D-teoria Uusi kvanttimekaniikan tulkinta perustuen kvantittuneeseen avaruuteen ja aikaan &

D-teoria Uusi kvanttimekaniikan tulkinta perustuen kvantittuneeseen avaruuteen ja aikaan & gravitaation ja kvanttimekaniikan yhdistäminen. versio 1.01 1.4.2002 versio 1.11 11.2.2004 versio 1.21 8.11.2005 versio 1.02 21.4.2002 versio 1.12 16.4.2004 versio 1.22 8.4.2006 versio 1.03 31.5.2002 versio 1.13 23.5.2004 versio 1.23 12.5.2006 versio 1.04 12.7.2002 versio 1.14 04.6.2004 versio 1.24 4.12.2006versio 1.05 31.7.2002 versio 1.15 09.9.2004 versio 1.25 8.5.2007 versio 1.06 31.10.2002 versio 1.16 26.11.2004 versio 1.26 19.11.2007 versio 1.07 1.3.2003 versio 1.17 10.3.2005 versio 1.27 25.1.2008 versio 1.08 26.5.2003 versio 1.18 28.5.2005 versio 1.28 17.5.2008versio 1.09 10.10.2003 versio 1.19 03.6.2005 versio 1.29 25.6.2008versio 1.10 18.01.2004 versio 1.20 19.7.2005 versio 1.30 29.11.2008versio 2.01 5.09.2009 versio 2.02 8.12.2009 versio 2.03 20.2.2010versio 2.04 20.4.2010 versio 2.05 8.11.2010 versio 2.06 26.3.2011versio 2.07 11.11.2011 versio 2.08 4.5.2012 versio 2.09 20.12.2012versio 2.10 6.4.2013 versio 2.11 3.1.2014 versio 2.12 14.4.2014 email: virtanen.pekka1@luukku.com Pekka Virtanen

Johdanto Luonnontieteiden ehkä merkittävin yksittäinen saavutus on atomin keksiminen. Ainetta ei voida jakaa osiinsa loputtomiin. Atomin idea viittaa siihen, että maailmassa on yksi erikoisasemassa oleva mittakaava eli atomin mittakaava. Fyysikot uskovat, että kaikki luonnonilmiöt syntyvät yhden mittakaavan tasolta eli kvantti-ilmiöiden mittakaavasta. Mittakaava liittyy avaruuteen. Mitä on tyhjä tila eli avaruus? Millaisia ovat tyhjän avaruuden rakenne ja ominaisuudet? Onko olemassa pienin jakamaton pituus ja ovatko avaruuden suunnat kvantittuneet pienimmässä mittakaavassa? Erikoisasemassa olevan mittakaavan olemassaolo viittaa kvantittuneeseen eli solurakenteiseen avaruuteen. Silloin avaruus voidaan kuvata taustasta riipumattomilla yksikkövektoreilla, jotka virittävät kyseiset solut. Tällainen avaruus on absoluuttinen mutta ei sama kuin Newtonin absoluuttinen avaruus. Tyhjää avaruutta ei ole mahdollista havaita suoraan, mutta sen rakennetta on mahdollista tutkia teoreettisesti. Kun avaruus kuvataan solurakenteisena, monet arkijärjen vastaiset kvantti-ilmiöt voidaan ymmärtää uudella tavalla. Havaintoavaruuden syntymiseen solurakenteisesta avaruudesta tarvitaan karkeistettuja havaintoja. Klassinen havaintoavaruus syntyy geometrisesti absoluuttisen avaruuden emergenttinä ominaisuutena. On kaksi erilaista kuvaa yhdestä avaruudesta, karkeistettu ja karkeistamaton, lineaarinen ja epälineaarinen. D-teoriaa voidaan pitää kvanttimekaniikan uutena tulkintana, joka perustuu avaruuden rakenteen määrittelevään hypoteesiin. Solurakenteisen avaruuden malli mm. ratkaisee kvanttimekaniikan mittausongelman ja tuottaa Lorentzin muunnosyhtälöt, joihin Suhteellisuusteoria puolestaan perustuu. Kun matematiikka soveltuu hyvin luonnonilmiöiden kuvaamiseen ja on abstrakti osa tätä maailmaa, on kattavan fysikaalisen teorian kuvattava myös matematiikan perusteet kuten esim. lukujoukkojen syntyminen. Avaruus on myös matemaattinen käsite ja absoluuttinen avaruus yhdistää fysikaalisen maailman ja siinä syntyvän matematiikan toisiinsa. Kvanttimekaniikkaa on yritetty tulkita yli 80 vuotta eikä tyydyttävää tulkintaa ole löytynyt. Havaitsijan tietoisuus on näyttänyt olevan osa mittausprosessia. Solurakenteisen avaruuden malli antaa uuden näkökulman tietoisuuden merkitykseen kvanttimekaniikassa. Myös toinen tulkintaan liittyvä asia, ei-lokaalisuus, tulee ymmärrettäväksi avaruusmallin ja Bellin epäyhtälön rikkoutumisen avulla ja on samalla vahva näyttö mallin oikeellisuudesta. Kolmas tulkintaan liittyvä asia on hiukkasen aaltofunktio, joka on kvanttimekaniikassa matemaattinen abstraktio. Sillä on D-teoriassa yhteys kompleksiseen absoluuttiseen avaruuteen, joka ei rakenteensa (Manhattan-metriikka) vuoksi ole havaitsijalle havaittava eikä yksikäsitteinen. Silloin havaitsemattoman vapaan hiukkasen paikkakaan ei ole yksikäsitteinen ja hiukkanen näyttää aallolta. Mittaus muuttaa asian antamalla hiukkaselle paikan lineaarisessa yksikäsitteisessä havaintoavaruudessa eli romahduttamalla hiukkasen aaltofunktion samanaikaisesti kaikkialla. Kvanttifysiikan Standardimallissa symmetria-avaruuksien rotaatiot ovat keskeisiä asioita, samoin ns. mittaperiaate. Rotaatiot ja mittaperiaate liittyvät suoraan kvantittuneiden avaruuden ja ajan ominaisuuksiin. Kun avaruus käsittää myös kvantittuneen kompleksiavaruuden, makroskooppisen sauvan rotaatiot solurakenteisessa avaruudessa ovat mitansäilyttäviä. Lopulta jää jäljelle vaatimaton kysymys "Mitä kaikki on?". Voidaan osoittaa, että kysymykseen ei ole mahdollista saada vastausta. Yksi abstraktio jää malliin aina jäljelle. Mutta vain yksi.

D-teoria - Solurakenteisen avaruuden malli Osa  : Avaruus ja aika Teorian hypoteesi: Suuressa mittakaavassa fysikaalinen tila-avaruus on taustasta riippumaton neliulotteisen hyperoktaedrin kolmiulotteinen, solurakenteinen pinta. Se on euklidiseen havainto-avaruuteen verrattuna neliöllinen ja absoluuttinen. Suljetun pinnan sisä- ja ulkopuolella on määrätylle etäisyydelle pinnasta ulottuva solurakenteinen kompleksiavaruus. Avaruudessa pätee Manhattan-metriikka. ( Havaintoavaruus on absoluuttisen avaruuden emergentti ominaisuus. Se syntyy absoluutti-sesta avaruudesta karkeistettujen havaintojen kautta jokaiselle havaitsijalle liiketilasta riippuen erilaisena ja on neljällä ortonormeeratulla kantavektorilla viritetyn Riemannin hyperpallon kolmiulotteinen pinta.) Tiivistelmä: Määritellään absoluuttisen avaruudensolumainen rakenne. Kuvataan havaintoavaruuden syntyminen absoluuttisesta avaruudesta sen emergenttinä ominaisuutena. Avaruusmallin perusteella saadaan Lorentzin muunnosyhtälöt. Osoitetaan, että makroskooppisen sauvan rotaatiot ovat solurakenteisessa avaruudessa mitansäilyttäviä. Esitetään ratkaisu kvanttimekaniikan mittausongelmaan. Esitetään uusi tulkinta aaltofunktion romahtamiselle ja Bellin epäyhtälön rikkoutumiselle. Johdetaan avaruusmallista epätarkkuus-periaate ja hiukkasen aaltofunktion vaiheinvarianssi. Määritellään 3D-pinnan ulkopuolella sijaitsevan kompleksiavaruudenrakenne ja rotaatiot. Määritellään hiukkasen varaus ja spin ja symmetriaryhmät solurakenteisessa kompleksi-avaruudessa. Kuvataan hienorannevakion geometrinen luonne. Kvantitetaan aika ja hiukkasen liikemäärä. Kuvataan gravitaation merkitys havaintoavaruuden syntymisessä. Määritellään geometrisesti nelikantainen atomimalli, sen elektronien kaikki kvanttiluvut ja projektiot havainto-avaruudessa. Johdetaan geometrisesti tarkat arvot protonin halkaisijalle, Rydbergin vakiolle ja vetyatomin elektroniratojen säteille. Määritellään kvarkkien ja kolmen hiukkasperheen geometrinen rakenne. Johdetaan epäsymmetrisen aaltofunktion avulla massan, ajan ja pituuden paikallisuus absoluuttisessa avaruudessa. Osoitetaan, että sähkömagneettiset kentät ovat kvantittuneen kompleksiavaruuden ominaisuuksista syntyvä aaltomekaaninen ilmiö, joka tuottaa Maxwellin yhtälöt.

Uusi D-teoria 2.12 on ilmestynyt D-teoria esittää uuden tavan lähestyä kaikkia fysiikan ilmiöitä. Teoria perustuu geometriaan, algebraan ja logiikkaan. Yleinen suhteellisuusteoria perustuu geometriaan, mutta kvanttimekaniikasta geometrinen kuvaus on puuttunut. Abstraktiin algebraan perustuvan kvanttimekaniikan geometrisointi on välttämätöntä näiden kahden teorian yhdistämiseksi . Aluksi määritellään absoluuttisen avaruuden Manhattan-metriikkaaan perustuva geometria suuressa ja pienessä mittakaavassa. Absoluuttinen avaruus kuvataan solurakenteisena ja neliöllisenä havaintoavaruuteen verrattuna. Samalla osoitetaan, että havaitsijalle ei voi olla olemassa absoluuttista paikkaa eikä aikaa. Lorentzin muunnosyhtälöiden toteutuminen avaruusmallissa on vahva näyttö mallin pätevyydestä. Myös kokeissa havaittu Bellin epäyhtälön rikkoutuminen tukee avaruusmallia. Mallin mukaan taustasta riippumaton solurakenteinen avaruus on ainoa tarvittava substanssi. Silloin esim. aika ja alkeishiukkaset syntyvät pelkästään avaruudesta ja ovat avaruuden ominaisuuksia. Absoluuttinen avaruus ei kuitenkaan osoittaudu yksikäsitteiseksi, mikä selittää esim. ns. aaltofunktion romahtamisen mittauksen yhteydessä. D-teoria osoittaa matemaattisesti, että maailma on reduktionistinen. Kaikki makroskooppiset ilmiöt selittyvät kvanttitason ilmiöiden kautta. D-teoria selittää Universumin synnyn ulottuvuus kerrallaan ja laajenemistavan. Maailma ei syntynyt suoraan kolmiulotteiseksi. Kehityskertomuksesta on puuttunut ulottuvuuksien lukumäärän kehitys ja samalla avaruuden kehitys. Avaruuden laajeneminen saa D-teoriassa uuden mallin. Avaruusmallin avulla johdetaan mm. Rydbergin vakion tarkka arvo, elektronin ja protonin massat, protonin halkaisija ja vetyatomin halkaisija. Nelikantainen atomimalli tuottaa geometrisesti atomin elektronien kaikki kvanttiluvut sekä esim. Higgsin duplettikentän geometrisen kuvauksen. Matemaatikoiden määrittelemä euklidinen 4-kantainen tila-avaruus, jossa 3-ulotteiset kappaleet voivat ilmestyä kuin tyhjästä ja kadota taas, ei ole D-teorian avaruus eikä myöskään vastaa havaintoja. Nelikantainen avaruus voidaan määritellä lukuisilla eri tavoilla. Niistä Minkowskin aika-avaruus on vain yksi esimerkki. D-teorian avaruus vastaa paremmin havaintoja antaen samalla vastauksia moniin fysiikan avoimiin kysymyksiin. Solurakenteisen avaruuden riippumattomuus taustasta tarkoittaa, että avaruutta tarkastellaan vain sisältäpäin. Soluille, jotka muodostavat tilan eli avaruuden, ei määritellä eikä edellytetä mitään taustaa. Soluilla on paikka ja ominaisuudet vain toisiinsa nähden, ei taustan suhteen. Määrittelijät itse koostuvat samoista soluista ja määräytyvät täysin niiden ominaisuuksista. Määrittelijät kuuluvat siis itse samaan joukkoon määriteltävän kohteen kanssa. D-teoria on kaksiosainen; 1. Avaruus ja aika. 2. Gravitaatio ja sähkömagneettiset kentät.

Sisällys, osa l : D-teorian suhde Standardimalliin 6Matematiikan suuri merkitys fysiikassa 7D-teorian tausta 10Solurakenteinen absoluuttinen avaruus 11Kompleksiavaruus 15Etäisyyden laskeminen solumaisessa neliöllisessä avaruudessa 34Nopeuksien laskeminen neliöllisessä avaruudessa 36Ajan laskeminen neliöllisessä avaruudessa 37Dualismi 39Ilmiöluokat 40Pienin mittakaava 41Avaruuden isotrooppisuus ja neliöllisyys 44Schrödingerin yhtälö alkeishiukkasille 57 Neutraali gravitaatioaalto 58 Liikemäärän säilyminen Manhattan-metriikassa 60Interferenssin katoaminen 71Compton-aallonpituus 74Hiukkaset 76Liikemäärän kvantittaminen 80 Kvanttifysiikan ei-lokaalisuus ja kaukovaikutus 82Kaaos ja determinismi solurakenteisessa avaruudessa 86Rotaatiot ja mittaperiaate solurakenteisessa avaruudessa87Yksikäsitteinen avaruus ja "aaltofunktion romahtaminen“ 89 Havaintoavaruuden synty eli kappaleen lokalisoituminen 92Käänteisavaruus 94Epätarkkuusperiaate solurakenteisessa avaruudessa 96Protonin massan johtaminen 98Absoluuttinen kiertoliike silmukka-avaruudessa 100Epäsymmetrinen hiukkanen 104Aika ei ole substanssi 105Samanaikaisuusperiaate108Lorentzin muunnos silmukka-avaruudessa 109Seitsemän kappaleen tapaus 110Spin-rotaatiot 111Hila-avaruuden rotaatiot 113Varaussymmetria 116Elektroni hilakopissa 117Hiukkasperheet 124Virtuaalinen fotoni 125Elektronin projektio 3D-pinnalla 126Rydbergin vakion geometrinen johtaminen 129Vaikutuskvantti 130Hilajonot eli eetteri 132Fotonin rakene hilassa 133Hilan ominaisuudet 135Atomimalli 140Lähteet 146

