第三章

第三章 几何光学

§3-1几何光学的基本概念 几何光学（geometric optics）也称光线光学。是研究光波长趋近于零的光传播的问题。几何光学所考虑的是光线和波面；而波动光学所考虑的是波长、振幅与相位。一、三个基本实验定律（1）直线传播定律（rectilinear propagation law）光在均匀的介质中沿直线传播（2）反射和折射定律（reflection and refraction）光入射到两种介质的分界面上的定律

i1 i1 i2 n1 n1＜ n2 n2 i2 当光入射到两种介质的分界面上时，其传播方向发生改变。反射光线和折射光线都在入射光线和界面法线所组成的入射面内，并且反射角和折射角的关系为： i1 = i2 n 1 s i n i1 = n 2 s i n i2

（3）光的独立传播定律和光路可逆原理 光在传播过程中与其他光束相遇时，各光束都各自独立传播，不改变其传播方向。光沿反方向传播，必定沿原光路返回。二、三条定律成立的条件（1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相等，折射率不是位置的函数。（2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数。

（3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理不再成立而出现非线性情况。（3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理不再成立而出现非线性情况。（4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否则不能把光束简化为光线。三、光学成象系统的物与象物：一个本身发光或受到光照的物体。

象：物点发出的球面波经光学系统后形成的新球面波的球心称为该物点的象。象：物点发出的球面波经光学系统后形成的新球面波的球心称为该物点的象。物象的各种虚实关系

实象：会聚球面波球心是实际光线的会聚点，能用屏幕接收到。实象：会聚球面波球心是实际光线的会聚点，能用屏幕接收到。虚象：发散球面波球心是实际光线的反向延长线的交点，不能用屏幕接收到。实物：物点发出的是发散的球面波虚物：物点发出的是会聚的球面波光学系统：光学元件以及元件间的间隔作为一个整体。各光学元件的对称轴为主光轴四、几何光学成象的近轴条件（1）几何学要求

中央光线和边缘光线的夹角 （2）波动学要求由物点发出的光波经光学系统到达象点时，各光线间的最大程差不超过光波波长的1/4。改善象质，就要限制非近轴光线进入光学系统。或采用加工极为复杂的非球面系统。在近轴条件下，一个确定的光学系统物象之间具有一一对应的变换关系。物象共轭：把物放在象的位置，则其象就成在物原来的位置上。

§3-2光在单球面上的近轴成象 一、基本概念和符号规则光轴（optical axis）：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线上，则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。实际上，光学系统的光轴是系统的对称轴。近轴光线（paraxial rays）：近轴光线限制了光线与光轴的夹角，光线在折射面上的入射角、折射角等都很小。所有角度小于5°正切、正弦都可用该角度的弧度值代替。

M n´ n h d r Q O D C Q´ -P P´ 符号规则（sign conventions）：（1）线段：光轴方向上，以顶点为起点，沿光线进行方向为正，反之为负；垂直方向上，主光轴上方为正，反之为负。（2）球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负。(自左向右为正方向）

（3）物距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心、组合透镜主点）到物点，沿光轴方向为正，反之为负。（3）物距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心、组合透镜主点）到物点，沿光轴方向为正，反之为负。（4）象距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心、组合透镜主点）到象点，沿光轴方向为正，反之为负。（5）物高和象高：物高和象高垂直于光轴，向上为正，反之为负。（6）角度：以光轴或界面法线为始边，旋转到该光线，旋转方向为顺时针，角度为正，反之为负。

M n´ n h d r Q O D C Q´ -P P´ （7）折射率：沿光轴方向传播的光线，对应的折射率都为正，反之为负。二、单折射球面成象根据费马原理光程 LQMQ´=光程 LQOQ´，即光程取稳定值。

