Champ et potentiel électrostatiques

1. Champ et potentielélectrostatiques • 1 – Rappels • matière <---> atomes <---> noyaux, électrons • charge globale nulle ; si un électron est arraché (ou rajouté), on a un ion. • à l'échelle macroscopique, la "charge électrique" portée par un corps correspond à un défaut ou un excès d'électrons. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

2. Champ et potentiel électrostatiques La charge électrique est une grandeur physique qui s'exprime en coulombs. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

3. Champ et potentiel électrostatiques1 – Rappels • Remarques : • les charges mobiles sont, le plus souvent, des électrons. • différence conducteur / isolant : • isolant(liaison covalente / ionique) : • les atomes "retiennent" leurs électrons au voisinage des noyaux. Tout excès ou défaut d'électron reste localisé là où il est créé. • conducteur(liaison métallique) : • la cohésion de l'ensemble des atomes correspond à la mise en commun d'électrons qui sont "rattachés" à la collectivité et non à des atomes particuliers. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

4. Champ et potentiel électrostatiques1 – Rappels Ces électrons sont libres de se déplacer pourvu que le bilan total des charges soit constant. Donc toute charge créée sur un matériau se répartit sur la surface, dans le cas d'un conducteur, ou reste localisée là où elle a été créée, pour un isolant. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

5. Champ et potentiel électrostatiques2 - Force de COULOMB • Interaction entre charges ponctuelles dans le vide. La force , due à q et s'exerçant sur la charge q' placée en O' est donnée par : Charges de même signe r = || OO' || ; SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

6. Champ et potentiel électrostatiques2 - Force de COULOMB Charges de même signe répulsion Charges de signes opposées attraction SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

7. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique • 3-1 Charge ponctuelle • La charge q' en O'subira, ou ne subira pas de force, selon qu'il y aura ou non une charge q en O ---> la présence de q en Ochange donc les propriétés de l'espace, notamment en O' , et ceci est ressenti par q'. • On dit que la présence de q en O modifie les propriétésde l'espace • on traduit ceci par l'existence d'un champ vectorielE(champ "électrostatique"). • Force F subie par q' de la part de q ? SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

8. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique • Une charge électrique crée un champ électrique dans l’espace qui l’entoure • Le champ en un point donné est dirigé vers la charge Q si Q est négatif; dans l’autre sens, si Q est positif Si on connaît le champ électrique en un point P, on peut déterminer la force sur une charge q placée en P SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

9. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique Lignes de champ • Représentation du champ électriques • Principales propriétés • Les lignes de champ électrique vont toujours des charges positives vers les charges négatives • Le nombre de lignes qui partent d’un charge ou qui se dirigent vers elle est proportionnel à la grandeur de la charge • La direction du champ en un point est tangente à la ligne de champ • L’intensité du champ est proportionnelle à la densité des lignes de champ • Les lignes de champ ne se coupent jamais SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

10. Résumé : • Toute chargecréedans l'espace qui l'entoure un champ • Toute charge q' placée dans un champEsubitune force • Unités : F' (N) ; q (C) ; E (V.m-1). • Eest "représenté" par la force s'exerçant sur la charge + 1C. • Lignes de champ: • Ces lignes sont tangentes en tout point au champ • orientation dans le sens deE SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

11. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique 3-2 Champ dû à une distribution de charges • Charges ponctuelles : Qi • Superposition : Plusieurs charges ET = S Ei SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

12. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique Application: 1- Champ électrique d'un dipôle, sur la médiatrice (voir la figure qui suit) SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

13. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique 3-3 Champ dû à une distribution de charges • Distribution continue de charges : • Élément de surface dS : • Surface entière S :    est défini par ses 3 composantes qu'il faut calculer séparément. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

14. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique Applications: 1) Champ électrique dans l'axe d'un anneau mince portant une charge Q. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

15. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique 2) Champ électrique dans l'axe d'un disqueavec densité surfacique σ(C/m2) uniforme. Remarque :La charge totale sur le disque est donnée par : Si on donne la charge totale du disque, Q et son rayon a, la densité surfacique est donnée par : SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

