Conjunts de nombres.

1. Conjunts de nombres. Siga A un conjunt de nombres així definit: A = { a, b, c, d, e, ……… } Cada n  A és un nombre. “ n ” és el signe que anomena aquest nombre. [ n ] és la significació d’aquest nombre. P.E.: “III” [ - - - ] “3” [ / / / ] “tres” [  ] “trois” [ *** ] “three” [ *** ] El que vol concretar l’exemple és que el signe es diferent segons el sistema lingüístic que utilitzem; però la significació és sempre la mateixa independentment del sistema lingüístic.

2. Operacions internes. • Aquestos signes es relacionen entre ells mitjançant una sintaxi (regles de construcció d’expressions) i una semàntica (significació de les expressions) determinades. • Entre aquestes relacions la que trobem amb més freqüència és la de “OPERACIÓ INTERNA”. • Definirem operació interna com segueix: • Siguen * i & símbols que signifiquen relacions: • a,c  A ; a * c = r és una operació interna sii r  A.

3. Propietats de les operacions internes. • PROPIETAT COMMUTATIVA: • a,b  A ; a * b = b * a • PROPIETAT ASSOCIATIVA: • a,b,c  A;( a * b ) * c = a * ( b * c ) • PROPIETAT DISTRIBUTIVA: • a,b,c  A; • a & ( b * c ) = ( a & b ) * ( a & c ) • ELEMENT NEUTRE: • a  A i e  A; a * e = a • ELEMENT SIMÈTRIC: • a  A i s  A; a * s = e

4. El concepte de prova. • En general entendrem com a prova, una successió de fórmules i, on a partir d’una formula inicial  arribem a una fórmula final  mitjançant la transformació de cadascuna d’elles en la immediatament posterior, fent ús de les regles de la lògica i la matemàtica. • En general una prova la podem definir així: •  = 1 = 2 = …… = i = …… = 

5. El concepte de prova. • Posarem ara un exemple: • Provarem que: a 0 = 1

6. Mètode de la inducció. • Té a veure amb el concepte de prova i és una forma específica de fer demostracions: • “El mètode d’inducció completa, o raonament per recurrència, s’utilitza per demostrar propietats que acompleixen els nombres naturals. Com no és possible comprovar que un certa propietat, P, l’acompleixen tots i cadascun dels nombres naturals i, com que en matemàtiques no està permès comprovar uns determinats casos i generalitzar el resultat a partir d’ells s’utilitza el mètode d’inducció que consisteix en: • Comprovar que el primer element del conjunt acompleix la propietat. • Demostrar que si un element genèric, n, acompleix la propietat, l’element següent també l’acompleix.”

7. Mètode de la inducció. • Demostrar per inducció sobre n que : • 1 + 3 + 5 + 7 + ……… + (2 n - 1 ) = n2 • El primer element acompleix la propietat: • Per a n = 1 llavors, • 2n-1 = 1 = 12 • Si un element qualsevol n = k acompleix la propietat, • 1 + 3 + 5 + ……… + (2k-1) = k2 • Cal demostrar que k+1 també l’acompleix, hem de demostrar doncs que: • 1 + 3 + 5 +………+ (2k-1) + [2 (k+1)-1] = (k+1)2 • Si substituïm 1 + 3 + 5 +………+ (2k-1) en l’expressió anterior pel seu valor establert en la condició, és a dir per k2, tindrem: • k2 + [2 (k+1)-1] = (k+1)2 • Aplicant la propietat distributiva a 2 (k+1) en l’expressió anterior obtindrem: • k2 + 2k + 2 - 1 = (k+1)2 • Finalment operant en l’expressió anterior acabarem la demostració: • k2 + 2k + 1 = (k+1)2

8. NOMBRES NATURALS. • La idea de nombre és el principal concepte matemàtic i el més antic • Des de la primera noció de número de l’home primitiu, fins arribar al seu desenvolupament actual, tot passant per la genial invenció dels sistemes de numeració, han passat molts segles amb gran quantitat de treballs….. • Per les investigacions d’antropòlegs i etnòlegs, és fàcil de suposar que ja en l’època prehistòrica, l’home manifestava el seu interés pel nombre i que, fins i tot en alguns casos, va arribar a desenvolupar un sistema de numeració propi i va arribar a l’abstracció del nombre deslligada del símbol i del dels objectes.

