1 / 77

GRAF

GRAF. Matematika Diskrit. C. D. A. B. Pendahuluan . Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut Representasi : Objek : noktah, bulatan atau titik Hubungan antar objek : garis. Definisi .

sophie
Download Presentation

GRAF

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. GRAF Matematika Diskrit

  2. C D A B Pendahuluan • Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut • Representasi : • Objek : noktah, bulatan atau titik • Hubungan antar objek : garis

  3. Definisi • Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) • Ditulis dengan notasi : G = (V, E) V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul • Graf trivial adalah : • Graf hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi • Simpul pada graf dinomori dengan : • Huruf (a,b, …,z) atau • Bilangan (1, 2, … ) atau • Huruf dan bilangan (a1, a2, …. ) • Sisi yang menghubungkan simpul u dan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan e1, e2, …. Sehingga dapat ditulis : e = (u,v)

  4. 1 2 3 4 Contoh 1 • G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)} Graf sederhana

  5. 1 e4 e1 e3 2 3 e2 e6 e5 e7 4 Contoh 2 • G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)} = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Himp. Ganda • Pada G2 : sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi ganda (multiple edges atau paralel edges) Graf ganda

  6. 1 e4 e1 e3 e8 2 e2 e6 3 e5 e7 4 Contoh 3 • G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3,3)} = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} Himp. Ganda • Pada G3 : e8 = (3,3) dinamakan gelang atau kalang (loop) Graf semu

  7. Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada atau tidaknya gelang : • Graf sederhana (simple graph) • Graf tidak mengandung gelang maupun sisi ganda • Sisi adalah pasangan tak terurut (unordered pairs) • Graf tak-sederhana (unsimple graph) • Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang Ada 2 macam graf tak-sederhana : • Graf ganda (multigraph) • Graf yang mengandung sisi ganda, sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah • Graf semu (pseudograph) • Graf yang mengandung gelang (loop), sisi graf semu terhubung ke dirinya sendiri

  8. Jenis-jenis Graf (Cont.) Berdasarkan orientasi arah pada sisi : • Graf tak-berarah (undirected graph) • Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah • Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan • Graf berarah (directed graph atau digraph) • Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah • Biasanya disebut dengan busur (arc) Busur (u,v) : • Simpul u = simpul asal (initial vertex) • Simpul v = simpul terminal (terminal vertex)

  9. Jenis-jenis Graf (Cont.)

  10. Kardinalitas Graf • Kardinalitas graf adalah : • Jumlah simpul pada graf • Dinyatakan dengan : n = |V| • Jumlah sisi dinyatakan dengan : m = |E|

  11. Terminologi (Istilah) Dasar • Adjacent (bertetangga) • Incident (bersisian) • Isolated vertex (simpul terpencil) • Null graph atau empty graph (graf kosong) • Degree (derajat) • Path (lintasan) • Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) • Connected (terhubung) • Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf • Spanning subgraph (upagraf merentang) • Cut – set • Weigted graph (graf berbobot)

  12. 1 2 3 4 Adjacent (bertetangga) • Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. • Contoh : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4

  13. 1 2 3 4 Incident (bersisian) • Untuk sembarang sisi e = (u,v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v • Contoh : sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4 tetapi sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4

  14. 1 5 3 4 2 Isolated vertex (simpul terpencil) • Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. • Dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya • Contoh : Simpul 5 adalah simpul terpencil

  15. 1 5 4 2 3 Null graph atau empty graph (graf kosong) • Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong • Ditulis sebagai : Nn , n = jumlah simpul • Contoh : graf di atas adalah graf kosong N5

  16. 1 2 3 4 Degree (derajat) • Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut • Notasi : d(v)  menyatakan derajat simpul v • Contoh : d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 • Sisi terpencil adalah simpul dengan d(v) = 0 karena tidak satupun sisi yang bersisian dengan simpul tersebut • Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua • Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul v maka derajat simpul v adalah : d(v) = 2g + e

  17. Degree (derajat) • Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting (pendant vertex) • Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan din(v) dan dout(v), dalam hal ini : din(v) = derajat masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul v dout(v) = derajat keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v Dan d(v) = din(v) + dout(v)

  18. b a c d Contoh • Derajat setiap simpul : din(a) = 2 ; dout(a) = 1 din(b) = 2 ; dout(b) = 3 din(c) = 1 ; dout(c) = 2 din(d) = 2 ; dout(d) = 1 • Pada graf berarah G = (V,E) selalu berlaku hubungan : • Sehingga :

  19. Path (lintasan) • Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal vo ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk vo, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (vo, v1), e2 = (v1, v2), …, en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G • Lintasan sederhana (simple path) : • Jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya sekali) • Lintasan tertutup (closed path) : • Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama • Lintasan terbuka (opened path) : • Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama • Panjang lintasan : • Jumlah sisi dalam lintasan tersebut

  20. 1 2 3 4 Contoh • Lintasan 1,2,4,3 adalah lintasan sederhana dan terbuka • Lintasan 1,2,4,3,1 adalah lintasan sederhana dan tertutup • Lintasan 1,2,4,3,2 bukan lintasan sederhana tetapi lintasan terbuka • Lintasan 1,2,4,3 memiliki panjang lintasan = 3