M n´ n h d r Q O D C Q´ -P P´ 由△MDC可得：由△QMD可得：

M n´ n h d r Q O D C Q´ -P P´ 在近轴条件下：d << P，d << r，上式展开

简化后得： 单球面成象公式表示在近轴条件下象距与入射光线的倾角无关，所有不同入射角的光线经球面折射后都会聚到象点上。光焦度(optical power)是由折射球面的曲率半径和它两边介质的折射率所决定的常量表示该球面的聚光本领。单位 m-1

三、单球面的焦点、焦距与焦平面 物方主焦点或第一主焦点（focus）F；物方焦平面（focal plane） 物方焦距（focal length）f 象方主焦点或第二主焦点 F´ 象方焦平面´ 象方焦距 f´

由折射公式可知： 高斯公式

M n´ n r F O C F´ -x -f x´ Q Q´ f´ -P P´ 代入高斯公式牛顿公式

n =-n´ i -i´ -μ -μ´ Q C Q´ O -P´ -r -P 四、单球面反射成象反射定律是折射定律的一个特例（n2= －n1）将 n´= － n代入球面折射公式即可得到球面反射公式。

n´= － n 球面反射公式焦距 f 和 f´重合高斯公式

n n´ f´ 例题：若空气中一球形透明体将平行光束会聚于背面的顶点上，此透明体的折射率为多少？由球面折射成象可知解：代入上式得

n n´ h -h -2R 例题：一玻璃半球的曲率半径为R，折射率为1.5，其平面的一边镀银。一物高为h，放在曲面顶点前2R处。求：（1）由曲面所成的第一个象的位置（2）这一光学系统所成的最后的象在哪里？解：（1）球面折射公式得其中

n n´ h -h -2R 即入射光线经球面折射后，成为平行光线。（2）平行光线照在反射镜上，仍以平行光线反射，镜面反射的光线，再次经过球面折射，此时仍用球面折射公式

n n´ h -h -2R 此时，光线自右向左进行，球面右方是物空间，折射率为 n´：左方是象空间，折射率为 n ，公式中 n´与 n互易。将代入折射公式得即最后所成的象在球面顶点左方2R处，与物体的位置重合，由图可见是倒立的。

五、单球面成象放大率 垂轴放大率

垂轴放大率（横向放大率）决定于象距与物距。物平面和象平面上的各点放大率相同。垂轴放大率（横向放大率）决定于象距与物距。物平面和象平面上的各点放大率相同。当β＞0时，物与象在主光轴的同一侧，为正立的象，物与象一虚一实。当β＜0时，物与象在主光轴的两侧，为倒立的象，实物成实象，虚物成虚象。

当|β|＞1时，系统成一放大的象。 当|β|＜1时，系统成一缩小的象。角放大率为一对共轭光线与主光轴夹角的比值角放大率表示折射面改变同心光束张角大小的能力。在近轴条件下，

角放大率与垂轴放大率的关系： 拉格朗日—亥姆霍兹恒等式表示在近轴区域球面折射成象时，物、象各共轭量之间的制约关系。平面折射成象公式：平面反射成象公式：

C F P P´ 例题：一物体在曲率半径12厘米的凹透镜的顶点左方4厘米处，求象的位置及横向放大率，并作出光路图。解：（1）高斯法：

C F P P´ 横向放大率：（2）牛顿法：象点在象方焦点18厘米处，即在球面顶点右方12厘米处

n n´ F´ S´ F S 例题：一直径为4厘米的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径为2厘米的半球形。长为0.1厘米的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8厘米处。求象的位置及大小，并作光路图。解: 已知

由得因 P´是正的,故所成的象为实象,它在棒内离顶点12厘米处。横向放大率：

当 d 0时，两球面顶点重合为一点，称为光心（optical center） §3-3薄透镜成象及其作图方法一、薄透镜（thin lens）成象薄透镜是最简单的共轴球面系统，它由两个单球面组成。两球面之间的间距 d 比两折射球面的曲率半径 r1、r2 小很多。薄透镜分为凸透镜和凹透镜。凸透镜的中央厚度大于边缘部分，有双凸、平凸、弯凸；凹透镜的边缘厚度大于中央部分，有双凹、平凹、弯凹。