9. NOMBRES NATURALS. • El concepte de nombre natural que tan comú resulta en l’actualitat, es va construir molt lentament. Des de la percepció de la quantitat, on solament es diferenciaven quantitats globals com “molts”, “pocs”,…… es passa a comparacions com “més que”, “menys que”……i fonamentalment “tants com” que comporta la relació d’equivalència i amb ella a “tenir el mateix nombre d’elements”. • “Comptar els elements d’un conjunt consisteix en establir una correspondència biunívoca entre un conjunt de “models” ordenats i un conjunt inicial fins que s’exhaurisca. L’últim model aparellat és el que correspon al nom de la classe al que pertany el conjunt inicial…… • El nombre no depèn de les característiques dels elements que formen el conjunt; és una característica del propi conjunt, és allò que permet que un conjunt puga posar-se en correspondència biunívoca amb un conjunts i no amb uns altres. El numeral (“n”) és solament el símbol que s’utilitza per representar el nombre ([n]).

10. El sistema de numeració decimal. • “El sistema de numeració que actualment s’utilitza, pràcticament a tot el món, és sistema de numeració decimal, es caracteritza per ser un sistema posicional de base deu i amb el zero.” • Les característiques del sistema són: • La base del sistema és la deu. • El valor de cada xifra depén de la seua forma i del lloc que ocupa en el conjunt de xifres que constitueix el nombre: unitats, desenes, centenes… • Cada unitat equival a deu unitats d’ordre immediatament inferior o a la dècima part d’ordre immediatament anterior. • El zero significa la manca d’unitats en l’ordre que ocupa. • Cada nombre és la suma de potencies de 10 en funció de les unitats de cada ordre.

11. El conjunt de nombres naturals, N. • Malgrat que la forma de representar els nombres ha canviat molt al llarg de la història, la idea de nombre és única. A aquestos nombres que sorgeixen de la ment de l’home com a resposta a la necessitat d’expressar una certa quantitat, rep el nom de nombres naturals i el conjunt format per aquestos nombres rep el nom de nombres naturals i se’l representa per la lletra N……. • Utilitzant el sistema de numeració indoaràbig i la notació conjuntista: • N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,………, n. n+1, n+2,………} • A partir del segle XIX, els nombres naturals constitueixen el fonament de totes les matemàtiques clàssiques, ja que és en aquest segle quan a partir del nombres naturals s’aconsegueix obtenir el nombres racionals i els irracionals……

12. Divisibilitat. • DEFINICIÓ DE MÚLTIPLE: • a,b  N , a és múltiple de b sii c  N tal que a = b * c • I es representa així. •  • a = b • PROPIETATS • Tot nombre natural és múltiple de si mateix •  • a  N, a = a * 1, doncs a = a • Tot nombre natural és múltiple de 1 •  • a  N, a = 1* a, doncs a = 1 • Zero és múltiple de qualsevol nombre natural. •  • a  N, 0 = a* 0, doncs 0 = a

13. Divisibilitat • El conjunt de tots els múltiples d’un nombre natural a, rep el nom de conjunt de múltiples de a, i es representa així: • M (a) • M (a) = { a*0, a*1, a*2, a*3, ………, a*n,……} • així p.e. •  • (2) = { 2*0, 2*1, 2*2, 2*3, ……., 2*n, ……}, és dir: •  • (2) = { 0, 2, 4, 6, ……., 2n, ……} • OBSERVACIÓ: El conjunt de múltiples d’un nombre natural és infinit.

