第 3 章統計的推定（その 2 ）

第3章統計的推定（その2） 統計学　2006年度＜修正・補足版＞

Ⅰ　標本分布 a)　母集団と標本 1)　標本調査の利点 2)　標本調査における誤差 b)　標本平均の標本分布 c)　標本分散の標本分布 Ⅱ　点推定 • 点推定 • 統計量の特性 • 不偏性 • その他の統計量特性 Ⅲ　区間推定 a)　母平均の区間推定 • 中心極限定理 • 信頼区間 • 母分散が既知の場合の区間推定 • 母分散が未知の場合の区間推定 b)　母比率の区間推定 • 標本比率の標本分布 • 母比率の区間推定 c)　標本数の決定 • 母平均の区間推定における標本数の決定 • 母比率の区間推定における標本数の決定（その１）（その２）

Ⅲ 区間推定 • 点推定で母数θをピタリと推定することは難しい。そのため、標本統計量tの近くの区間を設定し、その区間内に母数θが含まれることを推定する。これを区間推定という。 • 　　　の標本分布について、　　　が成り立っていた。また、母集団の個体数（N）が十分大きいとき、　　　が成り立つ a) 母平均の区間推定 1）中心極限定理

　　次に、標本平均　　　の分布がどのような形になるのか考えてみよう。　　次に、標本平均　　　の分布がどのような形になるのか考えてみよう。 ⅰ）　母集団の分布が正規分布の場合　　　母集団が平均μ、分散σ2の正規分布にしたがっているとする。　　　標本平均　　は　　　であり、正規分布にしたがう変数の和(をnという定数で割ったもの)となっている。　　　したがって、正規分布の再生性†より、　　は正規分布にしたがう。 †　確率変数XとYがそれぞれN(μx,σ2x), N(μy,σ2y) にしたがうとき、その１次結合α X+βY はN(αμx＋βμy,α2σ2x＋β2σ2y）にしたがう。これを正規分布の再生性という。

ⅱ）　母集団の分布が正規分布ではない場合 　　母集団の分布が正規分布でない場合でも、標本の個体数 n が大きいとき、次のような定理によって標本平均　　の分布は正規分布となる。＜中心極限定理＞　算術平均μ, 分散σ2をもつ母集団からとられた大きさ n の標本の平均　　の分布は、母集団の分布がどのようなものであっても、 n が大きくなるとき、正規分布 N(μ, )に近づく。　 ※　以上ⅰ),ⅱ) より、nが大きい時には母集団の分布にかかわらず、標本平均　　の分布は正規分布となり、標準化された変数の分布は、標準正規分布 N(0, 1) に近づく。

2）信頼区間 　　標準正規分布にしたがう変数が、-1.96と1.96の間の値をとる確率は95%である。よって、　　　　　　はnが大きいときには、中心極限定理により標準正規分布にしたがうので、　　となる。この式のカッコ内を変形すると　　となり、標本平均　　は　　　　　　　　の区間内に95%の確率で含まれる。

標準化 　　　　の分布　　　　　　　　　　　　　　　　　　zの分布また　　　　　　　　　　　　　　　　　　のカッコ内は次のようにも変形できる。 μ -1.96 0 1.96

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は次のようなことを意味している。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は次のようなことを意味している。 μ × × ×

　　　　を中心に、　　　　　　　　という区間を考えると、とりうる標本のうち95%がこの区間内に母平均μを含む。　　　　を中心に、　　　　　　　　という区間を考えると、とりうる標本のうち95%がこの区間内に母平均μを含む。 • このように母数が含まれると考えられる区間を信頼区間といい、その区間に母数が入ると信頼できる程度を信頼係数という。 • この場合、　　　　　　　　　　　　　はμの信頼係数95%の信頼区間である。

3)　母分散が既知の場合の区間推定 （例）　20歳男性の身長を調べるために、100人を標本として選んだところ、標本平均　　=170であった。σ=8であるとき、母平均μの95%信頼区間を求めよ。（解） μの95%信頼区間は　　　　となる。

4）母分散が未知の場合の区間推定 信頼区間を求める場合、　　　　　　　が標準正規分布にしたがうという性質を用いる。しかし、母平均の推定をおこなう場合に、母分散σ2が分かっているということは、あまり多くない。母分散σ2がわからないとき、代わりに標本分散s2を用いる。このとき、　　　　　　　　が自由度n-1のｔ分布にしたがう。

※t分布は標準正規分布を上からつぶしたような、左右対称の形をしている。自由度が小さいほどつぶれ具合が大きく、自由度が大きいほど標準正規分布に近くなっている。※t分布は標準正規分布を上からつぶしたような、左右対称の形をしている。自由度が小さいほどつぶれ具合が大きく、自由度が大きいほど標準正規分布に近くなっている。 ※　標本分散s2の代わりに標本不偏分散　　を用いれば、　　　　　　が自由度n-1のｔ分布にしたがう。

＜自由度について＞ 　　自由度とは、自由に値を取ることのできる個体数のことである。　　この場合は、t統計量の自由度は標本分散 s2の分子に含まれる xiのうち、自由に値を取ることのできる個数である。　　なので、x1, …, xn-1は自由に値をとることができるが、xnは　　を満たすように決められ、自由度はn-1となる。

