Félévi követelmény (nappali)

1. Félévi követelmény (nappali) • előadásokon rövid zárthelyi (min. 5) • gyakorló feladat beadása és bemutatása a gyakorlatokon (max. 10 perc) • Min. 3 zh. jegyből és a gyakorlatokon tapasztalt munka alapján gyakorlati jegy • Pótzárthelyi csak különleges esetben.

2. A félév tananyaga • A természetes szám fogalma • Halmazelmélet • Számok írása • Matematikai logika • Racionális számok • Természetes számok • Oszthatóság • Számrendszerek

3. Hány pénzed van? Mennyi pénzed van? Hány családod van? Hány tagú a családod? Heisenberg (atomfizikus) írása a nyelvről – a szavak jelentése Egy – az egység fogalma A természetes számok fogalma Halmazelméleti megközelítés Axiomatikus megközelítés Számfogalom kialakítása problémák felvetése

4. A fogalomalkotás problémája • Mefisztó: . Szavakhoz tartsd magad! Hiába • a bizonyosság templomába • biztos kapun így léphetsz be csak. • Tanítvány: De a szóhoz fogalom is tapad. • Mefisztó: Jó, jó! Túlságosan sok még az aggodalmad; • éppen hol nincsenek fogalmak, • megfelelő szó hamarost akad.”

5. Misztifikált számok • Az egy – egység fogalma – törtek száműzése • A számok vizsgálata: a világ harmóniájának leírása érdekében történtek • Páros és páratlan számok – műveletek • Tökéletes szám egyenlő a nála kisebb osztóink összegével 1+2+3=6 1+2+4+7+14=28 • Baráti számpár: bármelyik egyenlő a másik osztóinak összegével (220, 284), (1184,1210)

6. A püthagóreusok zeneelmélete • Szümphónia – összecsengés (négy kalapács hangja) - rezgésszámok • Oktáv 2:1 • Kvint 3:2 • Kvart 4:3 • A konszonáns hangközök az 1,2,3,4 számokkal jellemezhetők

7. Harmónia • Az alaphangot adó húr legyen 12 egység • 12:9=8:6, • 9=(6+12)/2, 8=(6*12)/((6+2)/2) • Az aránypár második tagja a külső tagok számtani közepe, a harmadik tagja a külső tagok harmonikus közepe: „arany aránypár”

8. „háromszögszámok” • O O O • O O O O O O • O O O O O O • O O O O • 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 • AZ N-IK „HÁROMSZÖGSZÁM” • (n+1)n/2

9. „téglalapszámok” • O O O O • O O O O • O O O O 3*4=12 • 2*5=10 • Az n-ik n(n+1) alakú szám az első n páros szám összege • Térbeli alakzatokból köbszámok összegét számolták

10. Számírás

11. kínai

12. Halmazelméleti alapfogalmak • Halmaz: dolgok, tárgyak, fogalmak, személyek összessége. • Jelölés: H={a,b,c} az a halmaz, amelynek elemei a, b és c • Szemléltetés: Venn-diagram

13. Műveletek halmazokkal • Únió • Metszet • Különbség A U B Komplementer A A B A \ B

14. Halmazok úniója • A={a II. évfolyamos, szőke, vagy vörös hajú hallgatók összessége} • B={a II. évfolyamos, barna, vagy vörös hajú hallgatók összessége} • AUB={A II. évfolyamos, barna, vagy szőke, vagy vörös hajú hallgatók összessége} • Alaphalmaz: az AVKF nappali tagozatos hallgatói

15. Descartes szorzat y x • Rendezett pár fogalma • Descartes szorzat A x B ={¸(a,b)|a€A,b€B} – példa: koordinátarendszer • Ha A=B, akkor AxA=A2 jelölés is használatos • Ha A, vagy B üres halmaz, akkor AxB={} • Általánosítás A1xA2x….An={a1;a2;…an)|a1€A1;a2€A2…an€An}

16. Megfeleltetések, relációk, függvények • Irányított kapcsolat (szülő, gyerek kapcsolat) • Megfeleltetés – kétváltozós (binér) reláció r Í A xB , (a,b)€ razt jelenti, hogy a r relációban áll b-vel. A kisiskolás feladatok között nagyon gyakori! (pl. nevek-virágok) • Nem irányított kapcsolat (megtett út és a szükséges idő kapcsolata)

17. Halmazok számosságának fogalma • Azonos számosságú, vagy számosságilag ekvivalens halmazoknak nevezzük azokat a H1 és H2 halmazokat, amelyekhez létezik olyan leképezés, amely kölcsönösen egyértelműen (bijektív) képezi az egyik halmazt a másik halmazra. • Jelölés: |H1|=|H2|

18. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése • Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy • Legyen benne üres halmaz • Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a HU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem. • Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokat • Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz. • Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| • Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

19. A természetes számok halmaza • A természetes számok halmaza végtelen számosságú, • Jelölése: N={1,2,3,…..} • Megjegyzések • Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg. • A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk. • A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám! • A véges halmaz számosságának megállapításához a gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

20. A természetes számok axiomatikus értelmezése • Alapfogalmak • Természetes szám • A nulla (0) • rákövetkezés • Axiómák

21. A természetes számokra vonatkozó axiómák • A 0 természetes szám • Minden természetes számnak van egy természetes rákövetkezője, amely szintén természetes szám • Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 rákövetkezője lenne • Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző. • Ha egy T tulajdonság olyan, hogy • Igaz a k0€N számra, továbbá • Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges k(k>=k0, k€N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=k0 természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).

22. Műveletek természetes számokkal • Összeadás |A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB| • Szorzás |A|=a, |B|=b, ab=|AxB| • Kivonás |A|=a, |B|=b és BÍA, azaz a<=b, a-b=|A\B| • Osztás a,b€N, a:b az a c€N, melyre bc=a

23. A számfogalom bővítéseMűveleti tulajdonságok • Kommutatív A+b=b+a, ab=ba • Asszociatív (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) • Disztributív (a+b)c=ac+bc