14. Divisibilitat • a,b  N , b és divisor de a sii c  N tal que a = b * c, és a dir: • a : b = c i aquesta divisió és exacta. • PROPIETATS • Tot nombre natural és divisor de si mateix • a  N, a : a = 1, i a : a és exacta • El nombre natural 1 és divisor de qualsevol número natural • a  N, a: 1 = a, i a : 1 és exacta

15. Divisibilitat • El conjunt de tots els divisors d’un nombre natural a, rep el nom de conjunt de divisors de a, i es representa així: • D(a) • D (a) = { 1, … ……, a} • així p.e. • D (5) = { 1, 5 } • D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } • OBSERVACIÓ: El conjunt de divisors d’un nombre naturals és finit i els seus elements són inferiors o i gual a aquest nombre.

16. Divisibilitat • Múltiples comuns • a,b,c  N c és múltiple de a i b, sii d,n  N tals que: • a*d = c i b*n = c • Divisors comuns • a,b,c  N c és divisor de a i b, sii d,n  N tals que: • a:c = d , b:c = n i a:c , b:c són exactes. • Nombres primers • p  N p és un nombre primer sii: • D(p) = { 1, p } • Nombres compostos • c  N c és un nombre compost sii: c no és un nombre primer.

17. NOMBRES ENTERS. • Malgrat les dificultats de reconeixement amb les que s’han trobat els nombres negatius al llarg de la seua història, avui en dia no hi ha ja ningú, que dubte de la seua existència com a model matemàtic, i menys encara de la seua necessitat per interpretar i representar nombroses situacions quotidianes…… • …… Als segles I i II A. de C. a Xina s’utilitzaven els nombres negatius…… a Europa no arribaren a ser coneguts fins l’Alta Edat Mitjana, procedents de la matemàtica índia i a través dels textos àrabs. • En principi els nombres negatius solament a pareixen en els passos intermedis d’una successió d’operacions…… • …… El rebuig de les matemàtiques europees dels segles XVII i XVIII cap els nombres negatius s’explica, fonamentalment, a la manca d’interpretació geomètrica d’aquestos nombres……

18. NOMBRES ENTERS. • Malgrat que els nombres van ésser usats prou lliurement a partir de 1.650, encara que el seu concepte i els seus fonaments lògics no estaven clars, els matemàtics continuaven inventant justificacions o protestant pel seu ús durant tot el segle XVII i XIX. • La seua construcció formal a partir dels nombres naturals va ser feta per Weierstrass a la meitat del segle XIX…… • …… Hi ha situacions en les que, per la seua representació, no són prou els nombres naturals. Son situacions que poden observar-se en dos sentits (guanyar - perdre, pujar - baixar, abans de - després de…). En aquestos casos no és prou expressar mitjançant un nombre el succés; és necessari, a més, dir el sentit d’aquest succés.

19. El conjunt de nombres enters, Z. • Per expressar el sentit d’un nombre s’utilitzen els signes + i -, col·locant-los a l’esquerra del nombre natural • Aquestos nombres amb signe reben el nom de nombres enters • Al conjunt dels nombres enters se’l representa per Z, i s’expressa: • Z = { …… (-4), (-3), (-2), (-1), 0, (+1), (+2), (+3), (+4),……} • Al conjunt de nombres enters positius se’l representa per i al dels enters negatius per . Així: • Z = Z+ {0}  Z-

20. Ordenació en Z. • Els nombres enters estan ordenats. • Tot nombre positiu es major que zero. • El zero és major que qualsevol nombre negatiu. • Si un nombre és positiu és major quan major siga el seu símbol numèric. • Si un nombre és negatiu és major quan menor siga el seu símbol numèric.

