Teoria da Partilha Equilibrada -Apresentação-

1. Teoria da Partilha Equilibrada-Apresentação- Teoria da Partilha Equilibrada Divisão Divisão Justa Proporcional Maria Manuel: Ana: • Susana: • Método de Jefferson. • Métodoo de Adams. • Método de Webster. • Lúcia: • Método de Hamilton. · · Método do Divisor – Selector. Método do Último a Diminuir. · · Método do Método das Divisor Licitações Fechadas. · Único. Método dos · Método do Marcadores. Selector Único. Teoria da Partilha Equlilbrada

2. PARTILHA-Acto ou efeito de partilhar -Acto destinado a fazer cessar a indivisão de um património -Divisão de bens de uma herança -Repartição -Quinhão -Dote -Atributo (do Latim partícula-, dim de parte-, “parte”)EQUILIBRADA-Que está em equilíbrio -Sensata -Ponderada ( Latim aequilibrátu-, “id.”) Tirado da “Diciopédia 2003” Teoria da Partilha Equlilbrada

3. Divisão Justa Problemas e Esquemas de Divisão Justa: Um problema de Divisão Justaé um “jogo” com N jogadores e um conjunto de objectos S; Um esquema de Divisão Justa é um processo sistemático para a resolução de um problema de Divisão Justa. Por essa razão, necessita que as seguintes condições sejam satisfeitas: Teoria da Partilha Equlilbrada

4. DivisãoJusta • Deve ser decisivo; • Deve ser interno; • Os “jogadores” não devem ter conhecimento das preferências dos restantes; • Assume-se que os “jogadores” são racionais. Teoria da Partilha Equlilbrada

5. Contínuo Divisão Justa • Somas de dinheiro, bolos, cerveja... • Discreto • Casas, peças de arte, barcos... • Misto • Heranças... Teoria da Partilha Equlilbrada

6. Caso contínuo: Divisão Justa • Método do Divisor-Selector; • Método do Divisor Único; • Método do Selector Único; • Método do Último a Diminuir. Teoria da Partilha Equlilbrada

7. Divisão Justa • Caso discreto: • Método das Licitações Fechadas; • Método dos Marcadores. Teoria da Partilha Equlilbrada

8. Método do Divisor-Selector • Este método envolve, geralmente, dois “jogadores” e consiste em, basicamente “tu cortas – eu escolho”. • Note-se ainda que este método pode ser aplicado a mais do que dois “jogadores”. Se tivermos 4 jogadores, o esquema desdobra-se em duas etapas: • Começam-se por agrupar os jogadores em dois grupos, com dois jogadores cada um. Um dos grupos divide e o outro escolhe; • Numa segunda etapa, repete-se o processo em cada um dos grupos. • O método pode funciona para potências de base dois. Teoria da Partilha Equlilbrada

9. Método do Divisor-Selector Teoria da Partilha Equlilbrada

10. Visão da Sandra Visão da Sónia 9€ 0€ 9€ 18€ Método do Divisor-Selector Teoria da Partilha Equlilbrada

11. Método do Divisor-Selector Teoria da Partilha Equlilbrada

12. Visão da Sandra Visão da Sónia 9€ 16€ Método do Divisor-Selector E se fosse a Sandra o divisor? Teoria da Partilha Equlilbrada

13. Método do Divisor Único Passo 1: DIVISÃO – O divisor corta a pizza em 3 pedaços. Passo 2: LICITAÇÕES – Cada selector declara quais dos pedaços considera aceitável. • Passo 3: DISTRIBUIÇÃO – Pode-se dar 3 casos: • Ambos os selectores declaram uma só peça e distintas. Óbvia!!!! • Um dos selectores declara mais do que um pedaço. • Ambos os selectores declaram o mesmo pedaço. Teoria da Partilha Equlilbrada