母集団の分散が分からないとき、母平均μの95%信頼区間は、ｔ分布の95%点をt0.95とあらわすと、母集団の分散が分からないとき、母平均μの95%信頼区間は、ｔ分布の95%点をt0.95とあらわすと、　となる。 t0.95はt分布表からその値を求める。 ※　より正確には、母集団の分布が正規分布にしたがうとき、　　　　　　　　が自由度n-1のt分布にしたがう。　　しかし、母集団の分布が正規分布にしたがわない場合でも、標本の大きさがある程度大きければ、　　　　　　　　は近似的に自由度n-1のt分布にしたがうとみなせる。　　また、nが十分大きい場合、t分布は正規分布に近づくので、　　　　　が正規分布にしたがうと考えることもある。

（例）　20歳女性の身長を調べるために、10人を標本として選んだところ、標本平均　　=160であった。s=9であるとき、母平均μの95%信頼区間を求めよ。（例）　20歳女性の身長を調べるために、10人を標本として選んだところ、標本平均　　=160であった。s=9であるとき、母平均μの95%信頼区間を求めよ。（解）　自由度10-1=9のt分布のt0.95=2.262なので、 μの95%信頼区間は　　となる。

　まず、標本比率　　の標本分布を考えよう。　　内閣支持率を例にとると、標本比率　　とは、標本n人のうちのx人が「内閣を支持する」と答えた割合であり、　　　　である。 b) 母比率の区間推定 1）標本比率の標本分布　よって　　の標本分布を考えるためには、まずxの標本分布を考えればよい。

標本として選ばれた人の答えは、それぞれ「内閣を支持する」か「内閣を支持しない」かのいずれである。標本として選ばれた人の答えは、それぞれ「内閣を支持する」か「内閣を支持しない」かのいずれである。　　また選ばれた人が「内閣を支持する」人である確率は、母比率pに等しい。　　よって、n人の標本を選ぶことは、AかBかという2つの結果しか起こらない試行をn回繰り返すこととみなすことができ、「内閣を支持する」人の人数ｘは2項分布にしたがう。 • 2項分布の期待値は E(x) = np、分散は V(x) = npq であるので、これを用いて、　　の平均、分散を考えてみると、となる。

また、「内閣を支持する」人を1、「内閣を支持しない」人を0と表すことを考える。n人の標本の中に「内閣を支持する」人はをx人含まれるので、このようにあらわした場合、　　　　は大きさnの標本の平均とみなすことができ、中心極限定理が適用できる。　よって、　　の分布は、平均p、分散　　の正規分布にしたがう。標準化された変数　　　　　　　は標準正規分布にしたがう。　

2）母比率の区間推定 　　　　　　　　が標準正規分布にしたがうことから、母比率pの 95%信頼区間は　　　　　　　　　　　　　　となる。（例）　World Baseball Classic 決勝日本－キューバ戦の視聴率は43.4% であった。この数値は関東地区の約1600万世帯から600世帯をサンプルとして選んだ結果である。このデータから、関東地区全世帯の視聴率の95%信頼区間を求めよう。（解） pの代わりに　　を用いてpの95%信頼区間を計算するととなる。

c) 標本数の決定 WBC決勝戦の視聴率を信頼係数95%で区間推定すると、8%もの幅ができる。そのため、1%ぐらいの差で、勝った負けたを考えるのはナンセンスである。　　では、視聴率調査の精度を高めるには、推定量の一致性から標本数を増やすことが考えられる。しかし、標本数を増やすことはコストの増加を意味している。よって、目標となる精度(どの程度のズレまで許容できるか)を設定し、それに必要な標本数を計算する必要がある。

1)　母平均の推定における標本数の決定 　　　　　　　　　の許容限度を E とする。　　　　　の区間推定を信頼係数 95% でおこなうとき、　　の分布について、　　が成り立つので、　　となればよい。よって

　　となり、 　　が必要標本数であることが分かる。　　これを求めるために、母標準偏差σが必要となるが、標本数を決定するということは、データ収集をおこなう前のことであり通常はわからない。そのため、過去の経験などからσ2の推定値を求め、それを利用する。（例）　ある大都市の大学生の1ヶ月平均生活費を1000円以内の誤差で推定するという問題を考える。ただし、母集団の標準偏差は8000円であったと見当がつけられているとする。（解）信頼係数を95%とすると、必要標本数は　　となるので、246人となる。

2)　母比率の推定における標本数の決定 　　　　　　　　　の許容限度を E とする。 pの区間推定を信頼係数 95% でおこなうとき、　　の分布について、　　が成り立つので、　　となればよい。よって

　　となり、 　　が必要標本数であることが分かる。　　これを求めるために、母比率pが必要となる。Pについて何らかの見当がつくなら、その数値を用いるが、pについて何の情報もない場合には　　を用いる。なぜなら、　　　　　のときに、pqが最大となるからである。（例）　視聴率調査において、1%以内の誤差で推定するために必要な標本数を求めよ。（解）信頼係数を95%とする。また、母比率についてはあらゆる可能性が考えられるので、　　　　とすると、必要標本数は　　となるので、9604人となる。

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