D-teorian suhde Standardimalliin D-teorian ymmärtäminen ei vaadi kvanttimekaniikan Standardimallin syvällistä tuntemusta. Standardimallin yhtenä perustana on aaltofunktio ja sen vaiheen globaali ja lokaali invarianssi eli ns. mittaperiaate. Globaalin mittaperiaatteen mukaan järjestelmän aaltofunktion vaihe voi-daan muuttaa kaikissa avaruuden ja ajan pisteissä vain yhdellä kertaa ja samalla määrällä. Standardimalli ei esitä aaltofunktiolle fysikaalista merkitystä. D-teoria kertoo geometrisesti, mitä aaltofunktio ja sen kompleksinen vaihe ovat ja mistä mittaperiaate syntyy. Mittaperiaatteen kehittäjät pitivät mittaperiaatetta eli vaiheen globaalia invarianssia suhteellisuusperiaatteen vastaisena, mutta D-teoria osoittaa, että niin on vain näennäisesti. Mittaperiaatetta sovelletaan D-teoriassa sähkömagnetismin ja gravitaation kuvauksessa. Toinen Standardimallin perusta ovat symmetriaryhmien U(1), SU(2) ja SU(3) erilaiset rotaatiot eli kierrot. D-teoria osoittaa ryhmien U(1) ja SU(2) osalta näiden ryhmien merkityk-sen sähkömagneettisessa vuorovaikutuksessa sekä syyn siihen, miksi rotaatioryhmät ovat merkittäviä kvanttimekaniikassa. SU(2)-rotaatioryhmän ominaisuuksia sovelletaan spin-½-hiukkasten geometrisessa kuvauksessa yhdessä abstraktin isospin-avaruuden kanssa. Symmetriaryhmää SU(3) käytetään värivoiman kuvauksen yhteydessä. Standardimallin mukaan energia ja kentät ovat kvantittuneita. D-teorian mukaan myös avaruuden suunnat, pituudet sekä aika ja liikemäärä ovat kvantittuneet. Aika on Standardi-mallissa parametri eikä malli selitä ajan olemusta tai ominaisuuksia. D-teorian avaruusmalli kuvaa suhteellisen ajan olemuksen ja ominaisuudet kvantti-ilmiöiden tasolta. Standardimalli sisältää fysikaaliselle maailmalle monta eri substanssia. D-teorian mukaan substansseja tarvitaan vain yksi. Ainoa substanssi selittää periaatteessa kaikki fysikaaliset ilmiöt. Standardimalli sisältää käsitteet ”sattuma” ja ”todennäköisyys”, mutta D-teoria ei niitä tarvitse. Maailma näyttää D-teorian mukaan täysin deterministiseltä. Standardimalli ei esitä mitään testattua mallia gravitaatiolle ja siten kvanttimekaniikkaa ja gravitaatiota ei ole kyetty siinä yhdistämään. D-teoria esittää mallin gravitaation yhdistämiseksi kvanttimekaniikkaan. Malli kuvaa gravitaatiokentän syntymisen hiukkasmallin avulla ja kolmen perussuureen eli ajan, pituuden ja massan kvantitatiivisen käyttäytymisen siinä. Standardimalli ei auta tulkitsemaan kvanttimekaniikan mittausongelmaa, aaltofunktion romah-tamista mittauksessa tai vaikka hiukkasparin lomittumiseen liittyvää ei-lokaalisuutta. Fyysikot kiistelevät, onko maailma ei-lokaali tai epädeterministinen tai molempia. D-teoria esittää tulkinnan ja selityksen näille fyysikoita jo kauan askarruttaneille kysymyksille. Avaruuden ja ajan kvantisointi puuttuu Standardimallista, mutta on keskeinen asia D-teoriassa. Fysiikassa on aikaisemmin kvantisoitu energia, hiukkaset ja kentät. Seuraavaksi kvantisoidaan avaruus ja aika. Se on järjestyksessä kolmas kvantittaminen ja samalla uusi paradigma. Kun ajatellaan Standardimallista poiketen, että avaruus on solurakenteinen, törmätään monien mielestä ongelmaan. Avaruus näyttää olevan samanlainen kaikissa suunnissa eli avaruus on isotrooppinen. Kuinka avaruus silloin voisi olla solurakenteinen? Vastaus saadaan, kun määritellään avaruuden rakenne ja materia tietyllä tavalla. Määritellään siis solurakenteinen avaruus tavalla, joka saa sen näyttämään isotrooppiselta makroskooppisessa mittakaavassa. Tämä määrittely johtaa mm. kvantti-ilmiöiden käsittelyyn aivan uudella geometriaan perustuvalla tavalla. Samalla määrittely on teorian hypoteesi.

D-teorian tausta: Geometria Kvanttimekaniikka:- ei-lokaalisuus- epätarkkuusperiaate- tilastollisuus- tulkintaongelmat- abstrakti algebra Yleinen suhteellisuusteoria:Kun gravitaation olemassaolo riippuu koordinaatistosta, gravitaatio on avaruuden geometrian ominaisuus Laajennus:Kaikki, mitä on olemassa, syntyy vain avaruudesta ja sen ominaisuuksista eli avaruus on ainoa substanssi. D-teoria- lokaali Manhattan-metriikka- deterministinen- kvantittuneet avaruus ja aika - havaintoavaruus on vain kuva Pekka Virtanen Fysikaalinen todellisuus Paradigman vaihto:Modernin fysiikan mukaan absoluuttista avaruutta ei ole olemassa. D-teorian mukaan vain absoluuttinen avaruus kaikkine ominaispiirteineen on olemassa.

Matematiikan suuri merkitys fysiikassa Matematiikan avulla voidaan kuvata luonnon ilmiöitä hämmästyttävän tehokkaasti. Matematiikka näyttää olevan suorassa yhteydessä luonnon perimmäisiin ilmiöihin eikä syytä tunneta. Matematiikan perusteet, kuten lukujoukot, syntyvät maailman sisäisenä abstraktina ominaisuutena eikä niitä voi valita mielivaltaisesti. Niillä voi olettaa olevan yhteys maailmankaikkeuden sisäiseen rakenteeseen. Hypoteesi:Millainen fysikaalinen avaruus - sellainen algebra. Millainen fysikaalinen avaruus - sellainen geometria eli millainen fysikaalinen avaruus - sellainen matematiikka. Tämä tarkoittaa, että oma fysikaalinen avaruutemme on määrännyt millaiseksi matematiik-kamme ja logiikkamme voi kehittyä. Avaruus on keskeinen tekijä kaikissa fysiikan ilmiöissä ja avaruus on samalla matemaattinen käsite. Voidaankin ajatella, että abstrakti matemaattinen teoria kertoo fysikaalisen avaruuden luonteesta. Tarkastelemalla matematiikan peruskäsitteitä saadaan tietoa fysikaalisesta avaruudestamme. Yksi esimerkki tästä ovat imaginääriluvut. Ajatelkaamme outoa lukua i, joka ei ole tästä maa-ilmasta. Sillä ei ole suuruutta eikä se voi olla negatiivinen eikä positiivinen. Tämä luku kuiten-kin sijaitsee omalla lukusuorallaan, jolla on avaruudessa kuvitteellinen imaginäärinen suunta. Tämä lukusuora on kohtisuorassa reaalilukujen lukusuoraa vastaan. Imaginääriluku saadaan näkyväksi eli reaaliseksi lisäämällä siihen uusi kohtisuora suunta eli neliöimällä luku. Näin luku i voidaan ymmärtää luvuksi, jolla on avaruudessa oma suuntansa, jota emme voi koskaan havaita, mutta sen neliöllä on reaalinen arvo. Imaginääriluvut ilmestyivät matematiikkaan jo kauan sitten, mutta niitä alettiin ymmärtää vasta, kun syntyi kompleksitason eli kompleksiavaruuden käsite. Kolmikantainen reaalilukujen avaruutemme sai yhden kannan eli ulottuvuuden lisää. Imaginäärilukujen ilmestyminen matematiikkaamme kertoo, että avaruutemme on nelikantainen ja että meille ei ole teoriassa mahdollista havaita neljättä, imaginäärisen (kuvitteellisen) kantavektorin suuntaa avaruudessamme. Silti voimme käyttää kompleksilukuja neljännen kantavektorin suuntaisten ilmiöiden käsittelyyn. Imaginääriluvut muuttuvat reaalisiksi, kun ne neliöidään. Kirjoittamalla koordinaatistomuunnos X = x ² , Y = y ² , Z = z ² ja I = i ² siirrytään (x,y,z,i)-havaintoavaruudestamme neliölliseen 4-kantaiseen avaruuteen (X,Y,Z, I). Tällaista avaruutta kutsutaan absoluuttiseksi (tai invariantiksi), koska kaikki 4 ortonormee-rattua avaruussuuntaa ovat siinä havaittavia eli reaalisia. Tällaisessa avaruudessa esim. neliö ±X ± Y = 1 kuvautuu lineaariseen (x,y,z)-havaintoavaruuteemme yksikköympyräksi x² + y² = 1. Tällainen muunnos, vaikka se onkin matemaattisesti hallitsematon, voidaan todella tehdä tie-tyin edellytyksin jatietyin seurauksin, joista lisää myöhemmin.

Absoluuttisessa 4-kantaisessa avaruudessa Pythagoraan lause kirjoitetaan silloin esim. ds = a + b + c + d, missä a  b  c  d. Havaintoavaruudessamme sama lause kirjoitetaan ds² = a² + b² + c² + d². Matematiikan lukujoukkojen laajentamista voidaan kuvata seuraavan kaavion avulla: Luonnolliset luvut Kokonais-luvut Rationaali-luvut Reaali-luvut Kompleksi-luvut Negatiiviset kokonaisluvut Murto-luvut Irrationaali-luvut Imaginääri-luvut Lukujoukkojen määrää ei ole mahdollista laajentaa suuremmaksi! Niinpä kompleksilukujen joukko on laajin mahdollinen lukujoukko, jolle ovat voimassa tietyt algebralliset perusominai-suudet (vaihdanta- ja liitäntälait, osittelulaki, neutraalialkiot sekä vasta- ja käänteisalkio). Se on samalla algebrallisesti suljettu lukujoukko. Edelliset lukujoukot löytyvät kaikki havaitsijan maailmasta eli n-ulotteisesta euklidisesta avaruudesta. Kompleksilukujen olemassaolo siinä tarkoittaa, että fysikaalisessa absoluutti-sessa avaruudessa ulottuvuuksia (kantoja) on silloin n+1 kappaletta. Havaitsijan n-kantainen avaruus oletetaan suljetuksi ja n = 3. Kvanttimekaniikassa sovelletaan menestyksellä ryhmäteoriaa, erityisesti Lien algebraa. Se on abstraktia algebraa, jossa tutkitaan rotaatioiden ominaisuuksia erilaisissa avaruuksissa. Todellisten hiukkasten käyttäytymistä kuvaavia Lien ryhmiä ovat U(1), SU(2) ja SU(3). Ne kaikki liittyvät kompleksiavaruuteen. Matemaatikko Felix Klein esitti, että geometriaa eivät luonnehdi ja määrittele niinkään geometriset oliot, vaan pikemminkin ryhmämuunnokset, jotka jättävät geometrian ennalleen, eli symmetriat. Erilaisilla avaruuksilla on erilaiset symmetriaominaisuudet. Voidaan sanoa, että avaruuden geometrian määrittelee parhaiten sen symmetriaryhmä. Näiden Lien ryhmien käyttö kvanttimekaniikassa vihjaa hiukkasten sijaitsevan kompleksiavaruudessa. Viidennen tai useamman asteen yhtälön ratkaiseminen kaavalla on todistettu mahdottomaksi. Todistus perustuu ryhmäteoriaan ja oletettujen ratkaisujen symmetriaominaisuuksiin eli viime kädessä geometriaan. Neliulotteisessa absoluuttisessa avaruudessa muuttujan neljäs potens-si kertoo tilavuudesta, joka vielä sopii avaruuteen. Jos avaruudessamme olisi yksi ulottuvuus enemmän, avaruuden symmetriaominaisuudet olisivat erilaiset. Myös matematiikkamme olisi erilaista ja ilmeisesti yleinen viidennen asteen yhtälö ratkeaisi siinä avaruudessa kaavalla. Matematiikka sisältää käsitteen ääretön. Mihin tahansa lukuun voidaan aina lisätä mikä tahansa luku ja tulos sopii aina lukusuoralle. Lukusuora ei koskaan pääty. Käsite ääretön merkitsee, että avaruudella ei ole olemassa reunaa. Silloin fysikaalisen avaruuden on oltava suljettu rakenne, joka on myös kierrettävissä ympäri, mutta ei havaittavalla tavalla. Suljettua kehää voi kiertää ympäri matkan, jonka pituus on ääretön.

Matemaatikko ja loogikko Kurt Gödel osoitti, ettei matematiikassa minkä tahansa aksiooma-järjestelmän kaikkia lauseita ole mahdollista todistaa oikeaksi tai vääräksi aukottomasti, mikä perustuu lopultakin siihen, että avaruus on suljettu eikä siitä voi poistua ulkopuolelle totea-maan, mikä on totta ja mikä ei. Siten emme esimerkiksi koskaan voi tietää, missä avaruutem-me sijaitsee suhteessa johonkin muuhun. D-teoriassa osoitetaan, että avaruuden suuren ja pienen mittakaavan rakenteella on keskei-nen merkitys kaikissa fysiikan ilmiöissä. Siksi fysiikka ei voi saada lopullista muotoaan ilman tämän rakenteen selvittämistä. Avaruuden rakenteesta seuraa myös joitakin loogisesti ja geometrisesti johdettavissa olevia asioita kuten esim. valonnopeuden vakioisuus. Suhteellisuusteoriassa avaruuden rakenne ei ole hypoteesi (vaan mysteeri). Suhteellisuusteoriassa on kaksi hypoteesia, jotka Einsteinin mukaan ovat: 1. Valon nopeus on kaikissa tyhjiössä toistensa suhteen liikkuvissa koordinaattijärjestelmissä yhtä suuri. 2. Kaikissa toistensa suhteen tasaisesti liikkuvissa koordinaattijärjestelmissä ovat voimassa samat luonnonlait. Nämä molemmat hypoteesit voidaan johtaa loogisesti D-teorian avaruuden rakennetta koske-vasta hypoteesista, joka esitettiin jo tämän dokumentin alussa. D-teorian hypoteesia tukevat lisäksi monet mittaukset. Esimerkiksi: - Lorentzin muunnosyhtälöiden mukaiset ajan ja pituuden muutokset havaitaan suurilla suhteellisilla nopeuksilla. - Paulin kieltosääntö ja siihen liittyvä symmetria. - Fermionien spin saa arvot ½ ja -½. - Bellin epäyhtälö rikkoutuu kokeissa. - Aaltofunktio romahtaa mittauksessa. - Havaitsijan tietoisuus näyttää olevan osa mittausprosessia. - Havainnot tukevat käsitystä, että avaruus on suuressa mittakaavassa laakea eli euklidinen. - Michelson-Morleyn koe, joka osoittaa valon nopeuden kaikissa suunnissa samaksi. - Kaksoisrakokokeessa elektroni kulkee samanaikaisesti molempien rakojen kautta. - Magneettikenttä on pyörteinen ja lähteetön ja on kohtisuorassa sähkövirtaa vastaan. Näiden tulosten liittyminen itse hypoteesiin esitetään myöhemmin D-teoriassa. Lisäksi edellä esitetyt matematiikan käsitteet tukevat D-teorian avaruuden rakennetta koskevaa hypoteesia. Matematiikka on abstrakti asia. Abstrakti on myös fysikaalinen absoluuttinen avaruus, jota on mahdoton havaita, kuten pian osoitetaan. Absoluuttinen avaruus on fysiikassa abstrakti raja, jota pidemmälle luontoa ei ole mahdollista ymmärtää. Matematiikan ja fysiikan yhteiseksi perustaksi asettuu siis absoluuttinen avaruus ja se selittää matematiikan tehokkuuden luonnontieteissä. The School Of Athens Paul Benioff: “Lopullisen kaikenteorian ei pitäisi vain yhdistää fysiikkaa vaan tarjota myös yhteinen selitys fysiikalle ja matematiikalle.”