21. NOMBRES RACIONALS. • L’ampliació del camp numèric té els seus inicis en les necessitats de mesurar. És evident que el nombre natural no és suficient per expressar la mida d’una quantitat de magnitud, ja que no sempre la quantitat conté un nombre exacte d’unitats; per això es fa necessari utilitzar altres quantitats més menudes, però que estan relacionades de la mateixa manera amb la unitat principal. • Sorgeix la idea de fracció a partir de la divisió en parts iguals. La unitat es “fracciona” i això permet obtenir uns resultats de mides més precises i més fiables…… • …… Per representar-les s’ha utilitzat la fracció

22. La fracció. • Una fracció consta d’un parell de nombres considerats en un cert ordre. El segon anomenat denominador indica el nombre de parts iguals en les que s’ha dividit la unitat i, el primer, anomenat numerador, indica el nombre de parts (d’aquesta divisió) que es prenen en consideració. • Si representem el numerador per la lletra “a” i el denominador per la lletra “b”, la seua representació més freqüent és

23. La fracció. • Algunes consideracions elementals: • Si a = b, llavors la fracció és igual a 1. • Si b = 1, considerem la unitat sense dividir-la, llavors la fracció és igual a • En una fracció, b s’ha d’ acomplir que b  0.

24. UNA FRACCIÓ ÉS UNA PART DE LA UNITAT • Ens trobem en que per quantificar hem d’utilitzar fraccions, ja que si més no, com a mínim en el primer cas no podríem donar una quantificació exacta.

25. LA FRACCIÓ ÉS UN REPARTIMENT • Problema: “Reparteix exactament 4 xocolatines entre 7 xiquets. Quantifica primer la part que li correspon a cada xiquet.” • Òbviament la primera cosa que ens ve al cap és la de repartir les 4 unitats entre la quantitat de xiquets, llavors: • 4 : 7 = 0,5714……… • Sembla clar que amb aquesta resposta no solucionem el problema, ja que hem de repartir les maleïdes xocolatines exactament i la quantificació que hem fet per repartir-les no és exacta. • Mirarem, doncs, de fer una quantifiació exacta utilitzant una altra classe de nombres: • Resposta: donarem a cada xiquet la següent quantitat de xocolatina:

26. LA FRACCIÓ ÉS UNA DIVISIÓ: • El numerador és el dividend. • El denominador és el divisor. • El quocient serà: • Un nombre natural. • Un nombre decimal limitat. • Un nombre decimal il·limitat

27. LA FRACCIÓ ÉS UNA DIVISIÓ: • Valor numèric d’una fracció: • Entendrem com a tal valor numèric, el quocient que resulta d’interpretar una fracció com una divisió. • La fracció com operador: • Un operador, és una aplicació definida per una operació. És adir, una aplicació en la qual, per trobar la imatge d’un element, és necessari realitzar una operació amb l’element inicial. • La noció de fracció com operador es defineix com segueix:

28. Fraccions equivalents: • Dues fraccions són equivalents si representen la mateixa quantitat (encara que els seus termes - numerador i denominador - siguen diferents). • Criteri general d’equivalència: • Dues fraccions i són equivalents si, en multiplicar en creu els seus termes, donen el mateix resultat, es a dir si:

29. Amplificació i simplificació de trencats • Podem amplificar trencats, multiplicant el numerador i el denominador pel mateix nombre. Llavors el valor absolut del numerador i del denominador de la fracció resultant serà múltiple del que tenien. • Podem simplificar trencats, dividint el numerador i el denominador pel mateix nombre. Llavors el valor absolut del numerador i del denominador de la fracció original serà múltiple del que hem construït

30. Els nombres decimals. • Les fraccions poden tenir una interpretació entera o decimal com segueix: • Si apliquem una fracció, com un operador sobre el número 1, tindrem, el resultat d’aquesta divisió serà: • Un nombre enter si la divisió és exacta entera. • Un nombre decimal limitat si la divisió és exacta decimal. • Un nombre decimal il·limitat si la divisió és inexacta.

31. Els nombres decimals. • CONCLUSIÓ: Podem interpretar determinades fraccions amb dos models numèrics diferents: • Amb fraccions. • Amb nombres decimals.

