长方体和正方体

1. 长方体和正方体 教材分析

2. 长方体和正方体 教学案例 地位与作用 核心数学思想 开放题剖析 知识框架

3. （三维） （一维） （二维） 点 线 面 所处地位与作用 ： • 本单元的主要内容 • 长方体和正方体的认识 • 长方体和正方体的表面积 • 长方体和正方体的体积 • 后续学习的相关内容 • 认识圆柱和圆锥 • 圆柱的表面积和体积 • 圆锥的表面积和体积 • 已学过的相关内容

4. 表面积 单元知识要点 长方体和正方体的认识 体积 （容积）

5. 所处地位与作用 ： 两次飞跃 • 一次飞跃—— 本单元是学生比较深入地学习立体图形的开始，由研究平面图形扩展到研究立体图形，是学生发展空间观念的一次飞跃。长方体和正方体是最基本的立体几何图形。通过学习可以使学生对自己周围的空间和空间中的物体形成初步的空间观念，是进一步学习其他立体几何图形的基础。 • 又一次飞跃—— 体积对学生来说是一个新概念，从面积到体积也是学生发展空间观念的一次飞跃。长方体和正方体体积的学习，是学生形成体积的概念、掌握体积单位和计算各种几何形体体积的基础。

6. 数学知识与数学思想 • 数学知识与数学思想是数学教学的两条主线 • 数学知识是一条明线 • 数学思想是一条暗线 • 数学思想对学生的成长和发展更重要。

7. 核心数学思想 化归思想 运动变化 类比猜想 比较思想 …… 培养思维的广阔性、深刻性、灵活性

8. 化归思想 所谓“化归”可以理解为转化和归结的意思。研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为化归的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。

9. 化归思想——等积转化 • 例如:理解体积含义，建立体积概念 • 设计小实验： 在两只同样大小透明的玻璃杯里，倒入同样多的红色水：并在杯子外做上高度的标记，然后把两块大小不同的长方体，正方体小石块分别放入水中。让学生观察，并引导学生根据观察结果说一说对这一现象的理解。 • 总结出：两只杯子里水面所升的高度不同，放进大石块的杯中水面高，放进小石块的杯中水面升的少。进一步引导后，学生总结出，表明水面升高多的——石块所占的空间大，水面升的少——石块所占空间小，但它们都占有一定空间，所以，我们把物体所占空间的大小，叫做物体的体积。

10. 化归思想：空间问题向平面问题转化 例： 教学长方体表面积 • 操作——把一个长方体或正方体纸盒的6个面展开（加强对长方体和正方体表面积概念的认识） • 联系实际——表面积的计算。教材没有给出计算表面积的公式，而是教给学生根据实际情况思考计算方法，这样更切合实际生活的需要（实际生活中经常会遇到不需要算出6个面的总和的情况，需要根据具体情况考虑应该计算哪几个面的面积，更有利于发展学生的空间观念，培养学生灵活解决问题的能力。）

11. 化归思想：空间问题向平面问题转化 • 又如：侧面上最短线问题是通过侧面展开转化为平面几何问题

12. A A B B 怎样走最近？ A B

13. 运动变化 • 研究展开图时，需要从运动变化的角度出发，弄清在折叠前后的数量及位置关系的变化等。教学实践证明，有意识而及时地对这一思想方法的揭示与渗透，可使学生对知识的理解更深刻，运用更得心应手，思维能力得到发展，同时使学生受到辩证唯物主义教育。

14. 正方体展开图 • 中间四连方，两侧各有一个

15. 正方体展开图 • 中间三连方，两侧各有一个、两个，共三种 • 中间只有两个小正方形，两侧各有两个，共两种

16. 深度为5厘米 20cm 40cm 运动变化 用一块长方形铁板做一个无盖、指定深度的长方体盒子 …… 容积最大

17. 类比猜想 • 所谓类比，就是由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。“类比就是一种相似” • 类比猜想指的是人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。

18. 类比猜想 1厘米、1平方厘米、1立方厘米 感受长度单位、面积单位、和体积单位的联系，力争让学生经历由长度单位、面积单位类比得出体积单位的过程。

19. 类比推理——直柱体体积 V=sh ……

20. 比较思想 • 长方体和正方体特征的比较。 • 表面积和体积的比较。 • 容积和体积的比较。 • 长度单位、面积单位、体积单位的比较。

21. [案例]《长方体的认识》片断教学 • （先认识生活中的长方体） • 师：同学们都认识了长方体，那你能用橡皮泥做一个长方体吗？ 生：动手做，并展示交流 • 师：（出示长方体框架）这是一长方体框架，你能把它做出来吗？（提供橡皮泥和小棒） • 师：老师想请教一下，你们刚才用了几根小棒，用这些小棒有什 么特别的要求吗？另外用橡皮泥捏了几个点呢？ （生汇报交流，师板书棱的有关特征。） • 师：你能象老师这样，给框架穿上衣服吗？（出示一个用纸做 面，包好了的长方体）想想看，应用剪刀剪出怎样的纸片？ （生操作、汇报、交流） • 师：刚才剪出的纸片又有什么特点呢？（通过观察去认识与通过体验去认识，认识的深度是不一样的，参与的情感也是不一样的，留下的印象更是不一样的。）

22. 开放题剖析 你想到了什么？ （单位：厘米） 5 6 8

23. 截面面积最大 （单位：厘米） 4 4 4 截面面积最小 4 24 24 24 24 12 12 12 12 开放题剖析 • 1包装问题

24. 例：要把3本长20厘米、宽12厘米、高6厘米的《现代汉语词典》包装起来，至少要准备多少平方厘米的包装纸？（重合处不计）例：要把3本长20厘米、宽12厘米、高6厘米的《现代汉语词典》包装起来，至少要准备多少平方厘米的包装纸？（重合处不计） 分析：只要使长方体物体最大的面重合，就能使包装纸 的表面积最小。 ① 用3个长方体的表面积总和减去4个重合面面积。 （20×12+20×6+12×6）×2×3-20×12×4 ② 20×12×2+（20×6+12×6）×2×3

25. 6 6 8 3 8 8 6 6 6 3 6 求体积 1 8cm 6cm 3cm 6cm 方法二： 方法三：V=sh 方法一： 8cm 6cm 3cm 6cm

26. 表面积多了2个小正方形的面积 表面积多了4个小正方形的面积 表面积不变 10×10×6 10×10×6+2×2×2 10×10×6+2×2×4 正方体切割 从一个棱长10厘米的正方体木块上截去一个棱长2厘米的小正方体，剩下的表面积是多少平方厘米？

27. 正方体所有可能的截面类型 正方体的截面中，不可能出现直角三角形、钝角三角形，可能出现锐角三角形、等边或等腰三角形 可能出现正方形、矩形 不可能出现非矩形的平行四边形及直角梯形，可能出现等腰梯形 可能出现五边形，不可能出现正五边形 可能出现正六边形及六边形 不可能出现七边形及多于七边的多边形