Solurakenteinen absoluuttinen avaruus Laajeneva avaruus voidaan kuvata lukumäärältään kasvavien ortonormeerattujen kantavekto-reiden joukon virittämänä avaruutena siten, että dimensioluku N = 1, 2, 3…kuvaa kantavektorei-den lukumäärän kasvua. Aluksi dimensioluku N=1 ja kasvaa avaruuden laajetessa. Määritellään avaruus yksinkertaisella tavalla aloittamalla yksiulotteisesta janasta. Jana on abstrakti malli jollekin, minkä olemusta ei voida tietää. Jana on taustasta riippumaton ja virittää eli luo avaruuden. Janalla on 2 päätepistettä ja sen pituus olkoon aluksi yksi yksikkö. Annetaan janan sitten kääntyä uuden ulottuvuuden suuntaan 90 astetta ja saadaan neliö, jolla on kaksi lävistäjää eli pääakselia. Lävistäjät leikkaavat toisensa. Siten lävistäjä tulee jaetuksi kahdeksi janaksi. Avaruudessa pätee Manhattan-metriikka. y Y X x Kun N = 2, absoluuttinen avaruus voidaan kuvata koordinaatistossa (X,Y) neliönä lXl + lYl = 1 , kun lXl,lYl <= 1. Neliön kuvitellut sivut ovat etäisyydellä X+Y = 1 neliön keskipisteestä, kun etäisyydet lasketaan ainoastaan kahden pääakselin suuntaisina matkoina. Absoluuttinen avaruus (X,Y) on alussa esitetyn D-teorian hypoteesin mukaanneliöllinen verrattuna euklidiseen havaintoavaruuteen (x,y)-koordinaatistossa, jolloin sijoittamalla edelliseen ± X  x ² , ± Y  y ² saadaan havaintoavaruudessa x ² + y ² = 1. Saadaan yksikköympyrän kehä. Edellinen muunnos voidaan tehdä tietyin edellytyksin ja seu-rauksin, joista lisää myöhemmin. (Havaintoavaruus kuvataan D-teoriassa myöhemmin.) Lisätään koordinaatistoon yksi kanta eli N = 3 antamalla neliön kääntyä 90 astetta uuden ulottuvuuden suuntaan. Saadaan oktaedri. Oktaedri on säännöllinen monitahokas, joka sisältää 3 lävistäjää ja 6 kärkeä. Tahkoja on 8 ja ne ovat säännöllisiä kolmioita. Lävistäjät ovat keskenään samanpituisia ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. Oktaedrin 2-ulotteisen kuvitellun pinnan jokainen piste on samalla etäisyydellä keskipisteestä, kun etäisyydet mitataan pääakseleiden suuntaisina eli lXl + lYl + lZl = 1 , kun lXl,lYl,lZl <= 1. Oktaedrin lävistäjät määrittävät avaruuden etäisyydet kolmen pääakselin suunnassa. Lävistäjät leikkaavat toisensa. Siten kukin lävistäjä tulee jaetuksi kahdeksi janaksi.

Absoluuttinen avaruus (X,Y,Z) on neliöllinen verrattuna havaintoavaruuteen koordinaatistossa (x,y,z), jolloin sijoittamalla edelliseen ± X  x ² , ± Y  y ² , ± Z  z ² saadaan havaintoavaruudessa x ² + y ² + z ² = 1. Saadaan havaintoavaruuden yksikköpallo. Lisätään koordinaatistoon yksi kanta eli N = 4 antamalla oktaedrin kääntyä 90 astetta uuden ulottuvuuden suuntaan. Saadaan hyperoktaedri (engl. hexadecachoron). Hyperoktaedri koostuu 16:sta tetraedrista siten, että lävistäjiä on neljä ja kärkiä on kahdeksan. Hyperokta-edrin pinta on 3-kantainen ja voidaan täyttää kolmiulotteisilla ei-säännöllisillä tetraedreilla. Kaikki 4 keskenään kohtisuoraa kantaa ovat hyperoktaedrissa symmetriset eikä yhtä voida erottaa toisesta. Pinnan kaikki pisteet ovat yhtä kaukana hyperoktaedrin keskipisteestä, kun etäisyys lasketaan pääakseleiden suunnassa. Saadaan lXl + lYl + lZl + lUl = 1 , kun lXl,lYl,lZl,lUl <= 1. Sijoittamalla edelliseen ± X  x ² , ± Y  y ² , ± Z  z ² ja ± U  u ² saadaan hyperoktaedrille havaintoavaruudessa x ² + y ² + z ² + u ² = 1 , joka on Riemannin hyperpallo. Hyperpallossa pääakseleiden suunnat ovat kadonneet ja pallon pinta on 3-kantainen. Yksinkertaistetussa kuvassa hyperoktaedrillä on kahdeksan kär-keä. Nelikantaisen objektin visualisointi 3D-avaruudessa on mahdotonta. Kun hyperoktaedria leikataan lävistäjää vastaan kohtisuoralla tasolla, saadaan leikkauskuvioksi oktaedri. Kun lävistäjiä on 4, voidaan oktaedrit nimetä kirjaimilla Ox, Oy, Oz, ja Ou. Hyperok-taedrin pinta on 3-kantainen Tälle pinnalle voidaan asettaa mi-ten tahansa paikallinen 3-kantainen ortonormeerattu (x,y,z)-koordinaatisto. Silloin neljäs avaruussuunta u on aina kohtisuo-rassa pintaa vastaan.

Liikuttaessa pinnalla ja siirryttäessä tahkolta toiseen vaihtuu neljäs avaruussuunta toiseksi siten, että kukin suunnista X,Y,Z ja U ovat omalla tahkollaan kohtisuorassa pintaa vastaan. Paikallinen 4-kantainen koordinaatisto virittää avaruuden, jossa neljäs koordinaatti on pinnan 3-kantaisuuden vuoksi aina erikoisasemassa muihin kolmeen verrattuna. Paikallisesti sitä kutsutaan nimellä "neljäs ulottuvuus" tai "4.D". Sitä ei euklidisella 3D-pinnalla ole mitenkään mahdollista suoraan havaita. Neljäs ulottuvuus on aina reunallinen, kun muut kolme ovat pinnan kautta sulkeutuneita ja siten reunattomia. Hyperoktaedrin 3-kantainen pinta voidaan osittain täyttää kolmiulotteisilla tetraedreilla. Tetra-edrit eivät silloin ole säännöllisiä kolmessa avaruussuunnassa. Kahdeksan vierekkäistä tetra-edriä muodostavat yhdessä säännöllisen oktaedrin. Niinpä hyperoktaedrin solurakenteisen 3D-pinnan määritellään koostuvan säännöllisistä oktaedreista, jotka muodostavat oktaedrin lävis-täjän paksuisia kuoria. Säännöllisen kuoren leveyden puolikas on avaruuden pienin käyttökel-poinen mittayksikkö. 3D-pinnan paksuuden 4.D:n suunnassa voidaan ajatella olevan nolla (tai ns. Planckin säteen suuruinen, kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan). Oktaedrit täyttävät 3D-avaruudesta vain osan. Lopun täyttävät antioktaedrit, kuten pian tarkemmin esitetään. Kaksi epäsäännöllistä tetraedria. Niitä tarvitaan kahdeksan yhden säännöllisen oktaedrin muodostamiseen + + _ + _ _ Solumaisen 3D-avaruuden rakenne. Jokainen solu on 4.D:n suunnassa yhtä kaukana nelikantaisen avaruuden keskipisteestä. Kunkin origon paikka lävistäjien muodostamassa verkossa on määrätty. Absoluuttisessa avaruudessa pituudet ovat olemassa vain oktaedrien lävistäjien eli avaruuden pääakselien suunnissa. Hyperoktaedrin 3D-pinnalla akseleita on kolmessa sunnassa. Tällaisen avaruuden metriikkaa kutsutaan nimellä Manhattan-metriikka. Jokaisen oktaedrin keskipiste muodostaa origon siten, että origon yhdellä puolella lävistäjän puolikas on positiivinen ja vastakkaisella puolella negatiivinen. Silloin origon paikka lävistäjien muodostamassa verkossa on määrätty. Positiivisuutta ja negatiivisuutta ei ole mahdollista määritellä muuten kuin, että niiden itseisarvo on nollaa suurempi mutta niiden summa on nolla. Asiaan palataan vielä myöhemmin D-teoriassa.

Oktaedrit eivät yksinään täytä 3-kantaista avaruutta vaan 2/3-osaa siitä. Oktaedrien ulkopuolella on säännöllisiä tetraedrejaT, jotka jaetaan kukin neljäksi epäsäännölliseksi tetraedriksi t. Määritellään oktaedrille sen nurinpäin oleva objekti eli kahdeksasta tetraedrista t koostuva antioktaedri. Yhdessä oktaedrit ja antioktaedrit täyttävät kokonaan 3-kantaisen avaruuden ja niiden samanpituiset ja samansuuntaiset, mutta erilliset, lävistäjät muodostavat avaruuteen kuoria ja antikuoria. Oktaedrit ja antiavaruuden muodostavat tetraedrit T ovat säännöllisiä. Fysikaalinen kvantittunut avaruus muodostuu oktaedrien ja antioktaed-rien lävistäjistä. Tämä jako kahteen avaruuteen merkitsee alkeishiukka-sille jakoa spin-ylös- ja spin-alas-hiukkasiin niiden sijainnin mukaan (mutta se ei merkitse jakoa hiukkasiin/antihiukkasiin, sillä hiukkasella ja sen antihiukkasella on sama spin.) 2 epäsäännöllistä tetraedria t Oktaedri ja sen ympärillä olevien antioktaedrien lävistäjiä (punaisella). Säännöllinen tetraedri T Alemmasta kuvasta huomataan, että yhdistämällä antioktaedreissa säännöllisten tetraedrien T vastakkaisten särmien keskipisteet saadaan kolme janaa x’, y’ ja z’. Kunkin janan pituus on sama kuin oktaedrissa lävistäjien puolikkaiden pituus eli yksikkövektorien pituudet x, y, z = 1. Lisäksi huomataan, että janat ovat keskenään kohtisuorassa kuten x  y  z. Janat x’, y’ ja z’ovat myös samansuuntaiset kuin x, y ja z. Janat ovat antioktaedrin lävistäjien puolikkaita vas-taavalla tavalla kuin oktaedrissa janat x, y ja z. Antiavaruuden olemassaolo ei kuitenkaan laa-jenna havaintoavaruutta, mutta kaksinkertaistaa absoluuttisen avaruuden koon. Kuvasta huomataan, että antioktaedrien lävistäjät muodostavat oman erillisen verkkonsa lomit-tuneena oktaedrien lävistäjien vastaavaan verkkoon. Lävistäjien verkot ovat identtiset. Siten kumpi tahansa verkko voidaan ajatella oktaedrien lävistäjiksi ja toinen antioktaedrien lävistäjäk-si. Lävistäjät ovatkin avaruuden varsinainen substanssi. (Oktaedrien särmät tai tahkot eivät ole.) Lävistäjät ovat taustasta riippumattomia eli niiden ei edellytetä sijaitsevan missään taus-tassa vaan ne luovat itse tilan eli avaruuden. Ilman niitä ei olemassa mitään tilaa. T z y' x' z' y x Kahden oktaedrin puolikkaan välissä on säännöllinen tetraedri. Lävistäjät muodostavat 2 erillistä ja identtistäverkkoa, avaruuden ja antiavaruuden eli kaksi Manhattan-metriikkaa.

a d Va Vo z y Yksikkövektorit oktaedrissa ja nurin päin olevat yksikkövektorit antioktaedrissa määrittelevät saman pisteen havaintoavaruudessa. a x Kuvassa oktaedrin puolikas ja vieressä sijaitseva säännöllinen tetraedri on vedetty erilleen toisistaan. Oktaedrin puolikkaan tilavuudeksi saadaan, kun x,y,z = 1 ja a = √ 2 Vo = a² z / 3 = 2/3. Punaisella piirretyn antioktaedrin osan eli säännöllisen tetraedrin tahkon ala on A = ½ a d, kun kolmion keskijana d = a √ 3 / 2. Tetraedrin tilavuudeksi Va saadaan, kun korkeus on h Va = Ah/3 = ½ a d ( 2 √ 3 / 3 ) / 3 = 1 / 3. Yhteensä oktaedrin ja antioktaedrin puolikkaiden tilavuus V = Vo +Va = 1. Lävistäjät muodos-tavat myös kuutioita. Pelkästään kuutioita tarkastelemalla absoluuttisen avaruuden neliöllisyys ei kuitenkaan paljastu. Kolmikantaisen pinnan oktaedrien kolme kohtisuoraa lävistäjää kytkeytyvät päistään kohtisuoriksi silmukoiksi. Silloin pinnan jokai-sen pisteen (oktaedrin) kautta kulkee 3 keskenään kohtisuorassa olevaa silmukkaa. Silmukat ovat pinnalla keskenään samanpituisia ja kiertävät koko 3D-pinnan ympäri. Kompleksiavaruus Havaintoavaruutemme näyttää isotrooppiselta eli on samanlainen kaikissa suunnissa. Makro-skooppisen jäykän sauvan rotaatiot ovat siinä mitansäilyttäviä. Jotta solurakenteinen avaruus toimisi isotrooppisena, on malliin lisättävä vielä yksi olennainen osa. Se on 3D-pinnan ulko-puolella sijaitseva äärelliselle etäisyydelle pinnasta ulottuva kompleksinen ja neliöllinen avaruus. Kompleksiavaruus on myös solurakenteinen ja myös siinä pätee Manhattan-metriikka. Kompleksiavaruus on neliulotteinen. Se rakentuu kolmiulotteisista oktaedreista, jotka ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa kuten seuraavalla sivulla kuvataan. Oktaedrien kolme pääakselien suuntaa ovat 45º kulmassa 4.D:tä eli imaginääriakselia vastaan ja projisoituvat 3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan akseleita x, y ja z vastaan. Yhdessä kompleksiavaruus ja 3D-pinta saavat havaintoavaruuden näyttämään isotroopiselta kuten myöhemmn tarkemmin kuvataan. Kompleksiavaruus on mallissa välttämätön monestakin syystä. Yksi syy on sähkömagnetis-mi. Makroskooppista sauvaa pitävät koossa sähkömagneettiset voimat. Gravitaation ja muiden perusvoimien merkitys on siinä olematon.