32. Els nombres decimals. • NOCIÓ 1: FRACCIÓ DECIMAL. • Entendrem per fracció decimal aquelles fraccions que poden representar-se amb denominador igual a una potència de 10. • Les fraccions decimals també es distribueixen d’una manera densa sobre la recta, per que entre dos nombres racionals qualssevol hi ha sempre infinites fraccions decimals, això fa que les fraccions decimals siguen suficients (no calen totes les fraccions) per aproximar mesures • NOCIÓ 2: NOMBRES DECIMALS LIMITATS. • Un nombre decimal limitat és el que darrere de la coma té un nombre finit de xifres. • Per multiplicar un nombre decimal limitat per una potència de 10, es mou la coma cap a la dreta tants llocs com indica l’exponent de la potència de 10. • El zeros situats a la dreta d’un decimal limitat es poden eliminar sense que el nombre canviï.

33. NOMBRES DECIMALS LIMITATS • Ordenació: Per comparar dos nombres decimals limitats es comparen primer les seves parts enteres (situades a l’esquerra de la coma). El nombre més gran és el que té major part entera. Si tots dos tenen la mateixa part entera, llavors es comparen les parts decimals començant per la que està situada a la dreta de la coma. • Densitat sobre la recta: Donats dos nombres racionals, encara que siguin molt propers entre si, sempre és possible trobar “infinits” nombres decimals limitats situats entre ells. Per aquesta raó els nombres decimals limitats es poden fer servir per aproximar mesures; no cal fer servir tots els nombres racionals.

34. NOMBRES DECIMALS LIMITATS. • Sumar, restar i multiplicar: Gràcies al nostre sistema decimal, els algorismes per sumar, restar i multiplicar se simplifiquen extraordinàriament, per què es redueixen als coneguts algorismes de sumar, restar i multiplicar nombres enters.. • A més a més, quan els nombres estan escrits en forma de decimals limitats podem fer servir la calculadora. • Dividir: El resultat de dividir dos nombres decimals limitats no té per que ser sempre un altre nombre racional limitat

35. ELS NOMBRES DECIMALS PERIÒDICS • DECIMALS PERIÒDICS PURS: Son els nombres decimals periòdics il·limitats on el període comença en la primera xifra a la dreta de la coma: • p.e.; 0,111…… 25,757575…… • DECIMALS PERIÒDICS MIXTOS: Son els nombres decimals periòdics il·limitats on el període no comença en la primera xifra a la dreta de la coma: • p.e.; 0,2111…… 25,82757575… • DECIMALS DE PERÍODE ZERO: Fins i tot les fraccions decimals poden considerar-se com a nombres decimals de període zero. • p.e. 2,5000…… = 2,5

36. NOMBRE RACIONAL És una fracció decimal? Decimal Il·limitat Decimal limitat Periòdic de peride zero Periòdic pur Periòdic Mixt

37. El conjunt de nombres racionals Q • Imaginem el conjunt de totes les fraccions possibles. • Imaginem ara que som capaços de establir en aquest conjunt una relació d’equivalència tal que cada subconjunt resultant agrupa en ell, totes les fraccions equivalents. • Cada subconjunt resultant ens donaria una classe d’equivalència. • En cada classe d’equivalència existeix una fracció irreductible o representant canònic d’aquest classe d’equivalència. • Entendrem per nombre racional cadascuna d’aquestes classes d’equivalència on totes les fraccions de cada classe són equivalents entre si. • Normalment representem cada classe d’equivalència pel seu representant canònic.

38. El conjunt de nombres racionals Q • El conjunt de totes les classes d’equivalència de les que estem parlant constitueix el conjunt dels nombres racionals que representem per Q. • p.e.:

39. Ordenació en Q • Dos nombres racionals són iguals sii les dues fraccions que els representen són equivalents. • Un nombre racional és positiu si els seus dos termes tenen el mateix signe. • Un nombre racional és negatiu si els seus dos termes tenen el signe contrari. • Totes les fraccions amb numerador igual a zero són equivalents i constitueixen el nombre racional

40. Proporcionalitat. • LA FRACCIÓ COM A RAÓ DE PROPORCIONALITAT • S’anomena raó al quocient de dos nombres. • Una raó se representa igual que una fracció • El numerador (dividend) rep el nom d’antecedent de la raó i el denominador (divisor) rep el nom de conseqüent de la raó.

