PRESENTASI

1. PRESENTASI GEOMETRI NON EUCLID 7 SEPTEMBER 2010

2. KELOMPOK 1 DIANA WAHYUNING FITAWATI AHMAD DZULFIKAR ARNASLI YAHYA

3. Geometri Empat Titik Aksioma 1: terdapat tepat empat titik. Aksioma 2: sebarang dua titik berbeda, pada tepat satu garis. Aksioma 3: setiap garis pada tepat dua titik.

4. Interpretasi

5. Definisi Dua garis pada titik yang sama dikatakan berpotongan dan dua garis itu disebut garis-garis berpotongan. Contoh: k dan g, l dan g, l dan m, m dan n, n dan g, h dan l, h dan m, k dan n adalah garis-garis berpotongan. Sedangkan garis h dan k tidak berpotongan.

6. Definisi Dua garis yang tidak berpotongan dikatakan sejajar. Contoh: garis h sejajar k, l sejajar n, dan m sejajar g.

7. Teorema 1 Jika dua garis berbeda berpotongan maka mereka mempunyai satu titik sekutu. Bukti: Menurut definisi dua garis berpotongan mempunyai minimal satu titik sekutu. Sebut garis itu g dan h, dan titik sekutu itu A. Berarti A pada g dan A pada h. Andai ada satu titik sekutu lain sebut titik B, berarti B pada g dan B pada h. berarti melalui A dan B terdapat lebih dari satu garis, hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi pengandaian salah . Terbukti 2 garis berpotongan mempunyai tepat satu titik sekutu.

8. Teorema 2 Terdapat enam garis. Bukti: Menurut aksioma 1: ada empat titik. Menurut aksioma 2: sebarang dua titik berbeda terdapat satu garis, sehingga dari kedua aksioma ini didapat banyaknya garis ada kombinasi 2 dari 4, yaitu 6 garis.

9. Teorema 3 Setiap titik pada tepat tiga garis. Bukti: Menurut aksioma 1 ada tepat 4 titik, sebut titik-titik itu A, B, C, dan D. Menurut aksioma 2: dua titik berbeda menentukan tepat satu garis. Berarti dari satu titik ada minimal 3 garis. Andaikan ada garis keempat, menurut aksioma 3 setiap garis pada tepat 2 titik. Berarti garis keempat pasti melalui satu dari ketiga titik lainnya, sehingga ada dua titik berbeda yang mempunyai lebih dari satu garis pad keduanya. Hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi tidak ada garis keempat, terbukti ada tepat 3 garis.

10. Teorema 4 Setiap garis mempunyai tepat satu garis yang sejajar dengannya. Bukti: Menurut aksioma 1: ada tepat empat titik, sebut P, Q, R, dan S. Menurut aksioma 2: melalui sebarang titik Q dan R ada tepat satu garis, sebut l. Sedangkan menurut teorema 3, setiap titik ada tepat tiga garis, berarti di suatu titik P tidak pada l ada tepat 3 garis. Dua dari tiga garis ini pasti memotong l (aksioma 2). Andaikan garis ketiga memotong l maka perpotongannya adalah satu titik. Titik ini pasti berbeda dengan dua titik pada l (karena aksioma 2), berarti ada titik yang ketiga. Kontradiksi dengan aksioma 3, sehingga pengandaian salah. Terbukti ada tepat satu garis yang sejajar l.

11. Geometri Fano Inisiatif pertama dalam mempelajari geometri finite datang dari Gino Fano. Pada tahun 1892, fano menemukan geometri finite 3 dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis, dan 15 bidang. Satu dari bidang-bidang tersebut adalah geometri fano. Sebagai undefined terms ditetapkan titik, garis, dan pada. Aksioma-aksiomanya adalah: Aksioma 1: terdapat minimal satu garis Aksioma 2: terdapat tepat tiga titik pada setiap garis Aksioma 3: tidak semua titik segaris Aksioma 4: terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda Aksioma 5: terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda

12. Penyajian dari Suatu Model Geometri Fano

13. Teorema 1 Fano Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu Bukti: Menurut aksioma ke 5 terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda. Sebut garis itu k dan g dengan titik sekutu P, andaikan ada titik sekutu lain yaitu Q maka: P pada k dan Q pada k, demikian pula P pada g dan Q pada g. Berarti untuk dua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis. Hal ini kontradiksi dengan aksioma ke 4. Jadi dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu.

