Programmazione Logica e ASP

1. Programmazione Logica e ASP

3. Un letterale è una formula atomica o la negazione di una formula atomica. Una clausola è una disgiunzione di letterali: A1... AnB1...Bm[con Ai, Bjatomi] equivalentemente, puo essere rappresentata in forma implicativa: B1 ... BmA1 ...An Una formula in forma normale congiuntivaè una congiunzione di clausole. Qualsiasi formula proposizionale può essere convertita in una formula proposizionale in forma normale congiuntiva logicamente equivalente. Qualsiasi formula ben formata della logica dei predicatiø può essere convertita in una formula ben formata della logica dei predicati in forma normale congiuntiva ø’. Si osservi che, In generale ønon è logicamente equivalente a ø’, ma ø è insoddisfacibile sse ø’ è insoddisfacibile. Una Base della conoscenza (KB) è un insieme di clausole. Forma normale congiuntiva e clausole

4. Risoluzione [I] Caso proposizionale con  con  (-{})  ( -{ }) I simboli  e  indicano clausole, mentre  è uno dei letterali che ne fanno parte (può naturalmente non essere l’unico). Esempio 1. {P, Q}  2. {P, R}  3. {Q, R} 1,2 Il simbolo  indica le clausole presenti inizialmente della ase della conoscenza.

5. Premesse... KB ⊦ φsse KB⊧ φ sseKB ∪ {⌝φ} insoddisfacibile sseKB ∪ {⌝φ} incoerente Procedura per Risoluzione Prooposizionale Come dimostriamo KB ⊦ φ ? KB ⊦ φ

6. Esecuzione di un Programma [P] Una computazione corrisponde al tentativo di dimostrare, tramite laregola di risoluzione, che una formula (goal) segue logicamente da un insieme di formule (programma); cioè, che la formula e’un teorema. Si deve determinare una sostituzione per le variabili del goal (detto anche “query”) per cui il goalsegue logicamente dal programma. Dato un programma P e una query: :- S (t1,t2,…,tm). se x1,x2,…,xnsono le variabili che compaiono in t1,t2,…,tmilsignificato logico della query e’: x1x2… xnS (t1,t2,…,tm) e l’obiettivo e’ quello di trovare una sostituzione = [x1 /a1, x2 /a2 ,…, xn/an] dove aisono termini tale per cui P [S (t1,t2,…,tm)]

7. Risoluzione SLD Operativamente... La Risoluzione SLD seleziona un atomo Amdal goal Gisecondo undeterminato criterio, e lo unifica se possibile con la testa della clausolaCiattraverso la sostituzione più generale: MOSTGENERAL UNIFIER(MGU) Il nuovo risolvente e’ ottenuto da Gi riscrivendo l’atomo selezionato con la parte destra della clausola Ci ed applicando la sostituzione i. Più in dettaglio: :- A1,…,Am-1,Am,Am+1,…,Ak . Risolvente, A:- B1,…,Bk .clausola del programma P, e [Am]i= [A]iallora la risoluzione SLD deriva il nuovo risolvente :- [A1,…,Am-1, B1,…, Bq ,Am+1,…,Ak]i .

8. Derivazione SLD • Una derivazione SLD per un goal G0 dall’insieme diclausole definite Pe’ una sequenza di clausole goal • G0 ,…, Gn , una sequenza di rinomine diclausole delprogramma C1 , …, Cn , e una sequenza di sostituzioniMGU • 1,…, ntali che Gi+1 è derivato da Gi e da Ci+1 attraverso la • sostituzione n. • La sequenza può essere anche infinita. • Esistono tre tipi di derivazioni: • SUCCESSO, se per n finito Gn è uguale alla clausola vuota Gn= :-– • FALLIMENTO FINITO, se per n finito non è più possibile derivare • un nuovorisolvente da Gn e Gn non è • uguale a :-– • FALLIMENTO INFINITO, se è sempre possibile derivare nuovi • risolventitutti diversidalla clausola • vuota.

9. Non Determinismo • Nella risoluzione SLD, così come è stata enunciata, si hanno due formedi non determinismo. • La prima forma di non determinismo è legata alla selezionedi un • atomoAm del goal da unificare con la testa di una clausola, e viene • gestita definendo una particolare regola di calcolo. • La seconda forma di non determinismo è legata alla scelta di quale • clausola del programma P utilizzare in un passo di risoluzione, e • viene gestita definendo una strategia di ricerca.

