Introdução

1. Introdução • Falha da estrutura: • Falha do material • Deformação plástica • Rotura • Fadiga • Aumento incontrolável de uma fractura • Falha da estrutura • “Flutter “ • Encurvadura

2. Introdução • Definição : • Vigas são elementos estruturais que têm uma das dimensões (o comprimento) muito maior do que as outras duas e que resistem a esforços de flexão. • Objectivo : • Deduzir as equações de equilíbrio de uma viga plana em termos gerais de 2º ordem, linearizando depois as equações para o caso de pequenas deflexões

3. Equações de equilíbrio • Equilíbrio de um elemento de viga na sua configuração de deflectida, (viga falhou por encurvadura) P z

4. Equações de equilíbrio • Equações de equilíbrio de forças nas direcções horizontais e verticais e o equilibro de momentos

5. Equações de equilíbrio • Utilizando a equação de equilíbrio segundo z e substituindo na equação de equilíbrio dos momentos podemos obter:

6. x R  z Equações de equilíbrio • Hipótese de Navier: “secções planas e perpendiculares ao eixo da viga, permanecem planas e perpendiculares após a deformação”:

7. Equações de equilíbrio • Comprimento da linha média: • Extensão: • Tensão • Momento

8. Equações de equilíbrio • Para pequenas deformações onde podemos negligenciar o encurtamento da barra e as deformações por corte e obter: • Substituindo na equação encontrada para o equilibro da viga obtemos: onde

9. Equações de equilíbrio • A solução da equação terá a seguinte forma: • Sujeita às seguintes condições fronteira Apoio simples Encastramento Apoio Livre

10. Viga simplesmente apoiada • Sujeita às seguintes condições fronteira

11. Viga simplesmente apoiada • Obtemos as seguintes equações : • Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

12. Viga simplesmente apoiada • As cargas que garentem a solução serão: • A que correspondem a deflexões

13. Viga simplesmente apoiada • Como podemos obter o 2º modo se há deflexão com a menor carga critica (1º modo)? • Introduzindo um apoio a meio da viga

14. Viga simplesmente apoiada • Assim o primeiro modo de encurvadura é suprimido. Logo a menor carga crítica: • Esta carga é quatro vezes a carga critica da viga quando esta não tem o suporte a meio vão.

15. Viga encastrada livre • As condições fronteira serão: Em que V=0 pode ser escrito como

16. Viga encastrada livre • Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: • Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

17. Viga encastrada livre • As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão:

18. Viga encastrada apoiada • As condições fronteira serão:

19. Viga encastrada apoiada • Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: • Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

20. Viga encastrada apoiada • A 1ª carga critica de encurvadura e o modo de instabilidade serão:

21. Viga duplamente encastrada • As condições fronteira serão:

22. Viga duplamente encastrada • Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: • Solução possível

23. Viga duplamente encastrada • As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão: z(x)=C2 cos kx + C4 = C2 (cos kx-1)

24. Comprimento equivalente • Todas as cargas criticas encontradas podem ser descritas na forma: • Le é o comprimento equivalente que seria necessário para uma coluna de Euler (simplesmente apoiada) ter a mesma carga crítica do que a coluna em questão

25. Comprimento equivalente • Para os casos estudados: • Le=L Coluna de Euler (simplesmente apoiada) • Le=0.5L Coluna duplamente encastrada • Le=0.7L Coluna encastrada apoiada • Le=2L Coluna encastrada livre

26. Exemplo • Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:

27. Exemplo Continuação • Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:

28. Exemplo • Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:

29. Exemplo continuação • Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:

30. Exemplo continuação • Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:

31. Colunas com apoios elásticos • Numa estrutura muitas vezes os apoios são da viga são elásticos e não rígidos: • Em que os apoios de têm rigidez extensional ki (força por unidade de comprimento, N/m) e rigidez torcional hi (momento por radiano, Nm/rad).

32. Colunas com apoios elásticos • A equação de equilíbrio é a já encontrada para os casos anteriores. • As condições de fronteira serão

33. Colunas com apoios elásticos • Pode-se então escrever para os momentos: • Para o esforço transverso:

34. Colunas com apoios elásticos • Introduzindo os parâmetros: • Obtêm-se

35. Colunas com apoios elásticos • Dado que a solução é a já encontrada : • Podemos escrever:

36. Colunas com apoios elásticos • Que simplificando dá o sistema: • Cuja equação característica é

37. Colunas com apoios elásticos • Vamos agora aplicar este método às vigas já estudadas: • Coluna simplesmente apoiada • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Rotação livre: Mola com rigidez zero

38. Coluna simplesmente apoiada • Introduzindo no sistema encontrado: • Para não obter a solução trivial

39. Coluna Encastrada-Livre • Encastramento • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Não há Rotação: Mola com rigidez infinita • Extremo livre • Deslocamento livre: Mola com rigidez zero • Rotação Livre: Mola com rigidez zero

40. Coluna Encastrada-Livre • Então o nosso sistema será: • Com a solução não trivial:

41. Coluna Encastrada-Apoiada • Encastramento • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Não há Rotação: Mola com rigidez infinita • Apoiada • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Rotação Livre: Mola com rigidez zero

42. Coluna Encastrada-Apoiada • Então o nosso sistema será: • Com a solução não trivial:

43. Coluna Duplamente Encastrada • Encastramento • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Não há Rotação: Mola com rigidez infinita

44. Coluna Duplamente Encastrada • Então o nosso sistema será: • Pode-se obter:

45. Coluna Duplamente Encastrada • Cuja equação característica é

46. Exemplo • Considere-se uma coluna uniforme, simplesmente apoiada em um dos apoios e tendo o outro apoio com elasticidade extensional de rigidez , conforme a figura abaixo.

47. Exemplo • Considere-se agora a coluna do exemplo anterior mas à qual se substitui o apoio esquerdo por um encastramento, tal como demonstrado na figura abaixo:

48. Estabilidade de Pórticos • As colunas das estruturas porticadas são um exemplo muito comum de colunas com apoios elásticos. • A rigidez extensional das vigas BC é igual a (EI)1/L1. Na maioria dos casos práticos esta rigidez costuma tomar-se como infinitamente grande.

49. Estabilidade de Pórticos • Então o modelo para o cálculo das cargas críticas das colunas AB • Onde a rigidez de rotação h do apoio B baseada nas propriedades de flexão das vigas BC

50. Estabilidade de Pórticos • Para deduzir estas rigidezes de rotação impõe-se um momento concentrado no apoio B da viga BC. • Para o 1º caso: