NUMERE NATURALE

1. NUMERE NATURALE Lecţii pentru claşa a V-a Prof. FLORESCU NICOLAE

2. LECŢIA nr. 3 (2 ore) APROXIMAREA NUMERELOR NATURALE. PROBLEME DE ESTIMARE. La sfârşitul lecţiei, elevul va fi capabil: • 1.3 să folosească aproximări ale numerelor naturale pentru a estima sau a verifica validitatea unor calcule • 3.1 să identifice informaţiile esenţiale dintr-un enunţ matematic prezentat în diferite forme • 4.1 să-şi formeze obişnuinţa de a exprima printr-un enunţ matematic anumite problemepractice

3. Tipuri de exerciţii: 1.3. - Exerciţii de aproximare prin lipsă sau prin adaos a numerelor naturale - Identificarea pe baza estimării a rezultatelor unor calcule dintr-o lista de răspunsuri 2.2. - Deducerea unor consecinţe ce decurg dintr-un set de ipoteze sau dintr-o estimare 2.3. - Estimarea rezultatului unui calcul prin rotunjirea convenabilă a factorilor sau a termenilor

4. 1.Aproximaţi prin : a)lipsă până la zeci ; b)adaos până la zeci ; c)lipsă până la sute ; d)adaos până la sute , numărul natural 4362. • Rezolvare: • - cel mai mare număr natural format numai din zeci , mai mic ca 4362 este 4360 şadar spunem că 4360 este aproximarea prin lipsă până la zeci a nr. natural 4362. • - sau: pentru a obţine obţine aproximarea prin lipsă până la zeci, din nr. dat scădem numărul reprezentat de cifra unităţilor sale: 4362 – 2 = 4360. • b) - cel mai mic număr natural format numai din zeci , mai mare decât 4362 este 4370 aşadar 4370 este aproximarea prin adaos până la zeci a numărului natural 4362. • - sau: pentru a obţine aproximarea prin adaos până la zeci, din nr. dat scădem numărul reprezentat de cifra unităţilor sale: 4362 – 2 = 4360, iar acum mărim cu 1 cifra zecilor acestui număr şi => raspunsul este 4370. • Obs.1. : putem scrie : 4360<4362<4370.

5. c)- cel mai mare număr natural format numai din sute , mai mic ca 4362 este 4300; aşadar spunem că 4300 este aproximarea prin lipsă până la sute a nr. natural 4362. - sau: pentru a obţine aproximarea prin lipsă până la sute, din nr. dat scădem numărul format de cifra zecilor şi cifra unităţilor sale: 4362 – 62 = 4300. d)- cel mai mic număr natural format numai din sute , mai mare decât 4362 este 4400; deci, 4400 este aproximarea prin adaos până la sute a numărului natural 4362. - sau: pentru a obţine aproximarea prin adaos până la sute, din nr. dat scădem numărul format de cifra zecilor şi cifra unităţilor sale : 4362 – 62 = 4300, iar acum mărim cu 1 cifra sutelor acestui număr şi => raspunsul este 4400. Obs.2 : putem scrie: 4300<4362<4400 Obs.3 : • aproximarea prin lipsă (4360) este mai aproape de 4362 decât aproximarea adaos (4370) ; spunem ca 4360 este rotunjireapână la zeci a numărului natural 4362. • aproximarea prin adaos (4400) este mai aproape de 4362 decât aproximarea prin lipsă (4300) ; spunem ca 4400 este rotunjireapână la sute a numărului natural 4362.

6. 2.Rotunjiţi până la mii urmatoarele numere naturale: 6781; 1239 ; 45532; 100707;3456500. Rezolvare: Incadrăm fiecare număr între aproximările sale prin lipsă şi adaos până la mii: 6000<6781<7000 ; 1000<1239<2000; 45000<45532<46000 ; 100000<100707<101000; 3456000<3456500<3457000 Rotunjim astfel: 6781 7000 ; 1239 1000 ; 45532 46000 şi 100707 101000 deoarece aceste aproximări sunt cele mai apropiate de numărul respectiv iar 3456500 3457000 deorece 3456500 este egal depărtat de 3456000 şi 3457000 şi prin definitie (adică aşa e stabilită regula) în acest caz se alege aproximarea prin adaos.