10. Strategia di Ricerca Questa forma di non determinismo implica che possano esistere più soluzioni alternative per uno stesso goal, corrispondenti alle diverse scelte delle clausole con cui tentare l’unificazione. La risoluzione SLD (completezza), deve essere in grado di generare tutte le possibili soluzioni e quindi deve considerare ad ogni passo di risoluzione tutte le possibili alternative. La strategia di ricerca deve garantire questa completezza Una forma grafica utile per rappresentare la risoluzione SLD e questa forma di non determinismo sono gli alberi SLD.

11. Programmi logici: forma generale e terminologia clausola di Horn una calusola con al più un letterale positivo ⌝A1∨... ∨⌝ Am∨ B1 [⌝A1,... ,⌝ Am, B1] [B1] A1 ... AmB1 B1

12. Alcune inferenze • Mario è un architetto oppure è un geometra. • Se Mario fosse architetto, allora Mario sarebbe laureato. • Mario non è laureato. • Quindi:Mario è un geometra . • Giovanni Paolo II è siciliano. • Tutti i siciliani sono giardinieri. • Quindi:Giovanni Paolo II è giardiniere. • Tutti i cigni osservati sinora in Europa sono bianchi. • Tutti i cigni osservati sinora in Nord America sono bianchi. • Tutti i cigni osservati sinora in Sud America sono bianchi […] • Non sono mai stati osservati cigni che non fossero bianchi. • Quindi:Tutti i cigni sono bianchi. • L’assassino ha sporcato di fango il tappeto. • Chiunque fosse entrato dal giradino avrebbe sporcato di fango il tappeto. • Quindi:L’assassino è entrato dal giardino. • Gli uccelli, salvo eccezioni/in genere, sono in grado di volare. • Titti è un uccello. • Quindi:Titti è in grado di volare.

13. Ragionamento non monotono • Una nozione di inferenza e’ monotona se e solo se Г⊢pimplicaГ∪ A⊢p • La monotonia e’ la proprieta’ matematica di una funzione f tale per cui se x ≤y , allora f(x)≤f(y). . • La non monotonia e’ una proprieta’ definita per negazione (l’assenza della monotonia). • FOL è monotona... • Al crescere della KB l’insieme di inferenze può solo continuare crescere • Prolog e ASP permettono di eseguire inferenze non monotone • Il ragionamento non monotono permette di trattare inferenze ragionando sull’assenza di informazioni. • Al crescere di una KB, ci può essere l’esigenza di ritrattare le inferenze fatte sulla base di ciò che non si conosce

14. E.g. Supponiamo di codificare nella logica del primo ordine un orario ferroviario TrainFromTo(X,CittàPartenza,CittàArrivo,OrarioPart) Proviamo a chiederci... ∃x TrainFromTo(X,Milano,Roma,14.50) ...supponiamo non esista. In FOL dovremmo dimostrare: ⌝∃x TrainFromTo(X,Milano,Roma,14.50) Dovremmo dimostrare ∀x⌝TrainFromTo(X,Milano,Roma,14.50) Il fatto che non esista una dimostrazione di ∃x TrainFromTo(X,Milano,Roma,14.50) non implica che ne esista una per ⌝∃x TrainFromTo(X,Milano,Roma,14.50) Ragionamento non monotono

15. Formal Knowledge Representation and Automated Reasoningfor the Study of Archaeological Stratigraphy M. Cattani, G. Mantegari, A. Mosca, M. Palmonari Department of Archaeology, University of Bologna (Italy) Department of Informatics, Systems and Communication, University of Milan Bicocca (Italy)

16. Computerized stratigraphy has a long research history and brought to the creation of some succesfull softwares (e.g. ArchEd, Stratify) which can guarantee a quite satisfiable management of the stratigraphic sequences. • Some problems concern: • the difficulty to manage large/huge datasets • the difficulty to integrate a digital matrix representation with other softwares (e.g. GIS) • the difficulty to handle multilinear stratigraphic sequences • the difficulty to manage uncertain or insufficient knowledge • ... but...this is half of the problem... At a more general level, which concerns the model itself, some other issues can be found. For example the Harris model has been criticized from different points of view (see the Harris-Carver debate) but it still represent the principal methology for modelling and representing the stratigraphic sequence.