Tarkastellaan ensin kompleksiavaruuden rakennetta, kun reaaliavaruus on seuraavan kuvan esittämä yksiulotteinen suora. Suoran ulkopuolelle lisätään siihen nähden 45º kulmaan samanpituisia janoja, jotka ovat keskenään kohtisuorassa ja niiden kärjet yhtyvät kuvanesittämällä tavalla. Yksiulotteiset janat muodostavat neliöiden lävistäjiä ja neliöistä koostuvan kaksiulotteisen kompleksisen pinnan. Vastaavasti, jos reaaliavaruus on kaksiulotteinen pinta, sen ulkopuolelle lisätään keskenään kohtisuorat neliöt siten, että niiden kärjet yhtyvät kuvan esittämällä tavalla. Kaksiulotteiset neliöt muodostavat yhdessä kolmiulotteisen kompleksiava-ruuden. Neliöiden kärkipisteiden kautta on mahdollista kulkea kompleksiavaruudessa kolmi-ulotteisesti. Neliöiden keskipisteissä leikkaa vain kaksi lävistäjää ja neliön läpi voi liikkua vain kahteen suuntaan. Kun reaaliavaruus on 3-ulotteinen pinta, sen ulkopuolelle lisätään keskenään kohtisuoraan 3-ulotteisia oktaedreja, joiden lävistäjät projisoituvat 3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan akseleita x, y ja z vastaan. Kolmiulotteiset oktaedrit muodostavat nyt yhdessä neliulotteisen kompleksiavaruuden. Oktaedreja, jotka ovat keskenään kohtisuorassa, ei ole mahdollista visualisoida. Oktaedrien kärkipisteiden kautta avaruudessa on mahdollista liikkua eri suuntiin neliulotteisesti. Oktaedrien keskipisteissä leikkaa kolme lävistäjää. Reaaliavaruus Y Z X Kaksiulotteisen reaaliavaruuden ulkopuolella sijaitsee 3-ulotteinen kompleksiavaruus, jonka rakennuselementit ovat keskenään kohtisuorien 2-ulotteisten neliöiden lävistäjiä. Avaruudesta (X,Y,Z) löytyvät aliavaruudet eli tasot (X,Y), (Y,Z) ja (Z,X). Yksiulotteisen reaaliavaruuden ulkopuolella sijaitsee 2-ulotteinen kompleksiavaruus, jonka rakennuselementit ovat 1-ulotteisia janoja. Janat muodostavat neliöitä. Reaalinen 3D-pinta ja sen ympärillä sijaitseva neliulotteinen kompleksiavaruus muodostuvat siis molemmat oktaedreista. Erona on, että reaalisella 3D-pinnalla eli (x,y,z)-avaruudessa oktaedrit eivät ole asettuneet keskenään kohtisuoraan asentoon. Avaruuden pääakseleilla on siinä kolme eri suuntaa, kun kompleksiavaruudessa (X,Y,Z,W) akselien suuntia on neljä. Silti kompleksiavaruudessakaan yhden oktaedrin sisällä ei voi liikkua kuin kolmeen eri suuntaan. Kompleksiavaruuden oktaedrin symmetriaryhmä on SU(3). Kompleksiavaruus (X,Y,Z,W) sisältää neljä oktaedreista rakennettua 3-ulotteista aliavaruutta, jotka ovat (X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y). Kukin aliavaruus koostuu omista elementeistään eli oktaedreistaan. Neljä aliavaruutta eivät projisoidu keskenään kohtisuoriksi 3D-avaruuteen.

Kompleksiavaruuden neljää pääakselia merkitään kirjaimilla X, Y, Z ja W. Niiden projektiot 3D-pinnalla eli (x,y,z)-avaruudessa ovat 45º kulmassa tasoihin xy, yz ja zx nähden. y Pääakseleiden X, Y, Z ja W neljää projektiosuuntaa kutsutaan neljäksi pääprojektiosuunnaksi Xp, Yp, Zp ja Wp. Kukin pääakseli X,Y,Z ja W projisoituu 3-ulotteiselle 3D-pinnalle suuntaan, joka on yhtä kaukana 3D-pinnan pääakseleista x, y ja z. Projektioiden suuntia on myös 4. Ne on esitetty viereisessä kuvassa. Positiiviset ja negatiiviset suunnat on merkitty väreillä. Xp Xp   Zp  = 45º x Wp Yp z  = 45º Akselien X, Y, Z ja W projektioiden kulma 3D-pinnan pääakseleihin x,y ja z nähden on kaikissa tapauksissa  = 54.74º. Kulmalle pätee cos  = 1 / √ 3 . Avaruus 3D-pinnan ulkopuolella on siis solurakenteinen. Solut ovat keskenään kohtisuorassa olevia 3-ulotteisia oktaedreja. Niiden lävistäjät muodostavat 4-ulotteisen hilan. Lävistäjistä syntyy samoin kuin 3D-pinnallakin kahden janan mittaisia kuoria. Lävistäjistä muodostuvien jonojen eli kompleksiavaruuden pääakselien pituus 3D-pinnan yläpuolella eli ulkopuolella on 137 janaa eli 68,5 oktaedrin lävistäjää ja alapuolella136 janaa eli 68 lävistäjää. Syy tähän jakoon esitetään myöhemmin. Kompleksiavaruuden pituudeltaan äärellisiä pääakseleita kutsutaan myös hilajonoiksi. Kompleksinen hila-avaruus on kytketty kiinteästi 3D-pintaan. Kompleksisia hila-avaruuksia on toisiinsa lomittuneena kaksi eli avaruus ja antiavaruus. 4.D 3D-pinnan ulkopuoliset 1-ulotteiset hilajonot, jotka ovat pituudeltaan 137 janaa eli lävistäjän puoli-kasta, projisoituvat 3D-pinnalle muodostaen projektiosuhteen  = 1/137.035999, josta lisää myöhemmin. Projektiosuhdetta kutsutaan myös nimellä hienorakennevakio. 137 janaa 0 136 janaa 3D-pinta Hyperoktaedri Hilajonojen muodosta-ma kompleksinen hila

3D-pinnan ulkopuoliset solut muodostavat toisiinsa lomittuneet positiivisen ja negatiivisen hila-avaruuden eli avaruuden ja antiavaruuden. 3D-pinnalla nähtynä hila-avaruuden akselit ovat kompleksiset eli akseleiden kaikki pisteet kuvataan kompleksiluvuilla. Hilajonot ja niiden muodostama hila ovat reunalliset eli eivät ulotu avaruuden eli hyperoktaedrin keskustaan saakka. Siten koko fysikaalinen avaruus muodostuu 3D-pinnasta ja sen lähiavaruudesta eli neliulotteisesta kompleksiavaruuden hilasta ilman, että avaruudella on solurakenteista fysikaalista sädettä. Nämä molemmat avaruudet muodostavat yhdessä kokonaisuuden. Avaruuden pinta yksin riittää määrittelemään avaruuden laajuuden. Havaintoavaruus on Riemannin hyperpallon kolmikantainen pinta, jonka ominaiskaarevuus on positiivinen. Hyperpallo on kuitenkin absoluuttisen avaruuden matemaattisella muunnoksella saatu "kuvajainen" eikä vastaa avaruuden todellista muotoa. Hyperpallon pinnalla pääakselei-den suunnat ovat kadonneet ja 3D-pinnan oktaedreista eli 3D-soluista muodostuva pinta on muuntunut yksikköpallojen pinnaksi. Neliön sivujen kaikki pisteet ovat yhtä kaukana neliön keskipisteestä vain pääakseleiden eli lävistäjien suuntaisina pituuksina mitattuina. Muita avaruussuuntia ei neliön absoluuttisessa avaruudessa eli Manhattan-metriikassa ole olemassa. Samoin hyperoktaedrin pinnan kaikki pisteet ovat näin mitattuna samalla etäisyydellä avaruuden keskipisteestä. Silloin voidaan määritellä hyperoktaedrin pinnalle käsite "ominaiskaarevuus" sekä "kaarevuussäde" eli pinnan etäisyys keskipisteestä. Hyperoktaedrin pinnan ominaiskaarevuus on nolla eli pinta on euklidinen. Tällaista avaruutta on mahdotonta visualisoida. Avaruuden ja sen ilmiöiden ymmärtämiseksi joudutaan aina käyttämään yksinkertaistettuja lakeja ja sääntöjä, jotka eivät yksinään kerro koko totuutta. Avaruutta voidaan ymmärtää matemaattisesti, mutta tulokset on silti jotenkin kongretisoitava kolmiulotteisen maailman havaintoihin liittyviksi. Matemaattisen tarkastelun yksi merkittävä tulos on, että suuressa mittakaavassa absoluut-tisen 3D-pinnan eli hyperoktaedrin pinnan paikallinen ominaisuuskaarevuus on nolla! (Paikallisia painovoimakenttiä ei tässä huomioida.) Toinen merkittävä asia on, että tällaista pintaa pitkin voidaan kiertää avaruuden ympäri kaikissa 3D-avaruuden suunnissa ja palata lähtöpisteeseen. Avaruus on äärellinen 4-ulotteinen tila, joka voidaan kiertää avaruuden ympäri myötäpäivään tai vastapäivään ilman, että kiertosuuntaa voidaan 3D-avaruudessa havaita. Havaitsijalle pinnan kannat 1.D...3.D ovat isotrooppisia, joten jokainen havaittava suunta on samalla avaruuden kiertosuunta. Koska absoluuttisella 3D-pinnalla avaruuden ominaiskaarevuus on nolla, ei ole mahdollista havaita imaginääriseksi valittua kantaa 4.D. Pinta muistuttaa tässä suhteessa lieriön pintaa. Kun avaruuteen aikoinaan lisättiin uusi ulottuvuus eli kanta 4.D, syntyi tilanne, jota kuvataan kosmologiassa alkuräjähdykseksi. Avaruuden laajentuessa tiettyyn kokoon saakka avaruu-teen lisätään uusi kantavektori 5.D. Tällöin avaruuden symmetria muuttuu siten, että mm. nykyisen kaltaista aikaa ei ole olemassa.

3D-pinta on ns. d-kuori, jossa d = 2.8179403 fm, joka on sama kuin elektronin klassinen säde. Siinä d on oktaedrin lävistäjän pituus. Tarkastellaan seuraavaksi tarkemmin kompleksisen hilan rakennetta. Hilan janatmuodostavat 3D-pinnan ulkopuolelle 2D-kuoria seuraavan kuvan mukaisesti siten että lävistäjän pituus on 2D ja d=D. Hilakuoren koko (= 2 x D) on eri kuin 3D-pinnan kuoren (d = 2 x d/2) eli solut ovat eripituisia. Hilan kuoret ovat 45 asteen kulmassa 3D-pintaa vastaan, joten tasaisessa avaruudessa d = √ 2 D projisoituna 3D-pinnan pääakselle (kuten kuvassa). N68 = 2D-kuoren projektio Huom! Kuvassa hilan mitat on esi-tetty yhden 3D-pinnan pääakselin suunnassa projisoituina. Muuten d = D. Huom! Kuoret 3D-pinnan ulkopuo-lella ovat samoja kuin atomin elek-tronikuoret, joita vastaa elektronin pääkvanttiluku. N2 = 2D-kuoren projektio 1-ulotteisia soluja 2D-kuori 2D-kuori D=d N1 = 2D-kuoren projektio d/2 Hilakoppi eli oktaedri d/2 d/2 d/2 d d-kuori D 3D-pinta on d-kuori No= 2D-kuoren projektio Avaruuden 3D-pinta sijoittuu ½-kuoren päähän kuoresta N1 sen alapuolelle. Kompleksisella hilalla ja 3D-pinnalla on kiinteä kytkentä toisiinsa. d d-kuori 3D-pinnan hilakoppi -N1 = 2D-kuoren projektio Kompleksisen hilakopin kaikki 3 lävistäjää projisoituvat 3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan akseleihin nähden ja ovat 45 asteen kulmassa neljättä eli imaginääristä kantaa vasten. -N68 = ½-kuoren projektio

Tasaisessa avaruudessa d = √ 2 D nähtynä 3D-pinnan pääakselin suunnassa. Kuitenkin on niin, että kompleksiavaruus määrää havaitsijan kaikki pituudet, valon etenemisen ja ajan kulumisen. Siksi määritellään kompleksiselle hila-avaruudelle horisontaalinen pituus d’ = d tasaisessa avaruudessa eli hilajonojen ollessa 45º kulmassa 3D-pintaan nähden. Pituus d’ muuttuu kompleksiavaruuden supistumisen yhteydessä verrattuna tasaisen avaruuden pituuteen d. Mutta d’ havaitaan aina vakiomittaiseksi, koska sen pituutta ei ole mahdollista verrata mihinkään tasaisen avaruuden pituuteen. Niinpä kompleksinen hila-avaruus on havaitsijalle aina tasaiselta näyttävä avaruus. Tästä eteenpäin pituus d tarkoittaakin kompleksisen hila-avaruuden mittaa d’, joka on havaitsijalle vakio ja jonka arvo lasketaan vastaamaan arvoa tasaisessa avaruudessa. Arvon vakioisuus vaikuttaa osaltaan havaintoavaruuden isotrooppisuuteen. d’ = P eli Planckin pituus 3D-pinnalla nähtynä projektion suunta d’ d d’ d’ = vakio D =45º 3D-pinta d Tällä alueella kompleksi-avaruus on supistunut Tasainen komp-leksiavaruus Kompleksisen hila-avaruuden supistumista paikallisesti itsensä suhteen (ei minkään taustan suhteen) ei voida havaita, koska ei ole olemassa supistumatonta vertailukohtaa. Sensijaan tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä kappaleen absoluuttinen pituus muuttuu kompleksiavaruuden supistumisen yhteydessä. Kompleksiavaruuden supistuessa ääriasen-toonsa on yhden hilakopin leveys 3D-pinnan suunnassa sama kuin Planckin pituus P . Ääriasennossa oktaedrin lävistäjien puolikkaat ovat vierekkäin samansuuntaisina ja niiden yhteisen leveyden täytyy silloin olla nollaa suurempi (edellinen kuva). Olkoon kompleksiavaruudenkappaleen pituus S 3D-pinnalle projisoituna S = X· d + Y · d + Z · d , kun X  Y  Z missä d on vakiomittainen jana ja X = a, Y = b ja Z = c ovat janojen lukumäärät kompleksiavaruuden pääakselien suunnissa. Janan d havaitsematon lokaali supistuminen vääristää absoluuttisen avaruuden epälineaariseksi havaintoavaruudessa nähtynä. Vastaava epälineaarinen pituus s lineaarisessa havaintoavaruudessa nähtynä on skalaari ja saa arvon s = (a² + b² + c²) d , missä d on sama ja mikä tarkoittaa, että absoluuttinen avaruus on neliöllinen euklidiseen havaintoavaruuteen nähden. Pääakseleiden suuntaisia määriä a, b ja c ei havaita vaan ne jäävät teoreettisiksi. Neliöllisyydestä seuraa edellä esitetty koordinaatistomuunnos ± X  x² , ± Y  y² , ± Z  z² . Lisää aiheesta myöhemmin D-teoriassa mm. kohdassa ”Etäisyyden laskeminen neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa”.