7. 3. Completaţi tabelul:

8. Rezolvare:

9. 4.Completaţi spaţiile punctate după modelul de la observaţiile 1 şi 2 făcute la exerciţiul 1 cu aproximările numărului natural 53477 până la : a)zeci: … <53477< … ;b)sute : … <53477< … ; c)mii : … <53477< … . Rezolvare: a) deoarece 53470 este aproximarea prin lipsă iar 53480 este aproximarea prin adaos până la zeci a numărului 53477 vom scrie : 53470<53477<53480; b) deoarece 53400 este aproximarea prin lipsă iar 53500 este aproximarea prin adaos până la sute a numărului 53477 vom scrie : 53400<53477<53500; c)deoarece 53000 este aproximarea prin lipsă iar 54000 este aproximarea prin adaos până la mii a numărului 53477 vom scrie : 53000<53477<54000. • Obs: Dacă numărul dat era 53000, atunci aveam: 53000≤53000<54000.

10. 5.Estimaţi rezultatele calculelor de mai jos prin rotunjirea convenabilă a termenilor şi apoi verificaţi estimarea facută prin efectuare: a)549+875 ; lista de rezultate: 994; 1424 ; 874 ; 1104; 1644. Rezolvare: Foloşim rotunjirile până la sute şi obţinem: 549+875 500+900=1400. Alegem din listă numărul cel mai apropiatde 1400, adică 1424 şi efectuând obţinem la fel: 549+875=1424. Obs.: după cum vom observa din exerciţiile următoare nu întotdeauna este uşor să alegem din lista de rezultate unul care să fie „aproape” de rezultatul efectiv facând doar o şingură rotunjire. Depinde de lista de rezultate precum şi de rotunjirile celor doi ( sau mai multi) termeni.Atunci când toţitermenii se aproximeaza prin lipsă sau toţi se aproximeaza prin adaos consecinţele constau într-o mai mare „îndepărtare” de rezultatul efectiv.

11. b)4347+2781 ; lista de rezultate: 5838 ; 6148 ; 4898 ; 7128 ; 7288. Rezolvare: Foloşim mai întâi rotunjirile până la mii (cu acestea calculele sunt cele mai uşoare) : 4347+2781  4000+3000=7000. Această estimare „elimină” de pe listă primele trei rezultate . Pentru o estimare mai „aproape” de rezultatul efectiv vom face rotunjiri până la sute: 4347+2781  4300+2800=7100. Alegem din lista de rezultate numărul cel mai apropiat de 7100, adică 7128 şi … surpriză: efectuând obţinem: 4347+2781=7128.

12. c)12539+8617 ; lista de rezultate: 22065 ; 21156 ; 21846 ; 21056 Rezolvare: Efectuăm folosind rotunjirile până la mii: 12539+8617  13000+9000=22000. Dupa această estimare privind lista de rezultate putem opta pentru 22065 sau 21846 care sunt cele mai apropiate de estimarea de mai sus. Efectuăm folosind rotunjirile până la sute : 12539+8617  12500+8600=21100. „Surprinzator” aceasta noua estimare ne „îndepărtează” de cele două rezultate şi le aduce în atenţie pe celelalte două:21156 şi 21056. Efectuam folosind rotunjirile până la zeci : 12539+8617  12540+8620=21160. Dupa aceasta noua estimare alegem 21156 şi într-adevăr, efectuând obţinem: 12539+8617=21156.

13. 6. Estimaţi rezultatele calculelor de mai jos prin rotunjirea convenabilă a factorilor şi apoi verificaţi estimarea facută prin efectuare: a)9427 lista de rezultate: 3248 ; 2538 ; 1978 ; 2917. Rezolvare: Foloşim rotunjirile până la zeci şi estimăm rezultatul: 9427  9030=2700. Conform acestei estimări eliminăm din listă rezultatele 3248 şi 1978, iar pentru a alege între celelalte două adaugăm un element suplimentar: ultima cifră a rezultatului va fi ultima cifra a produsului 47 , adică ultima cifra a lui 28 , adică 8; deci alegem 2538. Efectuam şi într-adevăr obţinem: 9427 =2538.

