Solving Shape-Analysis Problems in Languages with Destructive Updating

1. Solving Shape-Analysis Problems in Languages with Destructive Updating 増山 (米澤研究室) 小野 (西田研究室)

2. 参考文献 • Mooly Sagiv et al , Solving Shape-Analysis Problems in Languages with Destructive Updating ACM Transactions on Programming Languages and Systems , 1998

3. 概要 • Shape-Analysisとは? • 理論 / 解析アルゴリズム • DSG • SSG • 変換関数 / interpretation • 解析の利点、欠点 • 解析の安全性(safety) • 応用 / まとめ

4. Shape-Analysisとは?

5. Shape-Analysisとは? • データの形を静的に解析 • 入力が • リストならば出力もリストを保証 • 木ならば出力も木を保証 • Pointer-Analysis , Alias-Analysis , Type Checking の問題を解くことができる

6. 用途 • デバッグツールとして使用 • 並列化に使用 • 共有されないデータを見つける

7. 簡単な例: リストのreverse

8. 簡単な例: リストのreverse

9. 簡単な例: リストのreverse

10. 理論 / 解析アルゴリズム

11. 対象言語 • 破壊的代入を伴うimperativeな言語 • Cons-cell　を扱う x : = nil x.sel := nil (sel ∈ { car, cdr }) x := new x := y x.sel := y x := y.sel kill generate

12. プログラムの形式化 • プログラムはControl-flow Graph (V,A)で表現 (V.. vertex, A .. arc) • vertex • 代入文か条件式がひとつのvertexに対応 • arc • 制御の流れを示す

13. Shape Graph <Ev,Es> • ノード • 変数 PVar • メモリのセルを表す shape_node • car,cdrというセレクタを持つ • 枝 • 変数から出る枝　variable-edge (Ev) • shape_nodeから出る枝　selector_edge (Es)

14. DSG: deterministic shape-graph • 定義 • |Ev(x)| ≦ 1 (x ∈ PVar) • |Es(n,sel)| ≦ 1 (n ∈ shape_nodes) • DSGのクラスをDSGと書く • 実行時のメモリ状態を表現する

15. Concrete Semantics[] : DSG → DSG

16. DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSGとControl-Flow Graphの関係

17. Collecting Semantics • 定義　cs: V → 2DSG • あるプログラムポイントでの実現しうるメモリ状態全ての集合

18. SSG: Static Shape-Graph • 定義 • Shape-Graph(SG#)と、shape_nodeの共有状態を表す真偽値関数(is#)とのペア(<SG#,is#>) • shape_nodeは変数の集合で名前付けされている　(例 n{x,y,z}) • SSGのクラスをSSGと書く • あるプログラムポイントでのメモリ状態を抽象化している

19. DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSGとSSGとControl-Flow Graphの関係 SSG SSG SSG

20. DSGからSSGへの変換 • 定義 β: DSG → SSG • β(l) : shape_node間の変換 • DSG上でlを指す変数集合で名前付け • is#(n) : SSGのshape_node→{true,false} • iis[Es](l) = |{<*,*,l>∈Es}| ≧ 2 • is#(n) =

21. n{x} x x w w nφ y y n{w,y} n{z} z z 変換の例

22. 複数のDSGのマージ • α: 2DSG→SSG

23. DSGのマージの例

24. Concrete and Abstract Properties

25. Safe Approximation • 定義 • DSGでpが成り立つならば、SSG上でもp#が成り立つ • compatible , = などはSafe Approximationである • その対偶である!p# ⇒ !pが重要

26. DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG DSG Abstract Interpretation SSG Abstract Interpretation SSG Abstract Interpretation SSG

27. Abstract Semantics • 定義 • []#: SSG → SSG • x := nil • x.sel := nil • x := new • x := y • x.sel := y • x := y.sel それぞれの文について定義する

28. x := nil {v7 : t1 := nil}

29. x.sel := nil {v11 : y.cdr := nil}

30. x := new • 新しく共有されていないshape_nodeを作成 • Evに新たな枝 [x,n{x}]を加える

31. x := y {v6 : y := x}

32. x.sel := y {v12 : y.cdr := t}

33. x := y.sel {v8 : t1 := x.cdr}

34. Shape-Analysis Algorithm • Control-Flow Graphの各頂点に対して上の式から計算 • できるleast fixed pointを求める • 　反復法 • SSGのshape_nodeは2|Pvar|で抑えられ、反復によって、 • 枝数は単調に増加する　⇒　解析は停止する

35. データタイプを表すSSG

36. Concretization Function • 定義 γ: SSG →2DSG • SSGから実現されうるDSGの集合

37. この解析の利点、欠点

38. Strong nullification

39. e.cdr := t iis#(n{t}) = true n{y,z},n{x,y}からn{t}へ の枝が消せる ⇒ iis#(n{t}) = false ⇒ is#(n{t}) = false

40. この解析の問題点 • nφが多くのノードを抽象化 • 精度を落とす原因 nφをより詳しく分類する • ノード数がプログラムの変数の数の指数オーダー • 分岐が多いプログラムでは特に問題 精度は落ちるがノード数を減らした解析は可能

41. 解析の安全性 (safety)

42. 安全性 • Local Safety ∀SG∈DSG,st • Grobal Safety ∀v ∈ V (vはControl-Flow Graphのvertex) の定義 SGi# = <<Evi#,Esi#>,isi#>

43. 安全性の証明の流れ

44. 応用 / まとめ

45. 応用 • Aliasesの発見 • あるプログラムポイントvで、2つのアクセスパスe1,e2が • 同じcons-cellを指すような実行があるか?(may) • 必ず同じcons-cellを指すか? (must) • 共有されうるデータの発見

46. まとめ • Shape-Analysis • ヒープの状態を静的に解析 • 変数のaliasingを正確に追うことである程度正確な解析が可能 • 状態数の抑制と精度のトレードオフあり