Koordinaatistomuunnoksella saadaan lineaarinen vastaavuus avaruuksien x² ja X välille. Koordinaatisto-muunnos x x² x² x a² a² X X a a Lineaarinen vastaavuus Epälineaarinen vastaavuus Oletetaan, että hilakopin lävistäjän puolikas projisoituu 3D-pinnalle 45º kulmassa pituudeksi d tilanteessa, jossa avaruus on täysin tasainen eikä mitään voimakenttiä ja niihin liittyvää ener-giaa ole. Hilajonot ovat 45º kulmassa 3D-pintaan nähden. Tässä tilanteessa pituudelle d las-ketaan arvo neljän mitatun vakion avulla. Tällainen tilanne on kuitenkin mahdoton. Kaikkialla avaruudessa vaikuttava tarkemmin määrittelemätön skalaarikenttä pyrkii pienentämään hila-jonojen kaltevuutta arvosta =45º ja leventämään hilakoppia ja d:tä 3D-pinnan suunnassa. Seuraavassa kaavassa jakajan termin 137,035999174 poikkeama arvosta 137 kuitenkin pienentää pituuden vastaamaan tasaisen avaruuden laskennallista pituutta d. d = ħ = 2.8179403267 fm , 137,035999174 mec missä me on elektronin massa, ħ on Planckin vakio ja c on valonnopeus. Kenttää ei havaita suoraan, koska se ilmenee samana kaikkialla. Kenttä muuttaa pituuden d projektion suuremmaksi kuin vakioiden avulla tasaisessa avaruudessa (=45º) laskettu arvo. Vaikutus näkyy esim. 137 janaa pitkän hilajonon projektion pituudessa, jonka pitäisi kulmalla =45º olla 137d, mutta joka skalaarikentässä on mitattuihin vakioihin perustuva R = 137,035999174d = ħ . mec Edellä mainittu hilajonon projektion lineaarinenpituus voidaan siirtää havaintoavaruuteen neliöimällä ja näin saadaan vetyatomin säde r1. Yksikköjanan d pituutta ei neliöidä. r1 = R² = 137.035999174² d = 0.5291772 x 10-10 m. Vetyatomin rakenne kuvataan myöhemmin D-teoriassa geometrisen atomimallin yhteydessä. Atomin kaikki kvanttiluvut saavat siinä yhteydessä geometrisen ja samalla kvantitatiivisen kuvauksen. Dimensioton projektiosuhde  kuvaa yhden hilajonon projisoitumista 3D-pinnalle pituudeksi 137.035999174d. Projektiosuhde  olisi tasan 1/137, jos skalaarikenttä ei ‘offsetin’ tavoin olisi vaikuttamassa.

Kompleksinen hila-avaruus määrää havaintoavaruuden mitat ja kuten edellä esitettiin d ja  havaitaan vakioina myös avaruuden supistuessa. Hyvin suurilla energioilla projektiosuhteelle on mitattu suurempia arvoja eli kaikissa olosuhteissa  ei ole vakio. On myöskin mahdollista, että edellä mainittu skalaarikenttä ei ole tarkalleen samansuuruinen kaikkialla, jolloin  voi muuttua paikallisesti. Maailman syntyessä yli 13 miljardia vuotta sitten 3D-pintaa ei aluksi ollut. Oli vain edellä kuvattu kompleksinen 4-ulotteinen hila-avaruus, joka koostui yhteensä274 janaa pitkistä pääakseleista. Luku 274 voidaan jakaa kahdeksi tekijäksi eli 274 = 2 x 137. Luku 137 on jakamaton alkuluku. Koko avaruus voidaan jakaa symmetrisesti alempaan osaan eli sisäosaan ja ylempään eli ulko-osaan, jotka molemmat koostuvat 137 janaa pitkistä akseleista. Näistä ylempää osaa kutsutaan nimellä Higgsin ylempi duplettikenttä ja alempi on vastaavasti Higgsin alempi duplettikenttä.Avaruus on lisäksi jakautunut toisiinsa lomittuneiksi avaruudeksi ja antiavaruudeksi. Tällaisessa avaruudessa tapahtui spontaani symmetriarikko. Avaruuden sisempi puolisko eli Higgsin alempi duplettikenttä muuttui peruuttamattomasti siten, että sen yläreunan reunimmaiset oktaedrien puolikkaat niin avaruudesta kuin antiavaruudestakin kääntyivät 45º muodostaen 3D-pinnan oktaedreista koostuvan solukon. Tämän seurauksena kahtia jakautuneen avaruuden sisemmän puoliskon pääakseleiden pituus on yhden janan verran lyhyempi eli 136 janaa. Tällä jaolla on ratkaiseva merkitys mallin toimivuuden kannalta. w+ w- 137 137 Spontaani symmetria-rikko muodosti 3D-pinnan Avaruuden ulompi puolisko Avaruuden sisempi puolisko 137 136 Zo Avaruus spontaanin symmetriarikon jälkeen. 3D-pinta on syntynyt. Avaruus (2x137) ennen spontaania symmetriarik-koa. Kuvaan on piirretty vain osa pääakseleista. Skalaarikenttä Ylemmän Higgsin kentän vuorovaikutuskvantteja ovat sen elektronien e+ ja e- miehittämät positiiviset ja negatiiviset hilajonot nimiltään W+ ja W-, jotka ovat yhden janan verran pidempiä kuin alemman kentän vastaavat hilajonot Zo. Pituusero merkitsee varauseroa e elektronien miehittämissä hilajonoissa, kuten myöhemmin kuvataan. Niinpä sähköisesti neutraalien Zo-kvanttien sähkövarauksen ero varattuihin kvantteihin W+ ja W- nähden on elektronin varauksen e suuruinen. Higgsin duplettikentän spontaanissa symmetriarikossa muuttunut, mutta ei kadonnut osa, on Manhattan-metriikan omaava 3D-pinta. Se luo avaruuteen piilossa olevan skalaarikentän, joka sisältää Higgsin potentiaalin.

Spontaani symmetriarikko loi 3D-pinnan. Samalla maailmaan syntyi gravitaatio, ja hiukkaset saivat massan ja liikemäärän. Syntyi kaikkialla vaikuttava 3D-pinnan muodostama skalaari-kenttä, jota kutsutaan myös nimellä Higgsin kenttä. Kenttään liittyy myös potentiaali, sillä avaruus hakeutui muutoksessa pienempään energiatilaan. Potentiaali pyrkii pienentämään kompleksiavaruuden pääakseleiden eli hilajonojen kulmia 3D-pintaan nähden ja toimii kuten edellä mainittu skalaarikenttä. Symmetria on tällaisessa muuttuneessa avaruudessa piilotettu, sillä 3D-pinta on edelleen olemassa osana avaruutta vaikkakin erillisenä kiinteästi kytkettynä osana. Sanotaan, että kyseessä on ns. piilosymmetria eikä varsinainen symmetriarikko. 3D-pinta luo massan ja liikemäärän ja välittää gravitaatiopotentiaalin. Myös värivoima eli vahva ydinvoima vaikuttaa vain 3D-pinnassa. Sijainti 3D-pinnassa antaa siis hiukkaselle värivarauksen. Syntynyt 3D-pinta muodostaa symmetrialtaan poikkeavan rakenteen avaruuteen. Sähkömagneettinen voima ja heikkovoima voidaan yhdistää teoreettisesti kompleksisen hilan osaksi. Niissä pätevät U(1)- ja SU(2)-symmetriat osana kompleksisen hilavaruuden rakennetta, kuten pian osoitetaan. Vahva ydinvoima on sensijaan 3D-pintaan kiinteästi liittyvä osa, joka toimii niin läheisesti kompleksiavaruuden yhteydessä, että sen symmetriaryhmä on kompleksinen SU(3). Gravitaatio on pelkästään 3D-pintaan sijoittuva voima ilman, että sillä on kompleksiavaruuteen liittyvää kiinteää suoraa yhteyttä. Niinpä gravitaatio ei sisälly osaksi kvanttimekaniikan Standardimallia. Kuitenkin 3D-pinnan vaikutus hiukkasten massan syntyyn on jo voitu sisällyttää Standardimalliin Higgsin potentiaalin avulla. Kun puhutaan yksittäisestä hiukkasesta/kappaleesta ja sen paikasta, on periaatteessa aina ilmaistava, onko paikka havaintoavaruuden paikka vai absoluuttisen Manhattan-avaruuden paikka. Nämä vaihtoehdot ovat toisensa poissulkevia ja niiden suhde ei ole yksikäsitteinen. Absoluuttisen avaruuden piste ei ole lokaali havaintoavaruudessa nähtynä. Niinpä voidaan sanoa, että absoluuttisen avaruuden piste leviää tuhruksi havaintoavaruudessa nähtynä. Hiukkasen kvanttiluvut riippuvat vain sen sijainnista avaruuden Manhattan-metriikassa. D-teoriassa esimerkiksi atomin elektronin kaikki kvanttiluvut voidaan ilmaista elektronin sijannin avulla. Koska sijainti ei havaintoavaruudessa nähtynä ole yksikäsitteinen absoluuttisen avaruuden neliöllisyydestä johtuen, eivät myöskään hiukkasen kvanttiluvut ole yksikäsitteiset. Niinpä esimerkiksi hiukkasen spin voi olla etumerkiltään samanaikaisesti positiivinen ja negatiivinen. Kun kaksi spin-½-hiukkasta ei voi sijaita Manhattan-metriikassa samassa paikassa, niiden kvanttiluvut eivät voi olla samat. Tuloksena saadaan ns. Paulin kieltosääntö eli sääntö, joka kieltää esimerkiksi kahden elektronin samat kvanttiluvut.

Kompleksiavaruuden hila muodostuu viereisen kuvan esittämistä hilakopeista. Hilakoppi on todellisuudessa kolmiulotteinen muodostuen oktaedrin kolmesta lävistäjästä eli kuudesta janasta. Hilan hilakopit kuvataan siten, että lävistäjät piirretään 45º kulmaan vaakatasoon nähden erotukseksi 3D-pinnan oktaedreista. e- Tyhjä hilasolu Jokainen 6-osainen hilakoppi sisältää hilan osana yhden ½-lävistäjän pituisen spin-½-hiukka-sen e+ tai e-, jota kutsutaan positiiviseksi tai negatiiviseksi hilahiukkaseksi. Muut hilakopin 5 solua ovat tyhjiä soluja. Tyhjä solu tarkoittaa, että solussa ei ole aaltoa, johon liittyy tietty kaareutumisamplitudi. Säänöllisesti hilaan pakkautuneet hilahiukkaset e+ ja e- eli kaareutuneet janat muodostavat yhdessä hilaan positiivisia ja negatiivisia hilajonojen hahmoja. Kaikki hilahiukkaset ovat hilakopeissaan asettuneena siten, että hahmot muodostavat kompleksiavaruuteen yhtenäisiä 2-ulotteisia tasomaisia verkkoja elielektronitasoja (”Diracin meri”). Tasojen suunnat ovat kussakin neljässä aliavaruudessa keskenään samat mutta vaihtuvat kaikki samanaikaisesti hilahiukkasten toistuvissa rotaatioissa. Toistuvat rotaatiot synnyttävät hilakoppeihin hilahiukkasten kvantittuneen kiertoliikkeen. Tasot ovat kompleksisia ja muodostavat symmetria-avaruudet SU(2). Aluksi oli siis vain kompleksinen hila-avaruus, joka koostui 2 x 137 = 274 janaa pitkistä pää-akseleista. Pääakselit olivat aivan aluksi kaikki jokseenkin samansuuntaiset eli kohtisuorassa myöhemmin syntyvää 3D-pintaa vastaan. Oktaedrit olivat silloin litistyneet Planckin pituuden levyisiksi. Pian oktaedrit kuitenkin levenivät nopeasti ja avaruus laajeni voimakkaasti valoa nopeammin. Hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma pieneni hieman alle 45 asteeseen. Tällaista ilmiötä kutsutaan nimellä “kosminen inflaatio”. Kosmisen inflaation yhteydessä avaruus siirtyi pienempään energiatilaan ja vapautunut energia siirtyi kompleksiavaruuden jokaiseen hilakoppiin hilahiukkasten e+ ja e- energiaksi. Hilahiukkaset aloittivat ikuisen kiertoliikkeensä edestakaisin hilakopeissaan ja samalla syntyi nykyisenkaltainen havaitsijan suhteellinen aika, joka on eri asia kuin kvanttimekaaninen aika. Jossakin vaiheessa kosmisen inflaation aikana syntyi myös edellä esitetyllä tavalla 3D-pinta ja gravitaatio. Samalla syntyi hila-avaruuden 137/136-symmetriarikko. Kun hilakoppi supistuu jossakin suunnassa, sen rotaatioihin syntyy vaihe-ero. Vaihe-eron  ajatellaan olevan nolla, kun hilajonot ovat 45º kulmassa 3D-pintaan nähden. Aina muulloin   > 0. Tällöin on aina kyseessä paikallinen eli lokaali vaihe-ero ja siihen liittyy aina jokin voimakenttä. Voimakenttä siis muuttaa hilakopin muodon ja rotaatioiden vaiheen. Hiukkasen aaltoyhtälössä voidaan aaltofunktion vaihetta muuttaa aina globaalisti eikä siitä synny mitään havaittavaa ilmiötä. Lokaali vaihemuutos sensijaan vaatii potentiaalifunktion lisäämistä aaltoyhtälöön ja siitä seuraa jonkin voimakentän läsnäolo.    > 0    > 0  = 0

Hilajonot muodostavat vakuumin, jolla on ns. nollapiste-energiaa ja muitakin kvanttimekaanisia ominaisuuksia. Rotaatiot eli hilajonojen hahmojen liike kompleksisessa 2-ulotteisessa elektronitasossa antaa aaltofunktiolle vaiheen. Seuraavaksi tarkastellaan rotaatioita ja hilajonojen hahmojen syntymistä. Lokaali vaiheinvarianssi vaatii vuorovaikutuskentän ilmaantumista. Itse vuorovaikutuskenttä on kvantittunut. Vuorovaikutus tapahtuu vuorovaikutushiukkasten kuten virtuaalisten fotonien avulla. Kun kenttä on kvantittunut, täytyy myös lokaalin vaihesiirron olla kvantittunut. Vaihesiirtoa kuvataan kulman avulla, joten kulma on myös kvantittunut. Aaltofunktion vaihe on kompleksinen suure eikä vaihetta ole mahdollista mitata. Niinpä ei ole olemassa vaihesiirron kulmaa vastaavaa kvantittunutta suuretta, joka voitaisiin mitata. Voidaan puhua piilokvantittu-misesta. Ainoastaan vuorovaikutuskentän kvantit tai niiden vaikutus voidaan havaita. Kompleksiavaruuden supistuminen ja siihen liittyvä kulman muutos on siis kvantittunut, mutta ei havaittavalla tavalla. Myöhemmin käsitellään avaruuden kaareutumisen kvantittumista hiukkasen liikemäärän kannalta. Hilahiukkanen eroaa tyhjästä solusta energiansa vuoksi. Ener-gia kuvataan avaruuden eli solun kaareutumisena. Avaruuden kaareutumiseen liittyy aina energiaa. Hilahiukkanen on siten hilakopissa edestakaisin kiertävä energiapaketti, jolla on liike- ja potentiaalienergiaa (kuten liipotin kellossa ). Edestakainen liike tarkoittaa kvanttimekaanisen ajan suunnan säännöllistä vaihtumista. Kaareutuminen tapahtuu 2-ulotteisessa elektronitasossa, jossa alkeisrotaatio (, joka kuvataan myöhemmin) kulloinkin on menossa. Akseleiden positiivinen suunta on kuvassa alas. Kaareutumisella on amplitudi ja sen suunta akseleiden ja pyö-rimissuunnan suhteen antaa hiukkasen tilalle etumerkin + tai - (kuvassa värin). Siten kuvan hilakoppien elektronitasossa oikealla reunalla on ajan suunnasta riippuen vihreä ja vasem-malla reunalla punainen hilahiukkanen tai päinvastoin. Kvanttimekaanisen ajan suunnan vaihtuminen (, josta lisää myöhemmin) vaihtaa värit jaksollisesti keskenään. Kaareutumisen määrä on kvantittunut. Hilahiukkasen hetkellinen pyörimisliike: - - - - + + + + Antihilahiukkasen vastakkainen pyörimisliike samalla hetkellä: - - - - + + + + apuviiva Kaikki hilahiukkaset kääntyvät alkeisrotaatiossa samanaikaisesti hilakopissaan viereiseen tyhjään 1-ulotteiseen soluun. Samalla hilajonojen hahmot siirtyvät rotaation suunnasta riippuen jonkin hilan pääakselin 3D-pinnan projektion suunnassa. Tämän liikkeen nopeus on sama kuin valonnopeus. Spin-½-hiukkasen on kierrettävä hilakopissaan eri pääakseleiden kautta kaksi täyttä kierrosta eli 720 astetta (X,Y,Z,X,Y,Z) ennen kuin hila on palannut alkutilanteeeseen. Näistä rotaatioista yksityiskohtaisemmin myöhemmin. Hilahiukkasen kiertoliikkeen sisältämä kokonaisenergia on vakio ja edustaa tyhjiön nollapiste-energiaa. Kiertoliikkeessä kineettinen energia ja potentiaalienergia vaihtuvat toisikseen siten, että kokonaisenergia säilyy. Liikettä kuvaa hiukkasen aaltoyhtälö. Samanlaiset aaltoyhtälöt voidaan periaatteessa kirjoittaa kaikille avaruuden erilaisille värähtelytavoille. Yhtälöissä huomioidaan kaikki avaruuden lokaaliin värähtelyyn vaikuttavat kvantittuneen avaruuden ominaisuudet. Niinpä aaltoyhtälöt kuvaavat myös Manhattan-avaruuden vuorovaikutuskenttiä ja niihin liittyviä lokaaleja varauksia.

