1(x)+ y0′h0(x) 这里L0(x), L1(x),h0(x)都是二次多项式,由插值条件得 对 x=x0=0有L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′(0)=0 L1′(0)=0 h0′(0)=1 对 x=x1=1有L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0 上一页 主页下一页

  12. 由条件 L0(0)=1 , L0′(0)=0 , L0(1)=0 ,可设 • L0(x)=(ax+b)(x-1) • 1利用L0(0)=1 , L0′(0)=0, 得 b=a=-1. • 所以: L0(x)=(-x-1)(x-1)=1-x2 • 同理可得L1(x)=x2 • h0(x)=x(1-x) • 所以 • p(x)= y0(1-x2 )+ y1 x2+ y0′(1-x)x y(3)() • 其余项表达式为 R(x)= -------- (1-x)x2 • 3! • . 上一页主页

More Related