  21. Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) • Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus • Sirkuit sederhana (simple circuit) : • jika setiap sisi yang dilalui berbeda • Contoh : • Lintasan 1,2,3,1  sirkuit sederhana • Lintasan 1,2,4,3,2,1  bukan sirkuit sederhana karena sisi (1,2) dilalui 2 kali

  22. Connected (terhubung) • Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v) • Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya) • Graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang simpul sembarang vi dan vj di G terhubung kuat

  23. 1 1 5 5 2 2 4 4 3 3 Contoh • Graf di samping merupakan graf terhubung kuat karena untuk sembarang sepasang simpul di dalam graf terdapat lintasan • Graf di samping merupakan graf terhubung lemah karena tidak semua pasangan simpul mempunyai lintasan dari dua arah

  24. 2 2 1 3 1 3 1 3 6 6 5 4 5 5 4 Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf • Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1 V dan E1 E • Komplemen dari upagraf G1 terhadap G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya Upagraf dari G1 Graf G1 Komplemen dari upagraf yang bersesuaian

  25. b a c f d e Contoh • Tentukan komponen terhubung dari G = (V,E) dimana V = {a,b,c,d,e,f} dan E = {(a,d),(c,d)} Penyelesaian : simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c, ini berarti a juga terhubung dengan c. Simpul b,e dan f merupakan simpul terpencil. Sehingga ada : • G1 = (V1, E1) dengan V1 = {a,c,d} dan E1 = {(a,d),(c,d)} • G2 = (V2, E2) dengan V2 = {b} dan E2 = { } • G3 = (V3, E3) dengan V3 = {e} dan E3 = { } • G4 = (V4, E4) dengan V4 = {f} dan E4 = { } Dan • V1  V2 V3  V4 = V • E1  E2 E3  E4 = E • G1  V2 V3  V4 = 

  26. 1 1 1 2 3 2 3 2 3 4 5 4 5 Spanning subgraph (upagraf merentang) • Upagraf G1 = (V1, E1) dan G = (V,E) dikatakan upagraf merentang jika = V1 = V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G) Bukan upagraf merentang dari G Graf G Upagraf merentang dari G

  27. Cut – set • Cut set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung • Cut set selalu menghasilkan 2 buah komponen terhubung • Nama lain : jembatan (bridge) adalah • himpunan sisi apabila dibuang dari graf menyebabkan graf tersebut tidak terhubung (menjadi 2 buah komponen terhubung)

  28. 2 2 2 1 1 1 5 5 5 6 6 6 3 4 3 3 4 4 Contoh Himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} adalah cut-set • Sisi (1,2) dibuang, graf tetap terhubung • Jika sisi (1,2) dan (1,5) dibuang, graf tetap terhubung • Jika sisi dari himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} dibuang, graf tidak terhubung  cut-set • Cut-set terjadi pada himpunan : • {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} • {(1,2),(2,5)} • {(1,3),(1,5),(1,2)} • {(2,6)}

  29. a e b d c 10 12 8 11 15 9 14 Weigted graph (graf berbobot) • Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot) • Bobot pada tiap sisi berbeda-beda tergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf • Bobot dapat menyatakan : • Jarak antara 2 kota • Biaya perjalanan antara 2 kota • Waktu tempuh pesan (message) dari sebuah simpul komunikasi ke simpul komunikasi lain • Ongkos produksi • dll • Istilah lain : graf berlabel

  30. Graf Sederhana Khusus • Complete graph (Graf lengkap) • Graf lingkaran • Regular graph (Graf teratur) • Bipartite graph (Graf bipartit)

  31. Complete Graph (Graf Lengkap) • Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. • Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn • Setiap simpul pada Kn berderajat n-1 • Jumlah sisi : Graf lengkap Kn , 1  n  6 K1 K5 K2 K4 K3 K6

  32. Graf Lingkaran • Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat 2 • Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan : Cn • Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2, …, vn, maka sisi-sisinya adalah : (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn) dan (vn, v1) • Ada sisi simpul dari simpul terakhir, vn, ke simpul pertama, v1 Graf lingkaran Cn , 3  n  6

  33. Regular graph (Graf teratur) • Adalah : graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama • Jika derajat setiap simpul adalah r maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r • Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah : Derajat 0 Derajat 1 Derajat 2

  34. Contoh (1) • Grafteratur berderajat 3 dengan 4 buah simpul • Graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul • Graf teratur berderajat 3 dengan 8 buah simpul (ii) n = 6, r = 3 (iii) n = 8, r = 3 (i) n = 4, r = 3

  35. Contoh (2) Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang  3 ? Penyelesaian : • Tiap simpul berderajat sama berarti graf teratur • e = 12, r  3 • Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2  n = 2e/r = 2 * 12/r = 24/r • Sehingga : • r = 3  n = 24/3 = 8  maksimum • r = 4  n = 24/4 = 6  minimum • r = 6  n = 24/6 = 4  tidak mungkin membentuk graf sederhana • r = 8  n = 24/8 = 3  tidak mungkin membentuk graf sederhana • r = 12  n = 24/12 = 2  tidak mungkin membentuk graf sederhana • r = 24  n = 24/24 = 1  tidak mungkin membentuk graf sederhana • Jadi jumlah simpul paling sedikit (minimum) = 6 buah dan paling banyak (maksimum) = 8 buah