Kompleksiavaruudessa (X,Y,Z,W) sen rakennuselementit eli 3-ulotteiset oktaedrit muodosta-vat neljä 3-ulotteista aliavaruutta, jotka ovat (X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y). Aliavaruu-det ovat 90º kulmassa toisiaan vastaan neliulotteisessa Manhattan-metriikassa. Kussakin oktaedrien muodostamassa aliavaruudessa syntyy joukko keskenään yhdensuun-taisia elektronitasoja. Elektronitasoja on siten olemassa joka hetki neljässä eri suunnassa siten, että suunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kaikki elektronitasot kääntyvät jokaisen alkeisrotaation yhteydessä omassa aliavaruudessaan. Kaikki spin-½-hiukkasten tapahtumat eli kvanttimekaaniset tilamuutokset ovat mahdollisia vain 2-ulotteisessa elektronitasossa. Kohtisuorassa suunnassa tapahtumia ei ole.. Edellä avaruutta ja aikaa on kuvattu janojen ja rotaatioiden avulla. Jana on abstrakti taustasta riippumaton malli kvantittuneelle avaruudelle. Vastaavasti alkeisrotaatio on abstrakti taustasta riippumaton malli kvantittuneelle ajalle. Siten jana on avaruuden kvantti ja rotaatio on ajan kvantti.Janoilla ja rotaatioilla on fundamentaalisia ominaisuuksia, joita ei ole mahdollista selittää vaan ainoastaan kuvata. Kaareutumisen suunta liittyy hilahiukkasen hetkelliseen kiertosuuntaan hilakopissa. Hilahiuk-kasen antihiukkanen kaareutuu vastakkaiseen suuntaan ja pyörii vastakkaiseen suuntaan. Pyörimissuunta vaihtuu kaikissa hilakopeissa samaan aikaan, mikä tarkoittaa hiukkasten aaltofunktioiden vaiheille globaalia vaihemuutosta. (Kvanttimekaniikassa aaltofunktion globaali vaiheinvarianssi tarkoittaa, että myös vaiheen kiertosuunta voidaan kääntää kaikkialla avaruudessa globaalisti vastakkaiseksi ja muutosta ole mahdollista havaita.) Hilahiukkasia ja sen antihiukkasia on hilassa yhtä paljon ja ne muodostavat kaikkialle avaruuteen ns. nollaenergiatason. Pyörimissuunnan vaihtuminen hilakopissa säännöllisesti luo kvanttimekaanisen ajan, joka poikkeaa makroskooppisen havaitsijan ajasta. Neliöllinen aika saadaan kertomalla positiivisten rotaatioiden lukumäärä vastakkaiseen suuntaan tehtävillä negatiivisten rotaatioiden lukumäärällä. Tällainen aika voi edetä makroskooppisessa avaruudessa nähtynä vain yhteen suuntaan. 3D-pinnalla ei esiinny kompleksiavaruuden tapaan alkeisrotaatioita, josta seuraa, että pinnan vuorovaikutusta kuvaavan Higgsin bosonin spin on nolla. Kvanttimekaaninen aika on kvantittunut ja kaksisuuntainen ja syntyy edellä esitellystä elektronien kiertoliikkeestä hilakopeissa. Aaltoyhtälön ratkaisuna saatava aaltofunktio voidaan yksinkertaistaa muotoon (t) = e-iEt . Antimaterialle vastaava aaltofunktio on muotoa (x,t) = e-i(-E)t = e-iE(-t) . Antimateria voidaan suureiden -E ja -t etumerkkien perusteella tulkita joko energialtaan negatiiviseksi tai ajassa taaksepäin liikkuvaksi hiukkaseksi.

D-teorian mukaan on olemassa kvanttimekaaninen kaksisuuntainen aika, joka toimii karkeistamattomassa kvantti-ilmiöiden mittakaavassa. Edellä on jo kuvattu kompleksisen hila-avaruuden elektronien kaksisuuntainen pyörimisliike. Pyörimisliike luo ajan kaikkiin avaruuden pisteisiin. Liikkeen hetkellinen suunta määrää kvanttimekaanisen ajan suunnan globaalisti. Liikkeen suunta, eteen tai taakse, riippuu elektronin täsmällisestä paikasta avaruudessa ja vaihtuu kaikkialla mailmassa mittaperiaatteen eli aaltofunktion vaiheinvarianssin mukaisesti samalla hetkellä. Liikkeen suunnan vaihtuminen kääntää kaikkien hiukkasten varaukset päinvastaisiksi samoin kuin kvanttimekaanisen ajan etumerkin. Koska hiukkasen kvanttimekaanisen vaiheen suunta ei ole havaittava suure, ei myöskään varausten ja ajan etumerkkien kääntymistä globaalisti ole mahdollista mitenkään havaita. Negatiivisen varauksen kertominen negatiivisella ajalla antaa positiivisen tuloksen. Kun kuvataan niin lyhyttä ajanhetkeä, että kvanttimekaanisen ajan suunta ei siinä mittakaavassa ehdi vaihtua, on kvanttimekaaninen aika otettava huomioon makroskooppisen ajan sijaan. Tämä näkyy esimerkiksi elektronien ja positronien annihilaation kuvauksissa. Kaksisuuntainen kvanttimekaaninen aika ei kuitenkaan näy atomin elektronin ratakiertomomentin suunnan vaihtumisena, kuten myöhemmin kuvataan tarkemmin. Jotta kaksisuuntaisesta kvanttimekaanisesta ajasta voisi syntyä makroskooppinen aika, tarvitaan tasasuuntaavia kahdellajakajia. Sellaisen periaate esitellään nelikantaisen atomimallin yhteydessä. Niitä tarvitaan myös, jotta kompleksisesta SU(2)-symmetria-avaruudesta syntyisi havaitsijan R(3)-symmetria-avaruus eli 720 asteen kierrosta päästään 360 asteeseen. t Positroni kulkee kvanttimekaanisessa ajassa taaksepäin ennen annihiloitumistaan elektronin kanssa. Mittakaavan kasvaessa eli tarkasteltaessa hiukkasten liikettä avaruudessa nähdään niiden molempien liikkuvan makroskooppisessa ajassa vain eteenpäin. Kuvan positroni ja elektroni ovat säännöllisesti pakkautuneessa hilassa liikkuvia ylimääräisiä hilahiukkasia, joilla on sama rakenne kuin hilahiukkasilla. Ne kuvataan myöhemmin D-teoriassa. 1  x e+ e- 0 Kvantittunutta aikaa ei ole mahdollista havaita, koska ei olemassa mitään tasaisesti virtaavaa toista aikaa, johon verrata. Vastaavasti kvantittunutta avaruutta ei ole mahdollista havaita, koska ei ole olemassa todellista tasaista avaruutta, johon verrata. Euklidista havaintoavaruutta ei ole olemassa kuin havainnoista syntyvänä kuvana. Ajankulumisen laskemista ja aikaan liittyvää suhteellisuutta neliöllisessä avaruudessa käsitellään myöhemmin D-teoriassa.

4.D c 137 solua c Hilahiukkasista e- ja e+ muodostuneet hilajonojen hahmot 2-ulotteisella pinnalla ( eli elektronitasolla) liikkuvat3D-pinnan ulkopuolella avaruudessa ja antiavaruudessavalonnopeudella edestakaisinvastakkaisiin suuntiin. Kuvassa on liikkeen hetkellinen suunta. 3D-pinta c Elektroneista e+ ja e- muodostuneen hilajonon hahmo Hilajonojen vaiheittainen liike määrää aaltofunktion vaiheen, jota ei ole mahdollista mitata. Jos hila ei ole paikallisesti homogeeninen, syntyy aaltofunktion vaiheeseen paikallinen muutos. Muutoksessa on silloin aina kysymys voimakentästä eli potentiaalista, jonka luonnetta ja voimakkuutta aaltofunktion vaiheen muutos kuvaa. Seuraava kuva esittää kompleksisen hilan XY-akseleiden suuntaista tasoa aliavaruudessa (X,Y,Z). Kuvan hilahiukkaset e+ ja e- muodostavat yhdessä tason ja siihen hilajonojen hahmot. Seuraavassa rotaatiossa X-akselin suuntaiset hilahiukkaset kääntyvät Y-akselin suuntaiseksi. Y-akselin suuntaiset hilahiukkaset kääntyvät Z-akselin suuntaiseksi. Silloin hilajonojen hahmo poistuu XY-tasosta. Se siirtyy YZ-tasoon ja rotaation vuorovaikutus tapahtuu siinä. Seuraavaksi rotaation vuorovaikutus tapahtuu ZX-tasossa. Täyden kierroksen jälkeen hilajonon etumerkki (kuvassa väri) on vaihtunut vastakkaiseksi ja tarvitaan vielä toinen vastaava kierros tasoissa XY, YZ ja ZX, jotta palataan lähtötilanteeseen. Vastaavanlaiset rotaatiot tapahtuvat kaikissa neljässä aliavaruudessa (X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y). Neutraali hilajono Negatiivinen hilajono Positiivinen hilajono e- Hilakoppien hilahiukkaset muodostavat hilaan 2-ulot-teisen elektronitason. Kaarevat hilahiukkaset on tässä kuvattu suorina. Kuvaan on merkitty nuolilla tason rotaatioiden suunnat. Rotaation jälkeen taso on vaihtunut toiseksi. e+ e- e+ apuviiva oktaedrin hahmottamiseksi X Y Hilahiukkasten vuorovaikutuksia tarkastellaan hilajonojen 2-ulotteisessa elektronitasossa, jonka akselit ovat 3D-pinnan ulkopuolella ja tasaisessa avaruudessa 45 asteen kulmassa siihen nähden. Akselit ovat kompleksiset ja rotaatioiden symmetria-avaruus on spin-½-hiukkasten ominaisuuksien yhteydessä SU(2).

Kehittäessään relativistista aaltoyhtälöä elektronille Paul Dirac huomasi, että aaltofunktio liittää kahden kompleksisen akselin (eli ulottuvuuden) määrittämän pisteen jokaiseen avaruuden ja ajan pisteeseen. D-teorian mallin mukaan nämä akselit ovat hilajonojen hahmoja, joiden kanssa elektroni vuorovaikuttaa. Diracin mukaan aaltofunktion on oltava nelikomponenttinen vektori eli spinori. Kaksi sen kom-ponenteista liittyy negatiivisen energian tiloihin ja kaksi positiivisen energian tiloihin. Sekä positiivisen että negatiivisen energian ratkaisuissa toinen spinorikomponenteista merkitsee spin-ylös- ja toinen spin-alas-tilaa. Tämä tarkoittaa, että energialtaan positiiviset elektronit e+ pyörivät hilakopeissaan jollakin hetkellä eteenpäin ja negatiiviset e- taaksepäin ja myöhemmin suunnat vaihtuvat vastakkaisiksi. Niillä on keskenään sama spin mutta ne ovat toistensa antihiukkasia. Molempia elektroneja pyörii sekä avaruudessa, jossa spin on spin-ylös, että antiavaruudessa, jossa spin on spin-alas. Komponentteja eli tapauksia on siis neljä. Diracin mukaan vakuumi ei olekaan tyhjää täynnä vaan se on pakattu säännöllisesti täyteen negatiivisen energian tiloja. Tällaista vakuumia kutsutaan nimellä Diracin meri, ja sitä ei ole mitenkään mahdollista erottaa aidosta vakuumista, jossa kokonaisliikemäärä, kokonaisvaraus, kokonais-spin ja kokonaisenergia ovat kaikki nollia. Jokaiselle Diracin meren näkymättömälle elektronille löytyy (antiavaruuden puolelta) vastinhiukkanen, jonka liikemäärä ja spin ovat vastakkaismerkkisiä. Lisäksi on mahdotonta määrittää homogeenisen meren synnyttämää sähköstaattista potentiaalia (ja siten kokonaisvarausta) saati kokonaisenergiaa, koska mittaukset tehdään vakuumin suhteen. Elektronitasot ja niiden rotaatiot ovat Diracin meren ominaispiirre. Atomin sidottuja elektroneja ja vapaita elektroneja käsitellään D-teoriassa myöhemmin. Kompleksinen hila-avaruus poikkeaa 3D-pinnasta hila-avaruuden oktaedreissa tapahtuvien rotaatioiden suhteen. Rotaatiot luovat hila-avaruuteen kiertoliikkeen, joka saa hilajonojen hahmot liikkumaan 3D-pinnan suhteen. Rotaatiot luovat myös alkeisajan jokaiseen avaruuden pisteeseen. Nähtynä 3D-pinnalta hila-avaruuden rotaatiot ovat kompleksiavaruuden rotaatiota. Tarkasteltavasta tapauksesta riippuen rotaatioavaruudet ovat U(1), SU(2) tai SU(3). Kun tarkastellaan esim. fotonia, riittää tarkasteluavaruudeksi U(1), mutta jos tarkastellaan 3D-pinnan värivoiman tuntevaa spin-½-hiukkasta, kuten protonia, tarkasteluavaruus on SU(3). 4.D Kuva esittää liikkuvia hilajonojen hah-moja, jotka liikkuvat kuvassa oikealle ja vasemmalle. Ne lävistävät 3D-pinnan kuoret kahdessa eri pisteessä P1 ja P2. Neliö syntyy katsottaessa hilajonoja si-vusta kohtisuoraan. Havaintoavaruudessa absoluuttisen ava-ruuden neliö havaitaan ympyrän kehänä. c c P2 P1 c c

