Statistika

1. Statistika Ing. Jan Popelka, Ph.D.odborný asistent Katedra informatiky a geoinformatiky Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem email: jan.popelka@ujep.cz WWW:http://most.ujep.cz/~popelka

2. Testování statistických hypotéz HA: σ21 > σ22W={F; F ≥ F1-α(n-1;m-1)} HA: σ21 < σ22W={F; F ≤ Fα(n-1;m-1)} HA: σ21 ≠ σ22W={F; F ≤ Fα/2(n-1;m-1) UF ≥ F1-α/2(n-1;m-1)}

3. Testování hypotéz • Úvod do testování statistických hypotéz • Parametrické testy jednovýběrové • Parametrické testy dvouvýběrové • Parametrické testy vícevýběrové

4. Testování hypotéz Statistická hypotéza je určitý předpoklad (domněnka) o rozdělení jednoho nebo více základních souborů. Předpoklad se týká: • parametrů rozdělení základního souboru (např. μ, σ, σ2, π) - Je průměrná hmotnost novorozenců vetší než 2600 g? - Je po dietě nižší hmotnost než před dietou? • zákona rozdělení základního souboru (zda má proměnná konkrétní pravděpodobnostní rozdělení) - Má hmotnost novorozenců normální rozdělení? - Má koncentrace SO2 chí-kvadrát rozdělení?

5. Testování hypotéz Testem hypotézy je postup, pomocí kterého na základě výběrového souboru ověříme, zda je hypotéza správná nebo nesprávná. Testovaná hypotéza se značí H0 (nulová hypotéza). Opačná hypotéza je HA (alternativní hypotéza). Opačnou hypotézu přijmeme pokud nulovou hypotézu zamítáme. Výsledkem testu je tedy buď přijetí nebo zamítnutí H0. Např.: H0: Průměrný věk soudců je 50 let. HA: Průměrný věk soudců není 50 let.

6. Testování hypotéz Nulová hypotéza testu obsahuje vždy znaménko rovná se =! • Alternativní hypotéza je vždy opakem H0. • Hypotézy týkající se průměrného věku soudců. • Je průměrný věk soudců 50 let?H0: μ = 50 vs. HA:μ ≠ 50 oboustranná hypotéza • Je průměrný věk soudců vyšší než 50 let? H0: μ ≤ 50 vs. HA: μ > 50 pravostranná hypotéza • Je průměrný věk soudců nižší než 50 let?H0: μ ≥ 50 vs. HA: μ< 50 levostranná hypotéza !

7. Testování hypotéz • Nulová hypotéza testu obsahuje vždy znaménko rovná se =! • Alternativní hypotéza je vždy opakem H0. • Hypotézy o dvou populačních poměrech. • Podporuje vládu 70 % voličů?H0: π = 70% vs. HA:π ≠ 70% oboustranná hypotéza • Podporuje vládu více jak 70 % voličů? H0: π≤ 70% vs. HA: π> 70% pravostranná hypotéza • Podporuje vládu méně jak 70 % voličů? H0: π≥ 70% vs. HA: π< 70% levostranná hypotéza !

8. Testování hypotéz • Nulová hypotéza testu obsahuje vždy znaménko rovná se =! • Alternativní hypotéza je vždy opakem H0. • Hypotézy o dvou populačních průměrech. • Je průměrný věk soudců a advokátů stejný?H0: μsoudci = μadvokáti vs. HA:μsoudci ≠ μadvokáti • Je průměrný věk soudců vyšší než průměrný věk advokátů? H0: μsoudci≤ μadvokátivs. HA: μsoudci> μadvokáti • Je průměrný věk soudců nižší než průměrný věk advokátů?H0: μsoudci≥ μadvokátivs. HA: μsoudci< μadvokáti !

9. Testování hypotéz • Nulová hypotéza testu obsahuje vždy znaménko rovná se =! • Alternativní hypotéza je vždy opakem H0. • Hypotézy o více populačních poměrech. • Je průměrný cena bytu stejná ve třech vybraných městech? H0: μ1. město = μ2.město = μ3. město vs. HA:alespoň dva průměry se nerovnají !