17. The project aims at proposing a new approach for the study of the archaeological stratigrafy by means of Computer Science techniques and tools • Our main objective, in this phase, are to investigate: • the possibility of modelling the stratigraphy by means offormal knowledge representation • the possibility of performing automated reasoning with respect to: • the spatial component • the temporal component We are not interested, in this phase, to the visualization of the stratigraphic sequence. In our vision, the graphical representation is just the last step and, provided the logical model is adequate and the automatic reasoning works well, it is a minor problem. Of course we aim at realizing a software or a set of tools, butat the moment we focus mainly on the creation of a fomal model rather than on the specification of the software requirements.

18. Programmi logici: forma generale e terminologia A1 ... AmB1 clausola di Horn una calusola con al più un letterale positivo Termini: X , marco , f(X) , f(marco), f(f(X)) Atomi: Ai = P(t) , p , R(t1,t2) Letterali: Li = ⌝Ai , Ai Ground: P(a) , p ,⌝ R(a,b) … no variabili!

19. Programmi logici: forma generale e terminologia A1 ... AmB1 clausola di Horn una calusola con al più un letterale positivo disjunctive extended LPs rule : head←body L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln L0:- fact constraint (⊥) :- L0,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln definite LPs ASP-not Ak:- Ak+1,..., Am A0:- A1,..., Am , not Am+1,..., not An normal LPs ASP L0:- L1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln extended LPs ASP⌝ A0or...or Ak:- Ak+1,..., Am , not Am+1,..., not An disjunctive LPs ASPor L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln ASP*=ASP⌝,⊥,or

20. Programmi logici: forma generale e terminologia A1 ... AmB1 clausola di Horn una calusola con al più un letterale positivo disjunctive extended LPs rule : head←body L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln datalog = no simboli di funzione definite LPs ASP-not Ak:- Ak+1,..., Am A0:- A1,..., Am , not Am+1,..., not An normal LPs ASP L0:- L1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln extended LPs ASP⌝ A0or...or Ak:- Ak+1,..., Am , not Am+1,..., not An disjunctive LPs ASPor L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln ASP*=ASP⌝,⊥,or

22. Answer set framework: Axiom alphabet and language Knowledge Base Query alphabet and language Entailment relation between a KB (a set of axioms) and a query The Answer set framework

23. ASP alphabet: variables X,Y,... (capital letter notation) connectives {⌝,or,←,not,’,’} (often:- instead of←) punctuation symbols {‘(’,’)’,’.’} the special symbol ⊥ object constants function symbols predicate symbols (propositional symbols as 0-ary predicate!) Term definition: A variable is a term E.g. X Y A constant is a term E.g. marco If t1,...,tn are terms, f(t1,...,tn) is a term. E.g. f(marco,X) A term is ground if it does not contain any variable ASP Alphabets & language

24. Variables (‘Terms’) • X, Y, Z, ... • Constants (‘Terms’) • us1, us2, us3, ... • Unary Predicates (‘Atoms’) • cutUnit(X), trench(X), wall(X), ... • Binary Predicates (‘Atoms’) • cover(X,Y), fill(X,Y), cut(X,Y), ... • Positive & Negative Literals (‘Atoms’ or ‘Classically Negated Atoms’) • wall(X), cut(X,Y),..., cover(X,Y), fill(X,Y), ... • Ground Literals • cover(u6,u3), filledBy(u4,u8), ... • naf-Literals (‘Atoms’ or ‘Atoms preceeded by not’) • ..., not cover(X,Y), not fill(X,Y), ... • Rules • dirPostTo(Z,Y) :- equalTo(X,Y),cover(Z,X). • contemporary(X,Y) :- equalTo(X,Y). • Constraints • :- attachTo(X,X). • Facts • equal(X,X). • cover(u6,u3). A l p h a b e t Example

25. ASP Alphabets & language disjunctive extended LPs rule : head←body L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln L0:- fact constraint (⊥) :- L0,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln definite LPs ASP-not Ak:- Ak+1,..., Am A0:- A1,..., Am , not Am+1,..., not An normal LPs ASP L0:- L1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln extended LPs ASP⌝ A0or...or Ak:- Ak+1,..., Am , not Am+1,..., not An disjunctive LPs ASPor L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln ASP*=ASP⌝,⊥,or