Kun hilajonot siirretään lineaariseen havaintoavaruuteen, huomataan, että ne ovat havainto-avaruudessa ympyrän kehän neljänneksiä. Silloin ne ovat vain 3D-pinnan kohdalla kohtisuo-rassa pintaa vastaan. 137 solua Ln Ln n n Absoluuttisessa avaruudessa janan pituus kasvaa lineaarisesti Ln + n = 137, missä Ln ja n ovat pääakseleiden suuntaiset komponentit. Havaintoavaruudessa ympyrän Ln² + n² = R² kuvaaja määrää matemaattisesti janan ympyrän kaareksi. Hilajonojen hahmojen muodostamat tasot kiertävät läpi koko hyperoktaedrin muodostaen sa-manpituisia silmukoita kompleksiavaruuden aliavaruuksissa XYZ, YZW, ZWX ja WXY. Myöhemmin D-teoriassa osoitetaan silmukka-avaruusmallin avulla, että aika ei ole substanssi ja että Lorentzin muunnosyhtälöt toteutuvat esitetyssä avaruusmallissa. 4.D 3D-pinta 4.D:n suuntainen kuori Kuvassa 3D-pinnan ulkopuolella solut ovat keskenään kohtisuorassa, joten niiden välillä ei ole keskinäistä vuorovaikutusta. Vuorovaikutus syntyy, kun jokin solu kääntyy avaruudessa. Soluista syntyvä hila pyrkii aina homogeeniseksi vuorovaikutuksen kautta. Havaintoavaruudessa solujonot ovat kohtisuorassa 3D-pintaa vastaan ja ne muodostavat ympyrän kehiä. Ne siis näyttävät sulkeutuvan itseensä! Edellisestä voitaisiin ajatella, että hilajonot muodostaisivat sulkeutuvan ulottuvuuden 3D-avaruuden ulkopuolelle hyvin pienessä mittakaavassa. Samankaltainen ajatus on esitetty tunnetussa Kaluza-Klein-teoriassa. Samoin säieteorioissa. Oktaedrien lävistäjiä voitaisiin kutsua tässä säikeiksi, mutta geometrisista syistä niin ei tehdä. Vastaavasti kompleksisten pääakselien havaintoavaruuteen muodostamaa ympyrän kehää voitaisiin kutsua nimellä kompakti ulottuvuus. Edellä kuvattu kompleksinen hila-avaruus näyttää täysin symmetriseltä kaikissa 3D-avaruuden suunnissa. Niin ei kuitenkaan ole, kuten pian osoitetaan. Mutta eivät maailman fysikaaliset laitkaan ole täysin symmetrisiä. Esimerkiksi materia/antimateria-symmetria ei toteudu kuten ei myöskään pariteettisymmetria heikossa vuorovaikutuksessa.

Kun 3D-pinta syntyi kompleksisen hila-avaruuden alemman osan (137  136) oktaedrien lävistäjien positiivista puolikkaista, ilmestyi samaan aikaan Diracin elektronikenttä ja sen elektronien ikuisen kiertoliikkeen keskinäiset vaihe-erot. Seuraava kuva esittää yhden elektronitason elektronien ja positronien vaihe-eroista syntyvän Diracin kentän rakennetta. Kenttä koostuu elektroni-positroni-pareista, jotka muodostavat kompleksiavaruuteen positiivisia ja negatiivisia hilajonojen hahmoja. Pari: Positroni e+ ja elektroni e-Hiukkaset pyörivät vastakkaisiin suuntiin. e+ e- Hilan negatiivinen maksimi Hilakoppi Kuvan esittämässä Diracin kentässä kukin kompleksinen hilajono muodostuu elektronin jasamansuuntaisen positronin muodostamista pareista, jotka syntyvät ja katoavat hiukkasten peräkkäisissä rotaatioissa epätarkkuusperiaatteen rajoissa. T+ T- c Hilan positiivinen maksimi Negatiivinen hilajono Värisetit Positiivinen hilajono Kuvasta huomataan, että kompleksisen Diracin kentän rakenne ei ole symmetrinen positiivisten ja negatiivisten hilajonojen suhteen. Sama perustavaa laatua oleva epäsymmetria vallitsee materian ja antimaterian määrissä. Tämä hilajonojen hahmojen muodostama rakenne liikkuu elektronitasossa askeltaen yhden kuoren suuruisin askelin positiivisen kvanttimekaanisen ajan T+ aikana kuvassa ylös ja negatiivisen ajan T- aikana alas. Kuvio ei siis muuta rotaatioissa muotoaan vaan ainoastaan siirtyy ylös ja alas kvanttimekaanisen ajan suunnasta riippuen. Ajan suunnan vaihtuessa hilajonojen etumerkit eli kuvan värit, vihreä ja punainen, vaihtuvat keskenään. Kuvion esittämät potentiaalimaksimit heijastuvat ajan T+ kuluttua reunallisen kompleksiavaruuden yläreunasta ja ajan T- kuluttua alareunasta. Edellä kuvattu hilan rakenne löytyy sekä kompleksisen avaruuden että siihen lomittuneen antiavaruuden puolelta, jolloin Diracin elektronikenttä jakautuu spiniltään positiivisiin ja negatiivisiin hiukkasiin. Antiavaruuden puolella hilajonojen hahmot liikkuvat vastakkaisiin suuntiin. Kvanttimekaanisen ajan T+ aikana yksittäiset hilajonon hahmot näyttävät liikkuvan rotaatioiden vuoksi askeltaen kaltevuussuunnastansa riippuen oikealle tai vasemmalle, ja ajan T- aikana samat hilajonot liikkuvat päinvastaisiin suuntiin. Liikkeen nopeus on valon nopeus c.

Edellisessä kuvassa elektronit e+ ja e- pyörivät oktaedreissaan vastakkaisiiin suuntiin. Kvanttimekaanisen ajan suunnan vaihduttua ne molemmat ovat vaihtaneet suuntaa ja pyörivät edelleen keskenään vastakkaisiin suuntiin. Myös niiden varaukset ovat kääntyneet päinvastaisiksi ja samalla ajan etumerkki negatiiviseksi. Mikä nyt erottaa elektronit toisistaan? Symmetria ei ole täydellinen, sillä elektronit e+ ja e- voidaan erottaa toisistaan edellä esitetyn hilarakenteen epäsymmetrian avulla. Yksittäistä elektronia laajempi kokonaisuus eli kompleksinen hila ja sen rakenteen epäsymmetria määrittää elektronin sähköisen varauksen etumerkin ja samalla atomiytimen eli protonin vastaavan etumerkin. D-teoria ei vielä toistaiseksi kerro yksityiskohtaisesti, kuinka sähköisen varauksen etumerkki määräytyy hilan rakenteen epäsymmetriasta. Kuvan elektronit e+ ja e- jakavat avaruuden oikeaan ja vasempaan puoleen 3D-pinnan suunnissa absoluuttisesti. Rakenne säilyy hilan rotaatioissa, mutta rakenteen paikka siirtyy ylös-alas-suunnassa (4.D) kuoren verran jokaisessa rotaatiossa. Rotaatioiden pyörimissuunnan vaihtuessa symmetria säilyy, ainoastaan värit ja varaukset vaihtuvat keskenään. On siis tarkasteltava suurempaa kokonaisuutta epäsymmetrian löytämiseksi. e+ e- e+ e- Suuremmassa mittakaavassa hilaan syntyy positiivinen ja negatiivinen maksimi, joka näkyy hilassa pysyvänä epäsymmetriana. Pyörimissuunnan vaihto negatiiviseksi ei muuta itse rakennetta vaan ainoastaan vaihtaa kuvan värit keskenään. Edellä kuvattu hilan epäsymmetria on ilmeinen syy materia/antiamateria-epäsymmetriaan ja mahdollinen syy pariteettisymmetrian rikkoutumiseen heikossa vuorovaikutuksessa. Noetherin teoreeman mukaan jokaista symmetriaa vastaa havaittava suure, joka säilyy. Niinpä D-teorian avaruusmallin pitää sisältää joukko symmetrioita, jotta esimerkiksi energia säilyisi. Energian säilymistä vastaava symmetria on kvanttimekaanisen ajan symmetrinen kaksisuuntaisuus. Sähkövarauksen säilymistä vastaava symmetria on puolestaan Diracin kentän tietty symmetriaominaisuus.

Kun solurakenteinen avaruus on ainoa substanssi maailmassa, herää kysy-mys, mistä solut on tehty tai mitä on solujen välissä. Samanlaisen kysymyk-sen voisi esittää myös tietokoneen digitaalimaailmassa elävä älykäs ohjel-maolio. Se voi omaa maailmaansa tutkiessaan päätyä kysymään "Mitä bitit ovat?" tai "Mitä on bittien välissä?". Me tiedämme, että bitit syntyvät transistoreissa, elektroniputkissa tai vaikka-pa releissä. Digitaalimaailman ohjelmaolio ei voi omalla päättelyllään saada selville bittien olemusta. Vastaavalla tavalla solurakenteisen avaruutemme solut jäävät meiltä ymmärtämättä. Ne ovatkin samalla perimmäinen abstrak-tio maailmassamme. Emme voine koskaan ymmärtää, mitä ne ovat. Huom! Ei voida ajatella, että bittien välissä olisi avaruuden kaltaista tilaa, jossa muistiavaruuden bitit sijaitsevat. Bittien keskinäinen järjestys ja suhde toisiinsa antavat niille merkityksen eikä bittien välistä avaruutta tarvita. Bitti on malli jollekin, mistä ei voida enempää tietää. Sama pätee avaruutemme muodostaviin janoihin. Ne ovat bittien lailla taustasta riippumattomia malleja. Niiden järjestys ja keskinäiset suhteet kuten pituus ja kulma ovat fysikaalisen maailmamme kannalta merkittäviä. Geometria on syntynyt kuvaamaan näitä suhteita ja siksi geometria on käyttökelpoinen tapa kuvata fysiikan perusteet. Havaintoavaruus tarkoittaa avaruutta, joka syntyy havaitsijan tekemien karkeistettujen havaintojen kautta. Havaintoavaruus on isotrooppinen ja euklidinen. Euklidinen avaruus määritellään Pythagoraan lauseen pätemisen avulla. Suhteellisuusteorian mukaan havaintoavaruus on jokaiselle havaitsijalle liiketilasta riippuen erilainen. Havaintoavaruudessa jokainen havaittu kappale saa paikkansa havainnon perusteella toisten kappaleiden suhteen, mutta ei minkään absoluuttisen taustan suhteen. Jos ainoatakaan havaintoa ei voida tehdä, havaintoavaruutta ei ole olemassa. On vain havaitsematon absoluuttinen avaruus. Havaitsematon hiukkanen sensijaan ei ole lokalisoitunut havaintoavaruuteen eikä kuulu siihen. Vasta mittaus eli havainto antaa havaintoavaruuteen verrattuna epälineaarisessa absoluuttisessa avaruudessa sijaitsevalle hiukkaselle paikan havaintoavaruudessa ja hiukkasen aaltofunktion sanotaan samalla romahtavan. Havaintoavaruus on siis mm. karkeistamalla saatu kuva todellisesta fysikaalisesta avaruudesta, jota tässä kutsutaan absoluuttiseksi avaruudeksi ja joka on olemassa havainnoista riippumatta. Monet kvanttimekaniikan tulkintaongelmat johtuvat siitä, että havaintoavaruutta pidetään virheellisesti todellisena fysikaalisena avaruutena. Tarkastellaan seuraavaksi, miksi absoluuttinen avaruus on neliöllinen havaintoavaruuteen verrattuna, kuten D-teorian hypoteesissä esitetään, ja millaisia seurauksia neliöllisyydestä eli epälineaarisuudesta on, sekä mikä saa solurakenteisen Manhattan-metrisen avaruuden näyttämään isotrooppiselta.

Etäisyyden laskeminen neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa Matemaattisella muunnoksella (± X  x ² , ± Y  y ² , ± Z  z ² ) voidaan jokin absoluuttisen avaruuden (X,Y,Z) pituus siirtää havaintoavaruuteen (x,y,z). Kun absoluuttisessa avaruudessa laskettu suure, esim. pituus N yksikköä, on lineaarinen, ja tiedetään, että absoluuttinen avaruus on neliöllinen havaintoavaruudessa nähtynä, on suure neliöitävä havaintoavaruuteen siirtämi-seksi. Vasta neliöinnin jälkeen suure, pituus N² yksikköä, on epälineaarinen. Koordinaatistomuunnoksella saadaan lineaarinen vastaavuus eli vastaavuus yhden suhde yhteen. x² x a² a² X X a a Lineaarinen vastaavuus ± X  x² Epälineaarinen vastaavuus ± X  x Absoluuttisen avaruuden neliöllisyyden vuoksi mielivaltaisen mittayksikön käyttäminen ei ole muunnoksessa aina mielekästä. Kvantti-ilmiöiden yhteydessä mittayksikön on määräydyttävä suoraan avaruuden rakenteesta. Kelvollinen mittayksikkö on avaruuden pienin jakamaton pituus d (= elektronin klassinen säde) tai jokin muu avaruuden rakenteessa toistuva absoluuttinen pituus, joka liittyy suoraan mitattavaan kvantti-ilmiöön ja sen suureeseen. Lasketaan siis ensin yhteen absoluuttisen avaruuden lineaariset pituudet. Tulos, esim. N yksikköä X-akselin suunnassa, neliöidään ja saadaan epälineaarinen tulos havaintoavaruudessa, eli N² yksikköä. Näin laskemalla saadaan esim. arvo vetyatomin säteelle [m] Bohrin atomimallin mukaisesti sekä arvo Rydbergin vakiolle [1/m]. Samaa tekniikkaa käytetään kvanttimekaniikassa esim. laskettaessa havaintoavaruuteen realisoituvia neliöityjä amplitudeja. Tarkasteltaessa perussuureiden, pituus, aika ja massa, keskinäisiä suhteita, käytetään suhteellisuusteorian mukaan neliölisiä suureita. Tästä esimerkkeinä ovat pituuskontraktio ja aikadilaatio. Kaikki muut suureet voidaan johtaa näiden kolmen perussuureen avulla. Tästä voidaankin päätellä, että kaikki havaintoavaruudessa havaittavat luonnonlait tulevat havaintoavaruuteen verrattuna neliöllisen absoluuttisen avaruuden epälineaarisista ilmiöistä. Kun etäisyys kahden solumaisen pisteen välillä 3D-pinnalla on pieni, on etäisyyden laskemisessa otettava huomioon avaruuden solumainen rakenne. Myös liike on huomioitava, sillä havaittu pituus on jokaiselle havaitsijalle pituuskontraktiosta johtuen erilainen. Kari Enqvist: “Kenttäteorioiden yksiselitteinen ja tinkimätön kanta on: Kun luonnossa tapahtuu jotakin, se tapahtuu aina pohjimmiltaan epälineaarisesti. Myös yleinen suhteellisuusteoria on epälineaarinen.”