  36. V2 V1 Bipartite graph (Graf bipartit) • Adalah graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi 2 himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian hingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 • Dinyatakan sebagai G(V1, V2) • Graf bipartit lengkap (complete bipartite graph) adalah : • Jika setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2 • Dilambangkan dengan Km,n • Jumlah sisi : mn Graf bipartit G(V1, V2)

  37. a b g c f d e Contoh (1) • V1 = {a,b,d} dan V2 = {c,e,f,g} • Setiap sisi menghubungkan simpul di V1 ke simpul V2 • Sehingga bentuk graf bipartit C6 adalah :

  38. Contoh (2) • Graf bipartit lengkap K2,3 , K3,3 dan K2,4 adalah : K3,3 K2,4 K2,3

  39. Representasi Graf • Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) • Incidency matrix (matriks bersisian) • Adjacency list (senarai ketetanggaan)

  40. Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) • Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x n • Jika A = [aij] maka aij = 1  simpul i dan j bertetanggaan • Jika aij = 0  simpul i dan j tidak bertetanggaan • Matriks ketetanggaan berisi 0 dan 1  matriks nol-satu (zero-one) • Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak berarah selalu simetri • Matriks ketetanggaan untuk graf berarah belum tentu simetri (akan simetri jika berupa graf berarah lengkap) • Matriks ketetanggaan tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda (graf ganda) • Untuk matriks semu, gelang pada simpul vi dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i,i) di matriks ketetanggaan

  41. 1 1 2 3 3 2 4 4 1 e4 e1 1 e3 e2 5 e8 2 e6 3 e5 3 4 e7 4 2 Contoh

  42. Adjacency matrix • Jumlah elemen matriks ketetanggaan untuk graf dengan n simpul adalah : n2 • Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah : p n2 • Matriks ketetanggaan untuk graf tak-berarah sederhana simetri membutuhkan ruang memori : p n2 / 2 • Derajat tiap simpul i dapat dihitung • Untuk graf tak-berarah : • Untuk graf berarah :

  43. 1 2 3 4 1 5 1 3 4 2 3 2 4 Contoh • Derajat matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 1 + 1 = 3 • Derajat matriks simpul 4 adalah : 0 + 1 + 1 + 0 = 2 • Derajat matriks simpul 4 adalah : 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1 • Derajat matriks simpul 5 adalah : 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 • Derajat masuk matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 0 + 1 = 2 • Derajat keluar matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 1 + 1 = 3

  44. Incidency matrix (matriks bersisian) • Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x m • Baris menunjukkan label simpul • Kolom menunjukkan label sisinya • Jika A = [aij] maka aij = 1  simpul i bersisian dengan sisi j • Jika aij = 0  simpul i tidak bersisian dengan sisi j • Digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang (loop) • Derajat setiap simpul i adalah : jumlah seluruh elemen pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang) • Jumlah elemen matriks bersisian : nm • Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan adalah : pnm

  45. e1 2 1 e2 e4 e3 3 e5 4 e6 Contoh Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = 24

  46. 1 1 2 3 3 2 4 4 1 5 3 4 2 Adjacency list (senarai ketetanggaan) • Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf Senarai ketetanggaan : 1 : 2,3 2 : 1,3,4 3 : 1,2,4 4 : 2,3 Senarai ketetanggaan : 1 : 2,3 2 : 1,3 3 : 1,2,4 4 : 3 5 : - Senarai ketetanggaan : 1 : 2 2 : 1,3,4 3 : 1 4 : 2,3

  47. d c 3 v w 4 b a 1 2 y x Isomorphic Graph (graf isomorfik) • Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian hingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2 G3 G2 G1 • G1 isomorfik dengan G2. Simpul 1,2,3 dan 4 di G1 berkoresponden dengan simpul a,b,c dan d di G2 . Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4) dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (a,c) dan (b,d). Semua simpul di G1 dan G2 berderajat 3 • G1 dan G2 tidak isomorfik dengan G3 karena simpul-simpul di G3 2 buah berderajat 2 dan 2 buah berderajat 3, sedangkan G1 dan G2 berderajat 3

  48. z a w v e b c x y d Contoh • Simpul a,b,c,d dan e di G1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v dan z di G2 • Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3 dan 1 G1 G2

  49. z a w v e b c x y d Isomorphic Graph (graf isomorfik) • Dua buah graf isomorfik harus memenuhi syarat : • Mempunyai jumlah simpul yang sama • Mempunyai jumlah sisi yang sama • Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu • Untuk memeriksa graf isomorfik, digunakan bantuan matriks ketetanggaan (adjacency matrix) G1 G2

  50. Graf Planar • Graf planar adalah : • Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan) K4 adalah graf planar K5 bukan graf planar

More Related