10. Testování hypotéz Stejně jako u intervalových odhadů nelze zjistit, zda platí hypotéza na 100 %. Nejčastěji se používají testy s jistotou 99 %, 95 % nebo 90 %,obecně 1-α. αse nazývá hladina významnosti*. Je to pravděpodobnost chyby testu, kdy zamítneme H0, přestože tato hypotéza platí (tzv. chyba 1. řádu). Existuje i chyba 2. řádu β, že nezamítneme H0, i když byla hypotéza nesprávná. *Poznámka: Při konstrukci intervalů spolehlivosti (přednáška 4) se αnazývá hladina spolehlivosti.

11. Testování hypotéz Samotné testování se provádí pomocí testovací statistiky, číslo vypočtené dle zadaného vzorce, jehož hodnota má konkrétní pravděpodobnostní rozdělení a určuje, která hypotéza platí. • Každému testu odpovídá konkrétní testovací statistika. • Autor testové statistiky uvádí i její pravděpodobnostní rozdělení (nejčastěji jde o spojitá rozdělení: Normální, Studentovo, Chí- kvadrát, F rozdělení ). • Pokud je hodnota statistiky příliš extrémní (příliš vysoká nebo příliš nízká) zamítneme H0 a přijmeme HA(to, zda je statistika extrémní, lze zjistit jejím porovnáním s kvantily odpovídajícího rozdělení testovací statistiky - př. 3).

12. Testování hypotéz Oboustranný test o střední hodnotě H0: μ = 50 let vs.HA: μ ≠ 50 let pro α= 0,05 Kritický obor – testovací statistika je příliš nízká! Zamítáme H0 Kritický obor – testovací statistika je příliš vysoká! Zamítáme H0 Obor přijetí H0

13. Testování hypotéz • Levostranný test o střední hodnotě H0: μ ≥ 50 let vs.HA: μ < 50 let pro α= 0,05 Kritický obor – testovací statistika je příliš nízká! Obor přijetí H0

14. Testování hypotéz • Pravostranný test o střední hodnotě H0: μ ≤ 50 let vs.HA: μ > 50 let pro α= 0,05 Obor přijetí H0 Kritický obor – testovací statistika je příliš vysoká!

15. Testování hypotéz

16. Testování hypotéz – Počítačový software

17. Testování hypotéz – Počítačový software Základem úspěchu při vyhodnocování testů statistických hypotéz je následující pravidlo: Je-li p-hodnota testu < αzamítáme H0 a přijímáme HA. Je-li p-hodnota testu > αnezamítáme H0 (H0 platí).

18. Testování hypotéz P-hodnota Je nejnižší hladina významnosti α, na které lze zamítnout H0. Např.: p-value = 0,001. H0 lze zamítnout na hladině významnosti α= 0,05 nebo i 0,01 (tedy i s 99% jistotou) p-value = 0,001 Obor přijetí

19. Testování hypotéz P-hodnota Je nejnižší hladina významnosti, na které lze zamítnout H0. Např.: p-value = 0,4. H0 nelze zamítnout na hladině významnosti α= 0,05 , ale pro α= 0,45 ano (tedy s jistotou 55%). p-value = 0,4 Obor přijetí

20. Testování hypotéz Existují dvě základní skupiny testů: • Parametrické testy – týkají se přímo parametrů daného základního souboru (μ, σ, σ2, π). Jsou početně náročnější ovšem silné (jejich výsledek je dosti přesný). • Neparametrické – Nejsou početně náročné, ale mají menší sílu. Používají se, pokud nejsou splněny podmínky použití testů parametrických (data nejsou normálně rozdělena, data mají ordinální charakter, výběry jsou malé, nebo existují velké rozdíly mezi rozsahy výběrů). Lze je použít i souběžně s parametrickými a porovnávat jejich výsledky, pro posílení validity testů.

21. Testy střední hodnoty

22. Testy střední hodnoty

23. Testování hypotéz Parametrické testy se zabývají parametry základního souboru. Má-li základní soubor normální rozdělení N(μ;σ2), pak lze testovat právě střední hodnotu (populační průměr μ) a rozptyl σ2. Tento předpoklad musí být splněn u všech následujících testů! Někdy je uváděna volnější podmínka počtu hodnot ve výběru (n > 30).

