Quo vadis matematikaoktatás – avagy – egy számtantanár skrupulusai

1. Quo vadis matematikaoktatás • –avagy – • egy számtantanár skrupulusai

4. Néhány felvételi feladat az elmúlt évekből: 2004 5. Az ABCD trapéz AB oldalának hossza 12, a CD és az AD oldal hossza is egész szám. Az AD szár merőleges az AB oldalra, és az AD szár F felezőpontjából a BC szár derékszögben látszik. Határozza meg a CD oldal hosszának legkisebb lehetséges értékét, ha CD< AB! 2003 8. Adott egy számtani sorozat. A sorozathoz található olyan p és q valós szám, hogy minden 1-nél nagyobb n természetes szám esetén a) Határozza meg p és q étékét, ha a sorozat egy nem állandó számtani sorozat !

5. 2002 6. Mely egész számokból álló (x; y) számpárok elégítik ki az alábbi egyenletet? 2001 8. Egy háromszög oldalai: a, b, c. Igazolja, hogy a c oldalhoz tartozó szögfelező hossza:

6. 1987 8. Igazolja, hogy a háromszög beírható és valamelyik mellé írható köre középpontjait összekötő szakaszt a háromszög köré írható köre felezi!

7. F az OK szakasz felezőpontja

8. 2005 emelt szint 6. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett függvényt, ahol p tetszőleges valós szám. a) Mutassa meg, hogy zérushelye a függvénynek ! b) Milyen p értékek esetén lesz a függvény másik zérushelye 1-nél nagyobb ? 7. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

9. 2005 (őszi) emelt szint 1. Egy háromszög két csúcsa A(8; 2), B(-1; 5), a C csúcs illeszkedik az y tengelyre. A három-szög köré írt kör egyenlete: a) Adja meg a háromszög oldalfelező-merőlegesei metszéspontjának a koordinátáit! b) Adja meg a háromszög súlypontjának a koordinátáit!

10. 4.)a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben az b) Adja meg az f függvény értékkészletét! c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az egyenletnek a [0; 7] intervallumon?

11. Emelt szintű matematika érettségi 2006. május 9.

12. A PQRS négyszög csúcsai: P(3; -1), Q(1; 3), R(-6; 2) és S(-5; -5). Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! a) A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. b) A PQRS négyszög húrnégyszög. c)A PQRS négyszögnek nincs szimmetria- centruma.

13. P(3; -1), Q(1; 3), R(-6; 2), S(-5; -5)

14. a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a [-3; 4] intervallumon az hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! b) Legyen az f, g és h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzá-rendelési szabályuk: , ,

15. Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. Például Készítse el – a fenti példának megfelelően – az f, g és h függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket!

16. Emelt szintű matematika érettségi 2007. május

17. a) Ábrázolja a [0; 6] intervallumon értelmezett alábbi f függvényt b) Adja meg az f függvény P(5; -4) pontjában húzott érintőjének egyenletét!

18. a) Határozza meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát: b) Ábrázolja a [-5; 8] intervallumon az függvényt!

19. Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-t, a harmadikhoz 3-t adunk, akkor egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Adjuk meg e számtani sorozat első három tagját!

20. Az ABC derékszögű háromszög BC befogója 18 cm, CA befogója 6 cm. a) Mekkorák a háromszög szögei? b) A BC befogó egy P pontjára PA = PB. Milyen hosszú a PB szakasz? c) A háromszög síkjára C-ben állított merő-leges egy D pontjára CD = 15 cm. Mekkora az ABCD tetraéder térfogata?

22. Emelt szintű matematika érettségi 2007. október

23. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: b) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

25. 1. feladat Az ábrán egy színpad világítását látjuk. A 6 m magas díszletelem közepén van egy 2 m magas ablak. A díszletelem mögött, vele azonos magasságban he-lyeztek el egy R reflektort, mely az ablakon keresztül világítja meg a színpadot. Mi-lyen távol legyen a reflektor a díszlettől, hogy a színpadot pontosan 4 m mélységben vilá-gítsa meg?

27. 2. feladat Egy görögkeleti templom bejárata fölött látható az alábbi boltív. KétR=120 cm sugarú félkör úgy helyezkedik el, hogy mindkettő illeszkedik a másik középpontjára. Mekkora az egyik félkört kívülről, a másikat belülről, valamint a félkörök átmérő-egyenesét érintő (sárga) körök sugara?

30. 3. feladat András és Béla örököltek egy téglalap alakú telket, melyet átlója mentén két egyenlő részre osztottak. Mindketten építettek telkükre egy-egy négyzet alapú házat; András telkének sarkába, Béla pedig az átfogóra illeszt- ve. Melyikük házának nagyobb az alapterü-lete?

33. 4. feladat Egy óbudai kiskocsmában a teríték melletti négyzet alakú szalvétát úgy hajtották össze, hogy annak A csúcsa a BC oldal F felezőpontjába került. Igazoljuk, hogy a keletkező EQ szakasz hossza egyenlő az FCE háromszög beírható körének a sugarával!

37. 5. feladat Egy régi könyvben olvastuk: „Lészen egy háromszeglemény, melliknek is beltzirkulátziójának tzentrálisán s nehézkedési tzentrálisán általvisitáló léniája paralell vala egyvalamely gyepüléniával. Igazoltassék, hogy emez triangulum gyepüléniáinak mértékit az Úr az ő nagy bötsességében az számtani haladvány szerint valónak alkotá!”