16. Champ et potentiel électrostatiques 3 - Champ électrostatique • Méthodologie : • décomposer la distribution en éléments de distribution "ponctuels". • calculerdEi. • faire la somme : • plutôt que de calculer les 3 composantes de    , il peut être plus avisé de • rechercher le support de    puis de calculer simplement son module ; • ceci est possible du fait que le champ"a la symétrie" de la distribution. ET = Ss dEi SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

17. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique Énergie potentielle électrique • Le potentiel électrique est défini comme l’énergie potentielle électrique Ue que possède un objet chargé par unité de charge DV = Ue/q0 SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

18. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique • le potentiel dû à une charge ponctuelle + cste • le potentiel en un point est défini à une constante près. • Généralement on prend la valeur de la constante qui annule V à l'a , V(a) = 0 SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

19. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique • potentiel créé par une distribution de charges : • distribution de plusieurs charges ponctuelles {qi} : • distribution continue de charges : SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

20. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique C'est un champ scalaire . Il est défini par les relations suivantes : SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

21. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique Potentiel de quelques configurations courantes 1 - Potentiel d'une charge ponctuelle Q 2 - Potentiel d'une sphère conductrice de rayon R portant une charge Q SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

22. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique 3 - Potentiel d'une sphère non-conductrice de rayon R portant une charge totale Q uniformément distribuée dans l'ensemble de son volume SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

23. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique 4 - Potentiel à une distance r de l'axe d'un long cylindre conducteur de rayon R portant une charge de densité linéaire λ (C/m) Dans ce cas, il faut fixer arbitrairement le point de potentiel nul : on prend Alors : SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

24. Champ et potentiel électrostatiques4 - Potentiel électrostatique • Remarques : • V est un scalaire exprimé en Volt (V) • V décroît dans le sens de • les surfaces de potentiel constant sont appelées équipotentielles elles sont à SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

25. Énergie potentielle d'une distribution de charges SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

26. Exemple Énergie potentielle d'une distribution de charges dans le cas d'un arrangement de trois charges ponctuelles, l’énergie potentielle est donnée par Le premier terme correspond au travail pour amener Q2 dans le voisinage de Q1 . Les deux autres correspondent au travail pour amener Q3 dans le voisinage de Q1 et Q2 respectivement. Cet exemple éclaire le sens de i < j dans l'expression générale de U en montrant que cela assure de ne pas calculer deux fois le travail qui consiste à amener une charge donnée dans le voisinage d'une autre (on ferait l'erreur d'ajouter le travail pour amener l'autre dans le voisinage de l'une). SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

27. Champ et potentiel électrostatiquesConclusion Les champs potentiels et électriques ont été exprimés dans le cas où les charges sont dans le vide. On a utilisé la constante k = 9.109 = (1/4peo), eopermittivité du vide. Dans le cas où on a de la matière à la place du vide on remplaceeopare; la structure des formules reste la même.  SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

28. Le théorème de Gauss dans le vide Le théorème de Gauss est une reformulation de la loi de Coulomb et ne se limite pas aux champs électrostatiques Enoncé du théorème Dans le vide,le flux du champ électrique au travers d’une surface ferméequelconque est égal à la somme algébrique des charges électriques à l’intérieur divisé par e0 . tient compte de toutes les charges dans le volume SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

29. 1 - Autre formulation Le théorème de Gauss dans le vide Le flux du vecteur D (déplacement électrique) au travers d’une surface fermée quelconque est égal à la somme algébrique des charges électriques internes. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

30. 2 – Le flux Electrostatique Le théorème de Gauss dans le vide E uniforme et perpendiculaire à une surface plane A. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

31. 2 – Le flux Electrostatique Le théorème de Gauss dans le vide E uniforme et non perpendiculaire surface plane A (E pas // à A ) SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

32. 2 1 + 3 - q en dehors de S Le théorème de Gauss dans le vide q SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

33. 4 - q à l’intérieur de S Le théorème de Gauss dans le vide SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