14. Teoria da Partilha Equlilbrada

15. Método do Selector Único Passo 1: PRIMEIRA DIVISÃO – Os dois divisores cortam a pizza pelo Método do Divisor-Selector. Passo 2: SEGUNDA DIVISÃO – Cada divisor divide agora a sua parte por três partes que consideram de igual valor. Passo 3: SELECÇÃO – O selector escolhe uma parte de cada um dos divisores, e cada divisor fica com o que restou da sua parte. Teoria da Partilha Equlilbrada

16. Visão da Maria Visão da Sandra Visão da Sónia 13.5€ 9€ 0€ 4,5€ 9€ 18€ Método do Selector Único Teoria da Partilha Equlilbrada

17. Método do Selector Único Teoria da Partilha Equlilbrada

18. JOGADORES Sandra Sónia Maria Parte 18/54 F e 4/54 C 9/54 F e 9/54 C 14/54 C Valor para a Sandra 12 Є 6 Є 0 Є Valor para a Sónia 7.33 Є 6 Є 4.67 Є Valor para a Maria 5 Є 6 Є 7 Є Método do Selector Único Teoria da Partilha Equlilbrada

19. Como dividir um bolo em N partes? Método do Último a Diminuir Teoria da Partilha Equlilbrada

20. Método de Último a Diminuir Consideremos (C1, C2, ... , Cn) os candidatos às fatias do bolo. Durante todo o método é mantida esta ordem,organizada aleatoriamente. A divisão do bolo é feita por etapas. Em cada etapa todos os candidatos em jogo têm oportunidade de intervir ou não na divisão do bolo. Sendo considerado,respectivamente , Reclamantes ou Não-Reclamantes. No fim de cada etapa sai um candidato com uma fatia de bolo. Pelo que,na etapa seguinte teremos o restante bolo para dividir pelos N-1 candidatos. Vamos considerar um exemplo com 4 candidatos. Teoria da Partilha Equlilbrada

21. 1ª Etapa: Consideremos o seguinte bolo: O Candidato C1 corta uma fatia que lhe pareça justa, Isto é, 1/4 do bolo. Teoria da Partilha Equlilbrada

22. Não joga: Acha que a fatia cortada por C1 é justa.Ficando no grupo dos Não- Reclamantes. Candidato C2: Joga: Acha que a fatia é grande e portanto opta por diminuí-la. Passa a ser o novo Reclamante. Suponhamos que o Candidato C2 joga: C2 diminui a fatia cortada por C1. Teoria da Partilha Equlilbrada

23. Não Joga: Acha que a fatia cortada por C2 é justa. Fica no grupo dos Não- Reclamantes. Candidato C3 Joga: Acha que a fatia cortada por C2 é grande pelo que, opta por diminuí-la. Passa a ser Reclamante. Suponhamos que C3 não joga: Continuamos a ter o bolo: Teoria da Partilha Equlilbrada

24. Não joga: Acha que a fatia cortada por C2 é justa,continuando no grupo dos Não-Reclamantes. Candidato C4 Joga: Acha que a fatia cortada por C2 é grande pelo que, opta por diminuí-la. Passa a ser o novo Reclamante. Suponhamos que C4 joga: C4 diminui a fatia Cortada por C2. Teoria da Partilha Equlilbrada

25. Conclusão da 1ª Etapa: O último Reclamante,isto é, o último que diminuiu a fatia sai do jogo com a respectiva fatia. No nosso exemplo sai C4 com a fatia verde. 2ª Etapa: Passamos a ter 3 candidatos: C1, C2, e C3. O bolo a dividir pelos 3 candidatos restantes é: Teoria da Partilha Equlilbrada

26. 2ª Etapa:Continuação. O processo é análogo ao da 1ª etapa. Suponhamos que nesta etapa sai o candidato C1. O que quer dizer que C2 e C3 concordaram com a fatia cortada por C1. 3ª Etapa: Nesta etapa só temos dois candidatos: C2 e C3. Neste caso, aplica-se o método do divisor-selector. Teoria da Partilha Equlilbrada