14. b)184276 lista de rezultate: 50784 ; 59524 ; 56720 ; 54660. Rezolvare: Foloşim rotunjirile până la sute şi estimăm rezultatul: 184276 200300=60000. Tinand cont de această estimare rezultatul din listă cel mai apropiat este 59524. De notat însă că rotunjirea ambilor factori s-a facut prin adaos ceea ce poate „îndepărta” conşiderabil de rezultatul efectiv. Foloşim rotunjirile până la zeci şi estimăm rezultatul : 184276180280=50400 Aceasta noua estimare mai „senşibilă” indică faptul că 59520 nu poate fi rezultatul corect.Tinând cont de ea alegem din listă 50784. Efectuăm: 184276 =50784.

15. 7. Fiecare „duzină” de cutii de chibrituri conţine 10 cutii. Câte „duzini” trebuie cumpărate pentru a avea: a)44 cutii ; b)156 cutii ; c)7 cutii ; d)2350 cutii ? Rezolvare: a)Deoarece o duzină conţine un număr fix de cutii,(10) şi am aproxima 44 prin lipsă (4440), estimând rezultatul la 4 duzini ar fi o estimare care conduce spre un raspuns greşit (4 duzini conţin 40 cutii iar noi dorim să avem 44) de aceea aproximam 44 prin adaos, iar raspunsul corect este: avem nevoie de 5 duzini pentru a avea 44 cutii de chibrituri. Asemănător avem: b)16 ( 156160 – rotunjire prin adaos , 16x10=160) ; c)1 ; d)235 (235x10=2350; 2350 este un număr format numai din zeci deci nu neceşită rotunjire).

16. 8. Câte bancnote de a) 10 lei; b) 100 lei; c) 1000 lei sunt necesare pentru a plăti suma de 27543 lei? Ce reprezintă suma plătita numai în bancnotele menţionate pentru suma care era de plată? Ce rest se va primi de fiecare dată? Rezolvare: a) Aflăm numărul de zeci din care este compusă suma de 27543 lei. => 27543 : 10 = 2754 rest 3 => 2754 de bancnote de 10 lei. Pentru a plăti şi cei 3 lei ramaşi rest vom mai adauga o bancnotă de 10 lei. => In total sunt necesare 2754 + 1 = 2755 bancnote. Astfel, suma plătită numai cu bancnote de 10 lei va fi de 275510 = 27550 lei şi reprezintă aproximarea la zeci prin adaos a numărului 27543. In acest caz va trebui să primim un rest de: 27550 – 27543 = 7 lei.

17. b) Aflăm numărul de sute din care este compusă suma de 27543 lei. => 27543 : 100 = 275 rest 43 => 275 de bancnote de 100 lei. Pentru a plăti şi cei 43 lei rămaşi rest vom mai adăuga o bancnotă de 100 lei. => In total sunt necesare 275 + 1 = 276 bancnote. Astfel, suma plătită numai cu bancnote de 100 lei va fi de 276100 = 27600 lei şi reprezintă aproximarea la sute prin adaos a numărului 27543. In acest caz va trebui să primim un rest de: 27600 – 27543 = 57 lei. c) Aflăm numărul de mii din care este compusă suma de 27543 lei. => 27543 : 1000 = 27 rest 543 => 27 de bancnote de 1000 lei. Pentru a plati şi cei 543 lei ramaşi rest vom mai adăuga o bancnota de 1000 lei. => In total sunt necesare 27 + 1 = 28 bancnote. Astfel, suma plătită numai cu bancnote de 1000 lei va fi de 281000 = 28000 lei şi reprezintă aproximarea la mii prin adaos a numărului 27543. In acest caz va trebui să primim un rest de: 28000 – 27543 = 457 lei.

18. B C 20 30 40 55 60 71 80 98 9.Priviţi figura de mai jos şi notaţi: • Cu Q punctul cel mai apropiat de C; • Cu Y punctul cel mai apropiat de B; • Cu Z punctul corespunzător numărului 71; • Cu X punctul corespunzător numărului 98. Rezolvare:

19. APROXIMAREA NUMERELOR NATURALE. PROBLEME DE ESTIMARE. • Acum vreau să vă văd şi pe voi rezolvând asemănător astfel de exerciţii. • Dacă nu aţi reţinut suficient de bine modul de lucru, puteţi reveni asupra acestei prezentări pentru a o studia mai cu atenţie.