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Tarea 2

Tarea 2. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS (EDH). ANTECEDENTES . ¿Qué es una Ecuación Diferencial? Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o mas funciones. Dependiendo del numero de variables independientes respecto de las que se derivan . Se dividen en:

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Presentation Transcript

  1. Tarea 2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS (EDH)

  2. ANTECEDENTES • ¿Qué es una Ecuación Diferencial? • Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o mas funciones. Dependiendo del numero de variables independientes respecto de las que se derivan . Se dividen en: • EC. dif. Ordinaria: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. • EC. dif. Derivadas parcial: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o mas variables. ¿Qué es el orden de una Ecuación? • Es el orden de la derivada mas alta en una ecuación diferencial. ¿A que se le llama solución? • Es una función que al remplazar una función incógnita, en cada cazo con las derivadas correspondientes, verifica la ecuación , es decir, la convierte en una identidad. • Existen DOS tipos de Soluciones que son: • Solución General: Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes. • Solución Parcial: Es un caso partícula de la solución general, en donde las constante (es) recibe un valor especifico.

  3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS • Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo: • Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son: o bien

  4. Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido. • El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma: • Introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

  5. Formas de saber el grado de la EDH • Forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 • Inspeccion: • M(tx,ty)-- tⁿf(x,y) • N8tx,ty)-- n=grado de la exprecion Sea: f(x,y) = √x³y³ f(tx,ty)= √t³x³t³y³ = √t³(x³y³) =t³’² √x³y³------por lo tanto Es homogenea de 3/2 Grado

  6. Por SUMA: f(x,y) = √x+y(4x+3y) • f(tx,ty) = √tx³+ty³(4tx+3ty) • = √t(x+y)[t(4x+3y)] • = t½√(x+y)[t(4x+3y)] • = t³’²[√x+y(4x+3y)] • Homogenea de 3/2 grado f(x,y)=x²-y-------no homogenea no se define el grado

  7. Elementos clave para las EDH cambio de variables • Y=Mx dy=Mdx+xdu • X=My dx=Mdy+ydu • U=x+y y=U-x • dy=du-dx

  8. EJEMPLO: • (y+xcos(y/x)dx)-xdy=0 (ux+xcos(ux/x)dx-x(udy+xdu)=0 Sustitumos “y” y “dy” como anterior se indica (u+cosu)dx=udx-xdu=0---algebra Udx+cosudx-udx-xdu=0 Cos udx-xdu=0 ∫dx/x-∫du-cosu=0 Log x- ∫sec udu=0 Log x- log |sec u +tg u|=C Volvemos a sustituir “u” Log x – log |sec(y/x)+tg(y/x) |=C solución general

  9. Datos Personales • Jesús Israel Herrera Cárdenas • 9310182 • B:212 • Centro de Enseñanza Técnica industrial (CETI) • Ecuaciones Diferenciales • Profesor: Ing. Cesar Octavio Martínez Padilla

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