26. ASP Semantics For ASP Datalog the Herbrand Base can be easily built (it is finite!)

27. ASP rules: L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln A rule is said to be ground if all the literals of the rule are gorund The answer set language given by a alphabet consists of the set of all ground rules contructed from the symbols of the alphabet A answer set program Π: a set of rules A program Π identifies an alphabet used by Π (predicates, constants, function symbols) ground(Π): the set of goround rules obtained with the alphabet used in Π Intensional part of KB: axioms with body, constraints Extensional part of KB: the set of facts AS ground programs: principles

28. A l p h a b e t And Rules • Unary Predicates (‘Atoms’) • cutUnit(X), trench(X), wall(X), ... • Binary Predicates (‘Atoms’) • cover(X,Y), fill(X,Y), cut(X,Y), ... • Positive & Negative Literals (‘Atoms’ or ‘Classically Negated Atoms’) • wall(X), cut(X,Y),..., cover(X,Y), fill(X,Y), ... • Ground Literals • cover(u6,u3), filledBy(u4,u8), ... • Rules • dirPostTo(Z,Y) :- equalTo(X,Y),cover(Z,X). • contemporary(X,Y) :- equalTo(X,Y). • contemporary(X,Y) v • posteriorTo(X,Y) v • posteriorTo(Y,X) :- us(X),us(Y), • not posteriorTo(X,Y), • not -posterior(X,Y). • Constraints • :- attachTo(X,X). • Facts • equal(X,X). • cover(u6,u3).

29. A l p h a b e t And Rules • Unary Predicates (‘Atoms’) • cutUnit(X), trench(X), wall(X), ... • Binary Predicates (‘Atoms’) • cover(X,Y), fill(X,Y), cut(X,Y), ... • Positive & Negative Literals (‘Atoms’ or ‘Classically Negated Atoms’) • wall(X), cut(X,Y),..., cover(X,Y), fill(X,Y), ... • Ground Literals • cover(u6,u3), filledBy(u4,u8), ... • Rules • dirPostTo(Z,Y) :- equalTo(X,Y),cover(Z,X). • contemporary(X,Y) :- equalTo(X,Y). • contemporary(X,Y) v • posteriorTo(X,Y) v • posteriorTo(Y,X) :- us(X),us(Y), • not posteriorTo(X,Y), • not -posterior(X,Y). • Constraints • :- attachTo(X,X). • Facts • equal(X,X). • cover(u6,u3). Ground rules: All the rules built by substituting the variables with the set of constants given in the alphabet(all the possible combination!) us1, us2, us3, ...

30. A l p h a b e t And Rules • Unary Predicates (‘Atoms’) • cutUnit(X), trench(X), wall(X), ... • Binary Predicates (‘Atoms’) • cover(X,Y), fill(X,Y), cut(X,Y), ... • Positive & Negative Literals (‘Atoms’ or ‘Classically Negated Atoms’) • wall(X), cut(X,Y),..., cover(X,Y), fill(X,Y), ... • Ground Literals • cover(u6,u3), filledBy(u4,u8), ... • Rules • contemporary(X,Y) :- equalTo(X,Y). • contemporary(us1,us2) :- equalTo(us1,us2). • contemporary(us1,us3) :- equalTo(us1,us3). • contemporary(us2,us3) :- equalTo(us2,us3). • … • Constraints • :- attachTo(X,X). • Facts • equal(X,X). • cover(u6,u3). Ground rules: All the rules built by substituting the variables with the set of constants given in the alphabet(all the possible combination!) us1, us2, us3, ...

31. ASP semantics is based on answer sets (close to stable models) Strategy: semantics for ASP-not ASP ASP⌝ ASP*=ASP⌝,⊥,or ASP Semantics: principles

32. Informally, an answer setSof a ground program Πis a set of ground literals such that every rule is satisfied by S, i.e., for any rule in Π A B1, …, Bm, not C1, …, not Cn. if Bjs are satisfied (Bjs are in S)and Cjs are not satisfied (not Cjis satisfied if Cjis not inS), thenA is inS. ASP Semantics: principles

33. Which are the answer sets for a program Π? Informally, given a program Π: generate ground(Π) generate all the possible models s1,…, sn for Π, for all si check if ground(Π) is satisfied by si for all si satisfying ground(Π), check which of them are minimal these are answer sets for Π What is meant to be a model? Via Herbrand base, literal set (for true negation) Program transformation for programs with not ASP Semantics: principles

34. Prolog: ordering matters in Prolog; can not handle cycles with “not”; has extra-logical features; does not have disjunction and classical negation; and is not declarative. Logic Programming: is a class of languages and many FOL: Classical logic is monotonic.  in AnsProlog, which helps in expressing causality, is not reverse implication. Disjunction symbol “or” in AnsProlog is non-classical. The negation as failure symbol “not” in AnsProlog is non-classical. How ASP differs from …

35. formally...