41. Proporcionalitat. • La proporcionalitat es dona tant pel que fa a l’ampliació com a la simplificació: • Si és una raó, llavors, és la seua raó inversa.

42. PROPORCIÓ • Definirem proporció en base al concepte de raó • és una proporció sii i són dues raons iguals • a,d reben el nom d’extrems de la proporció i b,c reben el mitjans de la proporció. • Exactament igual que passava en la relació d’equivalència, • En tota proporció el producte dels mitjans és igual al producte dels extrems.

43. PROPIETATS DE LES PROPORCIONS • Si en una proporció es permuten els mitjans o els extrems, s’obté una nova proporció • En efecte • Si dues raons formen una proporció, les seues raons inverses formen una altra proporció • En efecte

44. PROPIETATS DE LES PROPORCIONS • Si es té una proporció, la suma dels dos termes d’una raó dividida entre un d’ells forma proporció amb la suma dels dos termes de l’altra raó dividida pel terme corresponent de la segona raó: • Si se tenen dos o més raons d’una proporcionalitat, iguals, la suma dels antecedents dividida entre la suma dels conseqüents és igual a qualsevol de les raons:

45. MAGNITUDS PROPORCIONALS • Si la raó entre les dues quantitats de la primera magnitud és igual a la raó directa entre les quantitats corresponents a la segona magnitud, es diu que són directament proporcionals. • P.E: és una proporció ja que: • 6 : 9 = 0,6666…… i 18 : 27 = 0,6666……

46. MAGNITUDS PROPORCIONALS • Si la raó entre les dues quantitats de la primera magnitud és igual a la raó inversa entre les quantitats corresponents a la segona magnitud, es diu que són inversament proporcionals. • P.E: és una proporció ja que; • 4 : 5 = 0,8 i 16 : 20 = 0,8

47. NOMBRES REALS • Sembla que el conjunt Q de nombres racionals ens serveixen per fer nombroses quantificacions que la resta de conjunt de nombres no ens permetien fer-les, amb aquestos nombres podem solucionar una part important de problemes que se’ns poden presentar. • No obstant si aprofundim més en determinats problemes numèrics ens trobarem en que en determinats casos no tenim prou amb tots els nombres que fins ara coneixem (Naturals (N), Enters (Z) i Racionals (Q)). Un problema típic en aquest sentit és per exemple el següent: “Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets iguals a 1 metre”.

48. NOMBRES REALS • Sembla ser que varen ser els grecs al voltant del segle V a. C. els descobridors de l’existència d’uns nombres que no eren racionals, és a dir nombres que no poden ser expressats com a nombres enters o coma raons de nombres enters. El descobriment de que algunes raons, com per exemple la raó de la hipotenusa d’un triangle rectangle isòsceles a un dels seus costats, no podia ser expressada mitjançant nombres enters els va fer sentir-se inquiets i amoïnats, ja que per ells les nombres enters eren la “mesura” de totes les coses. A les raons que no podien expressar amb nombres enters les anomenaven incommensurables i, diu una llegenda que se li atribueix el descobriment d’aquestes raons, a Hipaso de Metaponto, i els pitagòrics el varen llançar a la mar per descobrir un element de l’univers que entrava en contradicció la creença de que tots els fenòmens de l’univers poden reduir-se a nombres enters o a les seues raons.

49. NOMBRES REALS • A l’Edat Mitjana a aquesta classe de nombres se’ls assigna el nom de nombres irracionals i una representació equivalent a l’actual símbol . • Aquestos nombres s’utilitzaven en el càlcul des del segle XVI. “La teoria de Cantor-Heine, plenament acceptada al segle XX, introdueix una nova classe de nombres, els nombres reals, que contenen els nombres racionals i els irracionals. La construcció dels nombres reals se efectua sobre la base dels nombres racionals partint d’una successió de números racionals que satisfà un conjunt de propietats.

50. NOMBRES REALS • Pel teorema de Pitàgores: per tant Anem a demostrar que no és un nombre racional