24. Test velikosti střední hodnotyμ Nulová hypotéza: H0: μ = μ0 , kdeμ0 je konkrétní číslo Alt. hypotézy: HA: μ>μ0pravostranná hypotéza HA: μ<μ0 levostranná hypotéza HA: μ ≠ μ0 oboustranná hypotéza Test. statistika: má Studentovo t rozdělení s (n-1) stupni volnosti Krit. obor:pro HA: μ > μ0W={t; t ≥ t1-α(n-1)}pro HA: μ < μ0 W={t; t ≤ tα(n-1)} pro HA: μ ≠ μ0 W={t; |t| ≥ t1-α/2(n-1)}

25. Test velikosti střední hodnotyμ Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců. Bylo dotázáno 45 náhodně vybraných soudců. Dotázaní mají průměrný věk 49,58 let a směrodatnou odchylkou výběru 4,8 roku. Na hladině významnosti α= 0,05 (pravděpodobnost chybného závěru testu 5 %) máme zjisti, zda je průměrný věk soudců nižší jak 50 let. Jedná se o test velikosti střední hodnoty! Zabýváme se průměrným věkem soudců. Postupuje se podle dříve uvedených kroků (snímek 13):

26. Test velikosti střední hodnotyμ Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců... Formulace H0 a HA: H0: μ≥ 50 let vs.HA: μ< 50 let Volba hladiny významnosti: α= 0,05 Volba vhodné testovací statistiky: Vymezení kritického oboru:Alternativní hypotéze HA odpovídá kritický obor W={t; t ≤ tα(n-1)} , tedy W={t; t ≤ t0,05(45-1)} , W={t; t ≤ -1,68}.

27. Test velikosti střední hodnotyμ Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců… Výpočet testovací statistiky tz hodnot výběru: Zjištění, zda testovací statistika t padne do kritického oboru: Hodnota testovací statistiky je -0,28 . Testovací statistika nepadne do kritického oboru W={t; t ≤ -1,68}, (protože -0,28 > -1,68), takže nezamítáme H0. Formulace závěru testu: Na základě testu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že průměrný věk soudců je roven nebo větší 50 let. Nelze tedy tvrdit, že je věk menší jak 50 let (neplatí HA).

28. Test velikosti střední hodnotyμ • Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců… • H0: μ≥ 50 let vs.HA: μ< 50 let Testovací statistika t = -0,28 5% 95% Obor přijetí Kritický obor W={t; t ≤ -1,68}

29. Test velikosti střední hodnotyμ • Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců… S pomocí MS Excel. Je nutné mít pracovat se zdrojovými daty! Nestačí průměr a směrodatná odchylka, ale všech 45 hodnot! • Formulace H0 a HA: • H0: μ≥ 50 let vs.HA: μ< 50 let !Excel počítá p-hodnotu pro alternativní hypotézu HA:μ> μ0! P-hodnotu pro levostranný test bude nutno přepočítat. • Volba hladiny významnosti: α= 0,05 • Volba vhodné testovací statistiky:= 1-ZTEST (oblast dat; hypotetická hodnota μ0 tedy 50; sigma = nezadává se!)

30. Test velikosti střední hodnotyμ • Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců… • Zjištění p-hodnoty testu: = 1-0,781 = 0,219 • Formulace závěru testu: Protože platí: p-hodnota > αneboli 0,219 > 0,05,nezamítáme nulovou hypotézu. • Na základě testu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 • hypotézu, že věk soudců je roven nebo větší 50 let. Nelze tedy • tvrdit, že je věk menší jak 50 let (neplatí HA).

31. Test velikosti střední hodnotyμ Práce s výstupem funkce ZTEST Pro pravostranný test (HA: μ>μ0) je p-hodnotou přímo hodnota vypočtená funkcí ZTEST. Pro levostranný test (HA: μ<μ0) je nutno p-hodnotu dopočítat podle vzorečku 1 -hodnota vypočtená funkcí ZTEST. Pro oboustranný test (HA: μ ≠ μ0) je nutno p-hodnotu dopočítat podle vzorečku 2x menší z hodnot (hodnota vypočtená funkcí ZTEST, 1 -hodnota vypočtená funkcí ZTEST).