各种薄透镜

对第一折射面 对第二折射面薄透镜成象公式

f´为薄透镜的象方焦距 f 为薄透镜的物方焦距薄透镜的高斯公式：薄透镜的垂轴放大率和角放大率

若薄透镜处于空气中，则 n = n´= 1，设薄透镜材料的折射率为nL，两球面的曲率半径为 r1 、r2，则可得透镜制造者公式（lens-maker，s formula）薄透镜的高斯公式：

二、薄透镜成象作图法 根据焦点和光心的特征，对于一个发光物点可找到三条典型光线。（1）过物方焦点的入射光，其折射光线平行于主光轴。（2）平行于主光轴的入射光，其折射光线过象方焦点。（3）过光心的入射光线，其折射光线不发生偏折。薄透镜可近似为许多不同顶角的棱镜组成，由薄透镜两边向中心，棱镜顶角越小，中心部分相当于顶角为零，相当于一块平面平行板。

作图法： （1）求某一入射光线时，首先看是否为三条典型光线中的一条。（2）若不是典型光线，则添加一条辅助光线（3）辅助光线应是典型光线，且与入射光线有关。

F F´ 若入射的平行光线不平行于光轴，则经薄透镜后会会聚于象方焦平面上一点。从物方焦平面上一点发出的所有光线，经薄透镜后也出射平行光，但它们不平行于光轴，而平行于过焦平面上该点与光心的连线。

S M O O O O N 例题：已知入射光线求出射光线 N Q F F´ F´ F Q´ M M´ 已知物点求象点 N N M S´ S F F´ S´ S F´ M

§3-4 共轴球面系统成象 一、共轴球面系统的逐次成象由 k 个折射球面组成一共轴球面系统，物体 SQ 经过这个光学系统所成的象为 SKQK

对应 k 个球面，可得 k 个物象距公式 两相邻球面顶点的距离为垂轴放大率为

系统总的垂轴放大率为各单球面的垂轴放大率之乘积。系统总的垂轴放大率为各单球面的垂轴放大率之乘积。拉格朗日—亥姆霍兹恒等式例：惠更斯目镜由两个凸透镜 L1 L2组成，用逐次成象法求象位置。

已知： 物点 Q 位于L1前a处解： - P1= a ，代入第一个透镜的高斯公式得同理对于第二个透镜，有

Q´´ Q F2´ O2 P´ O1 P F1 P´´ Q´ 例题：凸透镜焦距为10厘米，凹透镜焦距为4厘米，两个透镜相距12厘米。已知物在凸透镜左方20厘米处，计算象的位置和横向放大率并作图。解：利用高斯公式两次成象第一次 PQ成象：

得第二次 P´Q´成象：得

二、共轴系统的基点和基面 1841年高斯提出共轴系统的一般理论：在理想共轴系统中，物方的任一点都和象方的一点共轭。同样，相应于物方的每一条直线或每一个平面，在象方都应有一条共轭直线或一个共轭平面。这样共轴系统就成了点与点、直线与直线以及平面与平面之间的共轭关系的纯几何理论。利用基点与基面，可描述共轴系统的基本光学特性。

基点与基面：主焦点与焦平面；主点与主平面 （1）主焦点与焦平面与无穷远处的象平面共轭的物平面为物方焦平面。物方焦平面与主光轴的交点为物方主焦点，记为 F。与无穷远处的物平面共轭的象平面为象方焦平面。象方焦平面与主光轴的交点为象方主焦点，记为 F´。（2）主点（principal point）与主平面共轴系统中存在一对共轭面，面上任一对共轭点到主光轴的距离相等。（β=1）

Q Q´ F H H´ F´ 这对共轭面为系统的主平面（principal plane）。物方主平面记为 H；象方主平面记为 H´ 这对共轭点为主点。物方主平面与主光轴的交点为物方主点，记为 H；象方主平面与主光轴的交点为象方主点，记为 H´；

第三章

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