34. 5 - Remarques Le théorème de Gauss dans le vide Vrai FAUX Sauf pour qlqs géométries particulières à symétries évidentes OK pour les géométries avec distributions des champs ou symétries évidentes. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

35. 6 - Conclusion Le théorème de Gauss dans le vide l'utilisation judicieuse du théorème de Gauss pour le calcul du champ repose sur les trois points qui suivent : a) l'utilisation de la symétrie de la distribution de charge pour établir la configuration des lignes de champ; b) le choix d'une surface de Gauss pour laquelle E est soit perpendiculairel'élément de surface, c'est-à-dire parallèle au vecteur dA (E • dA) = E dA,soit parallèle à la surface, c'est-à-dire perpendiculaire à dA (E • dA ) = 0; • sur la (ou les) partie(s) de surface où E est parallèle à dA, l'intensité de E doit être constante. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

36. s s 7 - Distribution volumique de charge Le théorème de Gauss dans le vide F = Le champ E est radial E(r) . Sr = ( r VR )/e0 S = 4Pr2 V = 4PR3/3 r s E = ( r /3 e0) * ( R3/r2 ) SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

37. 8 - Distribution linéique de charge Le théorème de Gauss dans le vide Surface de Gauss ds SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

38. sS ES + 0 + ES S 2S Surface de Guass 9 - Distribution plane de charge Le théorème de Gauss dans le vide SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

39. Les Conducteurs Vide Conducteur 1 - Propriétés • En statique, • E = 0 dans les très bons conducteurs • Statique = pas de courant en surface, donc • A l’intérieur, • et donc conducteur = équipotentielle SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

40. S 2 – Charge d’un conducteur Les Conducteurs Dans un conducteur toutes les charges sont réparties sur la surface SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

41. 3 - Phénomènes d’Influences Les Conducteurs Tout corps chargé, produit un champ électrostatique, qui va perturberles autres conducteurs par influence. Deux conducteurs placés l’un au voisinage de l’autre s’influencent mutuellement. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

42. 3 – 1 / Conservation de la charge Les Conducteurs En effet, l’action de A sur B => influence • modification de la répartition des charges sur la surface de B d'où perturbation • Si le conducteur B était initialement chargé, il conserve la même charge mais la répartition en surface est modifiée. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

43. 3 – 2/ Influence Totale Les Conducteurs Quand un conducteur entoure complètement un autre, on a le phénomène suivant : • Il apparaît,par influence totale, une charge Q' = - Q sur la surface intérieure de B. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

44. Les condensateurs 1 - Généralités Lorsqu'on établit une d.d.p. V entre ces conducteurs une charge Q apparaît. On constate, également, que si on applique successivement V, V', V'', il apparaît Q, Q', Q'‘. Q / V = Q'/ V' = Q" / V'' = Constante. SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

45. Les condensateurs 2 - Définitions On définit : C = Q / V C capacité du condensateur, Q charge du condensateur, V tension de charge du condensateur. C s'exprime en FARAD (F). Représentation symbolique SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

46. C = Q/V = eo S/e( avec :eo = 1 / 36p 109 SI) Les condensateurs 3 – Cas particuliers 3 - 1/ Le condensateur plan calcul deC = Q / V le champ entre les armatures est uniforme :E = s /eo= Q / S eo = E . AB = E. e SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

47. C = Q /V = 2 p eo h / ln (R1/R2) Les condensateurs 3 –2/ Le condensateur cylindrique SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

48. C = Q /V = 4p eoR1R2/(R2-R1) Les condensateurs 3 – 3/ Le condensateur sphérique SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

49. Les condensateurs 1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2+ 1/ C3 +... 4 - Groupement de condensateurs. 4. 1 En série • Même Q, somme des Vi . • Condensateur équivalent Ce SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti

50. Les condensateurs Ce = C1 + C2 + C3 +... 4 - Groupement de condensateurs. 4. 2 En parallèle • Même V, somme des Qi . • Condensateur équivalent Ce SVI STU – Cours d’Électricité Mourad Elbelkacemi- Mohammed Loghmarti