36. formally... L0:- L1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln

38. ASP: Gelfond-Lifshitz transformation • In order to give the semantics to a ASP program (containing not) we have to apply the Gelfond-Lifshitz transformation to the program. Then proceed as usual….

41. BRAVE (credolous) reasoning A query is bravely true for a substitution if it is satisfied in at least one model of the program. E.g. P(X)? if P(a)?,P(b)?... CAUTIOUS (skeptical) reasoning A query is cautiously true for a substitution if it is satisfied in all models of the program. Brave vs. Cautious Reasoning

42. ASP Alphabets & language disjunctive extended LPs rule : head←body L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln L0:- fact constraint (⊥) :- L0,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln definite LPs ASP-not Ak:- Ak+1,..., Am A0:- A1,..., Am , not Am+1,..., not An normal LPs ASP L0:- L1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln extended LPs ASP⌝ A0or...or Ak:- Ak+1,..., Am , not Am+1,..., not An disjunctive LPs ASPor L0or...or Lk:- Lk+1,..., Lm , not Lm+1,..., not Ln ASP*=ASP⌝,⊥,or

43. p | q :- s. c :- p. c :- q. s. p? (cautiously / bravely) OR programs

44. fly(X) :- bird(X), not ab(X). ab(X) :- penguin(X). bird(X) :- penguin(X). bird(tweety). penguin(skippy). -fly(tweety)? fly(X)? Tweety ASP

45. fly(X) :- bird(X), not -fly(X). -fly(X) :- penguin(X). bird(tweety). bird(rocky). penguin(rocky). Tweety ASP⌝

46. -haSoldi(X) :- dottorando(X), not ricco(X). maldive(X) :- ricco(X). -maldive(X) :- -ricco(X). dottorando(marco). Dottorandi... • Generalmente, i dottorandi non sono ricchi. • Alle maldive ci va chi è ricco. • Marco è un dottorando • Queries: Marco va alle maldive? • Chi va alle maldive? maldive(marco)? not maldive(marco)? -maldive(marco)? maldive(X)? -maldive(X)?

47. -haSoldi(X) :- dottorando(X), not ricco(X). maldive(X) :- ricco(X). -maldive(X) :- -ricco(X). dottorando(marco). Dottorandi... • Generalmente, i dottorandi non sono ricchi. • Alle maldive ci va chi è ricco. • Marco è un dottorando • Queries: Marco va alle maldive? • Chi va alle maldive? maldive(marco)? not maldive(marco)? -maldive(marco)? maldive(X)? -maldive(X)?

48. -ruba(X) :- dottorando(X), not ruba(X). ricco(X) :- vinceTotip(X). ricco(X) :- ruba(X). ruba(X) :- ladro(X). ladro(X) :- stressato(X), not -ladro(X). stressato(marco). Dottorandi...updating the KB • Si diventa ricchi ribando e/o vincendo il totip. • I ladri rubano, ma generalmente, i dottorandi no; tuttavia le persone stressate possono diventare dei ladri. • Marco è stressato

49. ricco(X) :- riceveRegalo(X). riceveRegalo(X) :- faRegalo(Y,X). faRegalo(X,Y) :- generoso(X), amico(X,Y), not -faRegalo(X,Y). generoso(maria). amico(maria,marco). -ruba(X) :- faRegalo(Y,X). Dottorandi...updating the KB II Un altro modo per diventare ricchi è ricevere regali. Per ricevere un regalo occorre che qualcuno lo faccia il regalo. In genere (se non so il contrario?) se una persona è amico/a di un’altra persona ed è una persona generosa le fa un regalo. Maria è un amica di Marco molto generosa.

50. -haSoldi(X) :- dottorando(X), not ricco(X). maldive(X) :- ricco(X). -maldive(X) :- -ricco(X). dottorando(marco). Dottorandi... • Generalmente, i dottorandi non sono ricchi. • Alle maldive ci va chi è ricco. • Marco è un dottorando • Queries: Marco va alle maldive? • Chi va alle maldive? maldive(marco)? not maldive(marco)? -maldive(marco)? maldive(X)? -maldive(X)?