14. Teorema 2 Fano Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis Bukti: Menurut aksioma -1, terdapat minimal 1 garis, garis itu kita sebut l. Menurut aksioma -2, pada garis l ada tepat tiga titik, sebut titik A, B, dan C. Menurut aksioma -3, tidak semua titik pada garis l, berarti minimal 1 titik tidak pada l, sebut titik itu P. Jadi ada minimal 4 titik, yaitu A, B, C, dan P. Menurut aksioma -4, P dan setiap titik pada l menentukan garis-garis berbeda. Menurut aksioma -2, garis-garis ini masing-masing memuat tiga titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada 1 garis (aksioma -4) maka 3 titik tadi pasti bukan A, B, C ataupun P. Jadi minimal ada 7 titik, A, B, C, P, Q, R, dan S.

15. Teorema 2 Fano Andaikan ada titik ke -8 yaitu K, maka P dan K menentukan garis h=garis PQ (aksioma -4). Menurut aksioma -5, h dan l pasti berpotongan. Titik potong h dan l pasti bukan A, B, ataupun C, karena setiap 2 titik menentukan garis tunggal. Karena ini berarti l memuat 4 titik. Hal ini kontradiksi dengan aksioma -2. Jadi tidak mungkin ada titik kedelapan, sehingga tepat ada 7 titik.

16. Geometri Young Geometri Young mempunyai lima aksioma, empat aksioma pertama sama dengan empat aksioma pertama geometri Fano. Sedangkan aksioma ke -5 menyatakan: ”Untuk setiap garis l dan titik P tidak pada l terdapat tepat 1 garis yang melalui P dan tidak memuat titik pada l”.

17. Geometri Young

18. Teorema 1 Young Di setiap titik terdapat minimal 4 garis. Bukti: Menurut aksioma -1: ada minimal satu garis, sebut garis itu l. Menurut aksioma -2: ada tepat 3 titik pada setiap garis. Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu A, B, dan C. Menurut aksioma -3: tidak semua titik segaris. Berarti ada titik tidak pada l, sebut P.

19. Teorema 1 Young Menurut aksioma -4: ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik P. Menurut aksioma -5: di P tidak pada l ada satu garis yang tidak memuat titik pada l. Jadi ada minimal 4 garis di P.

20. Teorema 2 Young Terdapat tepat 9 titik. Bukti: Berdasarkan aksioma 1 dan 2 didapat ada minimal 3 titik pada garis l. sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik segaris, berarti ada minimal 1 titik yang tidak pada l, sebut titik P. sehingga ada minimal 4 titik. Aksioma -4 menyatakan setiap 2 titik menentukan garis. Berarti P dan titik-titik pada l menentukan garis, yaitu l1, l2, dan l3. Di setiap garis ini ada tepat 3 titik (aksioma 2). 3 titik ini pasti bukan 4 titik tadi karena untuk setiap 2 titik ada tepat 1 garis, sehingga minimal ada 7 titik.

21. Teorema 2 Young Terdapat tepat 9 titik. Bukti: Menurut teorema 1: di P ada minimal 4 garis. Menurut aksioma 5: l4tidak memotong l. Menurut aksioma 2: di l4 ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik. Andai ada titik ke -10 yaitu Q. Menurut aksioma 4: P dan Q menentukan 1 garis. Titik Q pasti tidak pada l, karena kalau Q pada l berarti di l ada lebih dari 3 titik. Kontradiksi dengan aksioma 2. Sehingga di P ada lebih dari 1 garis yang tidak memuat titik pada l. kontradiksi dengan aksioma 5. Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti ada tepat 9 titik.