32. Test velikosti střední hodnotyμ • Příklad: Předmětem zájmu je věk soudců… • Funkce ZTEST vypočetla hodnotu 0,781. P-hodnota pro pravostranný test (HA: μ>50) je 0,781 (platí H0). P-hodnota pro levostranný test (HA: μ<50) je 1 – 0,781 = 0,219(platí H0). P-hodnota pro oboustranný test(HA: μ ≠ 50) je 2 x menší z hodnot (0,781 a 0,219) = 2x 0,219 = 0,438 (platí H0).

33. Test velikosti rozptylu σ2 Nulová hypotéza:H0: σ2 = σ20 , kdeσ20 je konkrétní číslo Alt. hypotézy: HA: σ2 > σ20pravostranná hypotéza HA: σ2 < σ20 levostranná hypotéza HA: σ2 ≠ σ20 oboustranná hypotéza Testovací statistika: má chí-kvadrát rozdělení s (n - 1) stupni volnosti Kritický obor:HA: σ2 > σ20 W={z; z ≥ χ21-α(n-1)}HA: σ2 < σ20 W={z; z ≤ χ2α(n-1)} HA: σ2 ≠ σ20 W={z; z≤ χ2α/2(n-1) Uz ≥ χ21-α/2(n-1)}

34. Testování hypotéz – Dva výběry Stejně jako u intervalů spolehlivosti lze pomocí testů porovnávat dva výběry. Pocházejí-li oba výběry ze základních souborů s normálním rozdělením N(μ;σ2), pak lze testovat právě shodu středních hodnot (populačních průměrů) a rozptylů. Pocházejí-li oba ze základních souborů s binomickým rozdělenímBi(n;π), pak lze testovat shodu populačních poměrů. Toto jsou nejčastější aplikace testování statistických hypotéz pro dva výběry.

35. Test shody dvou rozptylů Nulová hypotéza:H0: σ21 = σ22 Alt.hypotézy: HA: σ21 > σ22pravostranná hypotéza HA: σ21 < σ22levostranná hypotéza HA: σ21 ≠ σ22oboustranná hypotéza Testovací statistika: má F rozdělení s (n-1; m-1) stupni volnosti Kritický obor: HA: σ21 > σ22W={F; F ≥ F1-α(n-1;m-1)} HA: σ21 < σ22W={F; F ≤ Fα(n-1;m-1)} HA: σ21 ≠ σ22W={F; F ≤ Fα/2(n-1;m-1) UF ≥ F1-α/2(n-1;m-1)}

36. Test shody dvou rozptylů MS Excel = FTEST (první oblast; druhá oblast) • počítá p-hodnotu oboustranného testu. nebo Data – Analýza – Analýzadat – Dvouvýběrový F-test pro rozptyl počítá p-hodnotu vybraného jednostranného testu • Program testuje „logickou variantu“ jednostranného test. Znaménko nerovnosti v alt. hypotéze je stejné jako znaménko nerovnosti mezi výběrovými průměry. Např. pokud je s21<s 22, pak má HA tvar: σ21 < σ22 .

37. Test shody dvou průměrů Nulová hypotéza:H0: μ1 = μ2 Alt. hypotézy: HA: μ1 > μ2 pravostranná hypotéza HA: μ1 < μ2 levostranná hypotéza HA: μ1 ≠ μ2 oboustranná hypotéza Testovací statistikamá Studentovo t rozdělení (za podmínky σ21 = σ22) (n+m-2) stupni volnosti , kde

38. Test shody dvou průměrů Kritický obor:HA: μ1 > μ2 W={t; t ≥ t1-α(n+m-2)} HA: μ1 < μ2 W={t; t ≤ tα(n+m-2)}HA: μ1 ≠ μ2 W={t; |t| ≥ t1-α/2(n+m-2)}

39. Test shody dvou průměrů MS Excel: = TTEST (první oblast; druhá oblast; jednostranný test* = 1 nebo oboustranný test = 2; výběry se stejným rozptylem = 2) • počítá p-hodnotu oboustranného nebo jednostranného testu nebo • Data – Analýza – Analýza dat – Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů • počítá p-hodnotu oboustranného i jednostranného testu • Program testuje „logickou variantu“ jednostranného test. Znaménko nerovnosti v alt. hypotéze je stejné jako znaménko nerovnosti mezi výběrovými průměry. • Např. pokud je , pak má HA tvar: μ1 < μ2 .