27. Num testamento temos um carro, um barco e uma casa para dividir de forma justa por quatro herdeiros. Como fazê-lo? Método das Licitações Fechadas Teoria da Partilha Equlilbrada

28. As Licitações Épedido a cada um dos herdeiros que faça uma oferta em dinheiro por cada um dos bens. Cada herdeiro entrega a sua licitação num envelope fechado Teoria da Partilha Equlilbrada

29. Tabela das Licitações Teoria da Partilha Equlilbrada

30. Tabela da Distribuição Teoria da Partilha Equlilbrada

31. Cálculo das partes justas Somar as licitações de cada herdeiro Dividir essa soma pelo número total de herdeiros Teoria da Partilha Equlilbrada

32. Teoria da Partilha Equlilbrada

33. Teoria da Partilha Equlilbrada

34. Divisão do excesso Havia em jogo 265€ para serem pagos e 191€ para serem recebidos, pelo que, sobram 68€!!! Portanto,nada mais justo que dividir este excesso igualmente por cada herdeiro,acrescentando 17€ à sua herança! Teoria da Partilha Equlilbrada

35. Como dividir vinte chocolates por quatro crianças utilizando o Método dos Marcadores? Teoria da Partilha Equlilbrada

36. Consideremos quatro crianças: Ana, Beatriz, Catarina e Diana. (A,B,C,D). Os chocolates são organizadas aleatoriamente no Array seguinte: Teoria da Partilha Equlilbrada

37. As Licitações Cada criança escreve num papel onde quer que sejam colocados os seus três marcadores. As Licitações são abertas e os resultados mostrados na figura seguinte. Teoria da Partilha Equlilbrada

38. Resultado das Licitações 1º conjunto de marcadores 2º conjunto de marcadores 3º conjunto de marcadores Teoria da Partilha Equlilbrada

39. A Distribuição Examinamos o array,da esquerda para a direita,até encontrar o primeiro marcador de alguém. No nosso exemplo é o marcador da Beatriz,pelo que lhe é entregue o seu segmento. Teoria da Partilha Equlilbrada

40. Resultado da Distribuição Para a Beatriz Teoria da Partilha Equlilbrada

41. A Beatriz acabou de receber uma parte justa dos chocolates. Os seus marcadores são retirados e continuamos a examinar o array. Teoria da Partilha Equlilbrada

42. Procuramos agora o 1º marcador do 2º conjunto de marcadores. 2º conjunto de Marcadores. Teoria da Partilha Equlilbrada

43. O marcador encontrado é o da Catarina pelo que lhe é entregue um segmento de chocolates. Para a Catarina De seguida são retirados os seus marcadores. Teoria da Partilha Equlilbrada

44. Procuramos agora o 1º marcador do 3º conjunto de marcadores. O marcador encontrado é o da Ana pelo que recebe um segmento de chocolates. Para a Ana Em seguida os seus marcadores são retirados. Teoria da Partilha Equlilbrada

45. Continuamos a examinar o array da esquerda para a direita e encontramos ainda o marcador D3 que pertence à Diana que, recebe o seu segmento. Para a Diana Teoria da Partilha Equlilbrada

46. Cada criança recebeu um segmento de chocolates. No entanto,sobram chocolates!!! Teoria da Partilha Equlilbrada

47. Divisão do excesso Estipulamos aleatoriamente uma ordem entre as crianças. Cada uma vai escolhendo um chocolate até acabarem. Consideremos a seguinte ordem: Catarina,Diana,Beatriz e Ana. Que escolhem respectivamente: Teoria da Partilha Equlilbrada

48. A Catarina escolhe a peça 11: A Diana escolhe a peça 5 : A Beatriz escolhe a peça 6: A Ana fica com a peça 10: Teoria da Partilha Equlilbrada