22. Teorema 3 Young Terdapat tepat 12 garis. Bukti: Menurut teorema -2 ada tepat 9 titik. Untuk memudahkan kita sebut saja titik-titik itu A, B, C, D, E, F, G, H, dan I. Jadi di dapat:

23. Geometri Insidensi Aksioma 1: setiap dua titik berbeda pada tepat satu garis. Aksioma 2: untuk setiap garis, minimal dua titik berbeda pada garis itu. Aksioma 3: terdapat minimal tiga titik berbeda. Aksioma 4: tidak semua titik segaris. Suatu geometri yang memenuhi keempat aksioma tersebut disebut Geometri Insidensi.

24. Padanan Geometriempattitikadalahgeometriinsidensi. Hal inidapatdilihatdaripadananberikutini. Jelassemuaaksioma-aksiomageometriInsidensidipenuhiolehaksioma-aksiomageometri 4 titik. Jadigeometri 4 titikmerupakangeometriInsidensi.

25. Padanan GeometriFanodan Young adalahgeometriinsidensi. Hal inidapatdilihatdaripadananberikutini. Jelassemuaaksioma-aksiomageometriInsidensidipenuhiolehaksioma-aksiomageometriFanodan young. JadigeometriFanomerupakangeometriInsidensi.

26. Padanan Geometri Young adalahgeometriinsidensi. Hal inidapatdilihatdaripadananberikutini. Jelassemuaaksioma-aksiomageometriInsidensidipenuhiolehaksioma-aksiomageometri Young. Jadigeometri Young merupakangeometriInsidensi.

27. Teorema 1 Geometri Insidensi Jika dua garis berbeda berpotongan maka perpotongannya pada tepat satu titik. Bukti: Misalkan garis itu l dan m. Jika l dan m berpotongan menurut definisi mereka berpotongan pada minimal satu titik, sebut P. Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis PQ, sehingga melalui P dan Q ada lebih dari garis. Kontradiksi dengan aksioma 1 insidensi. Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.

28. Teorema 2 Geometri Insidensi Untuk setiap titik terdapat minimal dua garis yang memuat titik itu. Bukti: Menurut aksioma 3: terdapat minimal 3 titik berbeda Menurut aksioma 4: tak semua titik segaris Berarti untuk setiap titik P terdapat minimal 1 garis yang tidak memuat P. Menurut aksioma 2: setiap garis memuat minimal 2 titik berbeda. Sehingga garis yang tak memuat P tadi minimal memuat 2 titik berbeda. Menurut aksioma 1, P dan titik-titik pada garis tadi terdapat tepat 1 garis. Jadi di setiap titik P ada minimal 2 garis.

29. Teorema 3Geometri Insidensi Terdapat tiga garis yang tidak bersekutu di satu titik Bukti: Menurut aksioma 3 dan 4 berarti ada 3 titik yang tidak segaris. Jadi minimal ada 3 garis (aksioma 1) dan garis-garis tidak bersekutu di satu titik.

30. Kesejajaran pada Geometri Insidensi Jika l suatu garis dan P sebarang titik tidak pada l, maka terdapat tiga kemungkinan (alternatif) untuk aksioma kesejajaran, sebagai berikut: Tidak ada garis yang melalui P sejajar l. Ada tepat satu garis melalui P sejajar l. Ada lebih dari satu garis melalui P sejajar l. Geometri insidensi yang memenuhi alternatif ke-1 atau ke-3 disebut geometri non Euclid, sedang yang memenuhi alternatif ke-2 disebut geometri Euclid.

31. Kesimpulan Geometri insidensi sebagai suatu sistem aksiomatik menetapkan titik, garis, dan pada sebagai undefinied terms dengan 4 aksioma, yaitu: Aksioma 1: setiap dua titik berbeda pada tepat satu garis Aksioma 2: untuk setiap garis minimal 2 titik berbeda pada garis itu Aksioma 3: terdapat minimal tiga titik berbeda Aksioma 4: tidak semua titik segaris Terdapat tiga alternatif kesejajaran pada geometri insidensi jika g suatu garis dan P titik tidak pada garis g, maka: Tidak ada garis melalui P sejajar g Ada tepat satu garis melalui P sejajar garis g Ada lebih dari satu garis melalui P sejajar garis g Geometri insidensi yang memenuhi alternatif kesejajaran i) atau iii) disebut geometri non euclid, dan yang memenuhi alternatif iii) disebut geometri euclid.