40. Test shody dvou průměrů Nulová hypotéza:H0: μ1 = μ2 Alt. hypotézy: HA: μ1 > μ2 pravostranná hypotéza HA: μ1 < μ2 levostranná hypotéza HA: μ1 ≠ μ2 oboustranná hypotéza Testovací statistika: (za podmínky σ21 ≠ σ22) má Studentovo t rozdělení s (v) stupni volnosti:

41. Test shody dvou průměrů Kritický obor:HA: μ1 > μ2 W={t; t ≥ t1-α(v)} HA: μ1 < μ2 W={t; t ≤ tα(v)} HA: μ1 ≠ μ2 W={t; |t| ≥ t1-α/2(v)}

42. Test shody dvou průměrů MS Excel: = TTEST (první oblast; druhá oblast; jednostranný test* = 1 nebo oboustranný test = 2; výběry s různým rozptylem = 3) • počítá p-hodnotu oboustranného nebo jednostranného testu nebo • Data – Analýza – Analýza dat – Dvouvýběrovýt-test s nerovností rozptylů • počítá p-hodnotu oboustranného i jednostranného testu • Program testuje „logickou variantu“ jednostranného test. Znaménko nerovnosti v alt. hypotéze je stejné jako znaménko nerovnosti mezi výběrovými průměry. • Např. pokud je , pak má HA tvar: μ1 < μ2 .

43. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru skupiny zdravých lidí a skupiny nemocných. Naměřené hodnoty jsou v tabulce. Porovnejte na hladině významnosti 0,05 obsahy vápníku obou skupin, tj. určete, zda se obě skupiny od sebe statisticky významně liší.Předpoklad normality základních souborů je splněn. Jedná se o test shody dvou průměrů! Pro tento test je nutné nejprve vědět, jestli jsou rozptyly stejné σ21 = σ22nebo různé σ21 ≠ σ22. Proto nejdříve provedeme test shody dvou rozptylů a teprve poté test shody dvou průměrů.

44. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... S pomocí MS Excel. Formulace H0 a HA: H0: σ21 = σ22 vs.HA: σ21 ≠ σ22 Volba hladiny významnosti: α= 0,05 Volba vhodné testovací statistiky:= FTEST (první oblast; druhá oblast)

45. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... Zjištění p-hodnoty := 0,905699288 Formulace závěru testu: Protože platí p-hodnota > α (0,905699288 > 0,05) nezamítáme nulovou hypotézu.Na základě testu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že rozptyly obou souborů jsou stejné. Nyní lze přistoupit k samotnému testu shody dvou průměrů.

46. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... S pomocí MS Excel lze řešit i alternativně: H0: σ21=σ22vs. HA: σ21≠σ22 Data – Analýza – Analýza dat – Dvouvýběrový F-test pro rozptyl

47. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... Analýza dat počítá p-hodnotu jednostranného testu. P-hodnota oboustranného testu je 2x menší z hodnot p-hodnota (0,45285) a 1-p-hodnota (0,54715). P-hodnota oboustranného testu: P-hodnota = = 2*0,45285 = = 0,9057.

48. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... S pomocí MS Excel. Formulace H0 a HA: H0: μ1 = μ2 vs.HA: μ1 ≠ μ2 Volba hladiny významnosti: α= 0,05 Volba vhodné testovací statistiky:= TTEST (první oblast; druhá oblast; oboustranný test = 2; výběry se stejným rozptylem = 2)

49. Test shody dvou průměrů Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... Zjištění p-hodnoty := 0,043918178 Formulace závěru testu: Protože platí p-hodnota < α (0,043918178 < 0,05) zamítáme nulovou hypotézu. Na základě testu zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obsah vápníku v krevním séru u zdravých a nemocných lidí je stejný. Obsahy jsou rozdílné.

50. Test shody dvou průměrů • Příklad: Byl měřen obsah vápníku v krevním séru ... • MS Excel: Data – Analýza – Analýza dat – Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů jednostranný test H0: μ1≤μ2 HA: μ1 > μ2 oboustranný test H0: μ1 = μ2 HA: μ1 ≠ μ2