Solumaisessa avaruudessa käytetään vain kokonaislukuja etäisyyden ilmoittamiseen. Etäisyys esim. solurakenteisen akselin keskikohdasta voidaan silti laskea. Kuvassa etäisyys r ei ole sama kuin kumpikaan kuvan lineaarisista pituuksista d ja s. Neliöllisessä avaruudessa 3D-pinnalla lasketaan geometrinen keskiarvo d s r ² = ds. Kun s = d + 1, niin r ² = d (d+1) Edestakainen matka on neliöllisessä avaruudessa 2 r ². r Geometrista keskiarvoa käytetään absoluuttisessa avaruudessa myös liikkuvan kappaleen pituuden laskemisessa. Liike tapahtuu seuraavassa solumaisen avaruuden suhteen, mutta voisi tapahtua myös jonkin muun koordinaatiston suhteen, kuten myöhemmin kappaleessa “Aika ei ole substanssi” tarkemmin kuvataan. Kappaleiden liike etäisyysmittauksen aikana vaikuttaa d:n ja s:n arvoihin. Olkoon kappaleen lineaarinen pituus inertiaalikoordinaatistossa n solua. Mittaus tehdään lähettämällä valopulssi kappaleen päästä päähän. Jos kappale mittauksen aikana liikkuu nopeudella v ja siirtyy k:n solun verran, ovat valon kulkemat matkat vastakkaisissa suunnissa d = n - k ja s = n + k eli r² = ds = n² - k². Pituuden r neliön suhteellinen muutos r² / n² = (n² - k²) / n² = 1 - k²/n². Suhde k/n = v/c, joten voidaan kirjoittaa r² = 1 - v² eli r = n 1 - v² n² c² c² Siten, jos n = k eli kappale liikkuu valon nopeudella v = c, kappaleen pituus on nolla. Neliölli-nen pituus on mittauksessa aina valon menomatkan pituus kerrottuna paluumatkan pituudella. Laskemalla pituus esitetyllä tavalla, syntyy havaintoavaruus, jossa pituudet riippuvat havaitsijan liiketilasta ja joka siten on erilainen avaruus jokaiselle havaitsijalle. Mitään globaalia kaikille yhteistä havaintoavaruutta ei siis ole olemassa. Jos useita peräkkäisiä pituuksia on laskettava yhteen, lasketaan ne kaikki ensin yhteen ja vasta sitten siirretään havaintoavaruuteen eli r² = d x s. Tiedetään, että 3D-pinnalla yhden oktaedrin lävistäjän pituus on d = 2.817940325(28) x 10-15 m. Arvo voidaan laskea muiden tunnettujen vakioiden avulla. Tätä pituutta kutsutaan nimellä ”elektronin klassinen säde”. Se on karkeasti samassa mittakaavassa, jossa renormalisaatio tulee merkittäväksi QED:ssä. Myöhemmin osoitetaan D-teorian 3-osassa, että hiukkanen, jonka spin on ½, on pituudeltaan ½-kuoren eli oktaedrin lävistäjän puolikkaan pituinen. Silloin spin-1-hiukkanen on yhden kuoren pituinen (esim. fotoni).

Nopeuksien laskeminen neliöllisessä avaruudessa Nopeuden laskemiseen tarvittavat pituus ja aika ovat molemmat 3D-pinnan suuntaisia suurei-ta. Absoluuttisessa avaruudessa on olemassa absoluuttisia ja suhteellisia nopeuksia. Abso-luuttisia nopeuksia ei ole mahdollista havaita lukuunottamatta valon nopeutta c, jolle havaitaan myöhemmin esitettävästä syystä aina sama arvo ja joka on maksiminopeus. Suhteelliselle nopeudelle v saadaan absoluuttisten nopeuksien avulla v² = c² - w² eli w² = c² - v², missä w on havaitsematon absoluuttinen nopeus. Sillä on fysikaalinen merkitys, kuten huomataan esim. Suhteellisuusteorian pituuskontraktiosta pituudelle s s1 = s √1 - v ² / c ² , josta saadaan edelleen s1² c² = s² ( c² - v²) = s² w² , missä w² = c² - v². Suhteellisella nopeudella v on suunta 3D-avaruudessa, mutta sen neliö v² ilmaisee kappaleen suhteellisen vajoaman neljännen ulottuvuuden suunnassa. Kun v on kentän pakonopeus, sen neliö v² ilmaisee kentän pisteen absoluuttisen vajoaman määrää 4.D:n suunnassa. Kun w² = c² - v² , voidaan myös kirjoittaa w² = (c – v)(c + v) = w1 w2 , missä w1 = c – v ja w2 = c + v. Hilajonojen hahmot liikkuvat alkeisrotaatioiden seurauksena vastakkaisiin suuntiin 3D-pinnan suhteen nopeudella c. Kun hiukkanen liikkuu nopeudella v solurakenteisen 3D-pinnan suhteen toiseen näistä suunnista, ovat sen nopeudet tällöin hilajonojen hahmojen suhteen w1 = c – v ja w2 = c + v. Nopeus w on nopeuksien w1 ja w2 geometrinen keskiarvo. Tällainen liike hilan suhteen tekee hiukkasesta absoluuttisesti epäsymmetrisen, kuten D-teoriassa myöhemmin tarkemmin kuvataan. Epäsymmetrisyyttä kuvataan ellipsin avulla. Kaava v² = c² - w² kuvaa ellipsiä, jonka polttoväli on v. Ellipsille saadaan yleisesti f ² = a² - b² , kun a  b ja PF + PF' = 2a, kun (x,y)-tasossa x²/a² + y²/b² = 1. Nopeuksille saadaan vastaavasti v² = c² - w², kun c  w. Silloin a c ja bw ja fv. Piste P kuvaa hiukkasen hetkellistä tilaa faasiavaruudessa. Hiukkasen “painopiste” on suhteellisen nopeuden suunnasta riippuen toinen polttopisteistä. P b c v F' F c w a f Ellipsin eksentrisyyttä e = v/c käytetään myöhemmin D-teoriassa kuvaamaan hiukkasen ja avaruuden epäsymmetrisyyttä suhteellisessa liikkeessä ja erilaisissa voimakentissä.

Seuraavassa kuvassa vasemmalla hiukkasta kuvaava vektori g pyörii inertiaalikoordinaatistos-sa (x,ct), jolloin sen pyörimisliikettä kuvaa vektorin kärjen piirtämä ympyrä. Nopeudella v liikkuvan toisen hiukkasen liikettä kuvaa ellipsi (x’,ct’)-koordinaatistossa. Koordinaatisto (x’,ct’) on muunnettu Lorentz-muunnoksella (x,ct)-koordinaatistosta. Muunnos tekee hiukkasesta epäsymmetrisen ja sen aika hidastuu ja pituus lyhenee. Nopeuden v kasvaessa akselien x’ ja ct’ pituusyksiköt skaalautuvat hyperbolisesti. Valokartio ct’ ct ct Valokartion reuna c cT w=c c x’ g cT’ w g c x x Epäsymmetrinen tapaus v  0:cT’ on valon kulkema matka (x’,ct’)−koordinaatistossa ajassa T’. Symmetrinen tapaus v = 0:cT on valon kulkema matka (x,ct)−koordinaatistossa ajassa T . Liike tapahtuu solumaisen avaruuden suhteen, mutta voisi tapahtua myös jonkin muun koordinaatiston suhteen, kuten myöhemmin kappaleessa “Aika ei ole substanssi” tarkemmin kuvataan. Kuvassa absoluuttiset nopeudet c ja w ovat valokartion suuntaiset. Tässä esitystavassa ellipsin isoakseli on aina 45asteen kulmassa x-akselin suhteen. Nopeusvektoriesityksessä faasiavaruudessa suhteellinen liike kuitenkin kääntää ellipsiä siten, että oikeanpuoleiseen kuvaan piirretty ellipsin polttopisteeseen osoittava nopeusvektori c on aina kohtisuorassa horisontaalistatasoa eli 3D-pintaa vastaan, kuten myöhemmin esitetään. Ajan laskeminen neliöllisessä avaruudessa Edellä etäisyys laskettiin meno- ja paluumatkojen d ja s geometrisena keskiarvona eli r² = ds. Vastaavasti nopeus w laskettiin vastakkaisten suuntien nopeuksien (c – v) ja (c + v) geometri-sena keskiarvona. Sekä etäisyys että nopeus ovat suurimmillaan, kun vastakkaisten suuntien suureet ovat yhtäsuuret. Vastaavalla tavalla aika lasketaan geometrisena keskiarvona. Kvanttimekaaninen alkeisaika syntyy hilakopissa tapahtuvista hilahiukkasten alkeisrotaatioista siten, että 6 kappaletta 90 asteen rotaatioita tapahtuu ensin yhteen suuntaan ja sitten sama määrä vastakkaiseen suuntaan. Neliöllinen aika saadaan kertomalla positiivisten rotaatioiden lukumäärä vastakkaiseen suuntaan tehtävillä negatiivisten rotaatioiden lukumäärällä. Tällainen aika voi edetä makroskooppisessa avaruudessa nähtynä vain yhteen suuntaan.

vasemmalle oikealle Hilakopissa tapahtuvat rotaatiot määräävät aalto-funktion hetkellisen vaiheen. Kvanttimekaniikassa aaltofunktion globaali vaiheinvarianssi tarkoittaa, että myös vaiheen kiertosuunta voidaan kääntää globaalisti vastakkaiseksi ja muutosta ole mahdollista havaita. Aaltofunktion vaihe on imaginäärinen. Jana on abstrakti taustasta riippumaton malli avaruudelle. Vastaavasti alkeisrotaatio on abstrakti taustasta riippumaton malli ajalle. hilakoppi Kuvassa punaiset vektorit ovat osa yhden hilajonon hahmoa. Vektorien kääntyessä hilajonojen hahmo siirtyy kääntymissuunnasta riippuen tasossa joko oikealle tai vasemmalle (katkoviiva). Näin syntyy hilajonojen hahmojen valonnopeudella tapahtuva liike kussakin tasossa nähtynä kahteen vastakkaiseen suuntaan. Todellisuudessa hilakopit ovat kolmiulotteisia ja on piirretty tässä yksinkertaisuuden vuoksi kaksiulotteisina. Kun avaruus on kvantittunut soluiksi, on ajankin oltava kvantittunut. Muuten hiukkasen liikkeelle solusta toiseen voitaisiin asettaa väliaikoja eli hetkiä, jolloin hiukkasen pitäisi olla liikkeessä jossakin solujen välissä. Näitä hetkiä ei kuitenkaan ajan kvantittumisen vuoksi ole olemassa ja hiukkanen sijaitsee aina jossakin solussa eikä koskaan jossakin solujen välissä. Alkeisaika T määritellään tarkoittamaan yhden alkeisrotaation R kestoa. Se on pienin jakamaton aikayksikkö. Alkeisrotaation päättyessä syntyy alkeistapahtuma T1, jolloin vuorovaikutukset solujen välillä ovat mahdollisia. Alkeistapahtuman T1 kesto on nolla yksikköä. Uusi alkeistapahtuma T2 on mahdollinen alkeisajan T kuluttua. Alkeistapahtumien T1 ja T2 välinen aika on siten alkeisrotaation R kesto eli T. Aikaa mitataan peräkkäisten tapahtumien T1...Tn avulla laskemalla niiden lukumäärä. Ajan mittaaminen näin on maailman sisäinen taustasta riipumaton mittaustapa. Aika T lasketaan kaavasta t = s/v, missä s = d on elektronin klassinen säde ja v = c on valon nopeus eli T = d/v = 2.8179403 fm = 0.9399637065  10-23 s . 299792458 m/s Asian ymmärtämiseksi voidaan ajatella tietokoneen ohjelmien käyttämää sisäistä aikaa, joka syntyy tietokoneen kellosignaalista. Kellosignaalin taajuus määrää ohjelman suoritusnopeu-den ja samalla sisäisen ajankulumisen nopeuden eikä tietokoneessa ole mahdollista ilman ulkoista signaalia huomata kellosignaalin taajuuden muuttumista. Tiedämme, että tietokoneen ulkopuolella on eri aika, mutta onko fysikaalisen maailmamme ulkopuolella vielä jokin aika. Kysymykseen ei ole mahdollista saada vastausta.

Aikaa, sen syntyä ja suhteellisuutta käsitellään tarkemmin D-teoriassa myöhemmin. Hiukkasen ajankulumiseen vaikuttaa hiukkasen liike. Jos hiukkanen siirtyy rotaation yhteydes-sä hilassa viereiseen hilakoppiin, jonka rotaatiovaihe on 90 astetta jäljessä, hiukkasen aika ei siirtymisen vuoksi etene lainkaan. Liikkeen jatkuessa samaan suuntaan ja rotaatioiden suun-nan pian vaihtuessa hiukkanen tulee siirtyneeksi hilakoppiin, jonka vaihe on 90 astetta edellä. Siten liikkuvan hiukkasen rotaatioiden määrä yhteen pyörähdyssuuntaan vähenee ja toiseen pyörähdyssuuntaan suuntaan kasvaa. Hiukkasen ajankuluminen rotaatioiden määrällä laskettuna muuttuu liikkeen vuoksi epäsymmetriseksi ja ajankuluminen geometrisen keskiarvon avulla laskettuna hidastuu. Enemmän rotaatioista myöhemmin. Kvantti-ilmiöiden mittakaavassa aika on symmetrinen eli sillä on kaksi suuntaa, positiivinen ja negatiivinen. Alkeistapahtumien geometrisena keskiarvona lasketulla makroskooppisella ajalla on vain positiivinen suunta. Absoluuttisessa avaruudessa kappaleen aika kuluu nopeimmin, kun kappale ei liiku absoluuttisen Manhattan-metriikan suhteen eli suhteellinen nopeus v = 0. Lisäksi edellytetään, että kappale ei sijaitse toisen kappaleen gravitaatiopotentiaalissa. Toisen kappaleen emittoima neutraali gravitaatioaalto nimittäin aiheuttaisi kappaleelle kentän suuntaisen edestakaisen kiihtyvyyden ja liikkeen Manhattan-metriikan suhteen. Liike eli ylimääräinen matka hidastaisi kappaleen ajan kulumista. Kun aika kuluu nopeimmin, myös pituudet ovat pisimmillään. Kappaleen absoluuttinen massa on tässä tilanteessa pienimmillään. Kappaleen avaruuteen synnyttämä aaltoliike on tässä tilassa symmetrinen eri avaruusssuuntien suhteen. Kappaleen absoluuttisille nopeuksille pätee w = c, ja v = 0. Dualismi Hiukkasten dualismi eli Bohrin komplementaarisuusperiaate on ollut kvanttifysiikassa terveellä järjellä vaikeasti ymmärrettävä asia. Hiukkaset näyttävät käyttäytyvän dualistisella tavalla. Yhtäältä ne käyttäytyvät hiukkasmaises-ti, sillä niillä on tietty paikka ja nopeus, toisaalta aaltomaisesti laaja-alaisena avaruuteen levinneenä ilmiönä. Klassisen fysiikan kannalta nämä kuvailutavat ovat toisensa poissulkevia. Dualismille tarvitaan kelvollinen selitys. D-teoriassa lähtökohtana on äärellisen kokoinen hiukkanen, joka on osa absoluuttista avaruut-ta. Absoluuttinen avaruus on kuitenkin havaitsijalle epälineaarinen ja yksikäsitteetön. Havaitsemattoman hiukkasen absoluuttinen paikka leviää havaintoavaruudessa nähtynä laaja-alaiseksi kuin aalto. Havainto antaa hiukkaselle paikan eli saa hiukkasen lokalisoitumaan tiettyyn lineaarisen havaintoavaruuden paikkaan.

Hiukkasta voidaan näinollen kuvata aaltopaketin avulla. Aaltopaketissa ei ole kysymys siitä, että vapaa havaitsematon hiukkanen todella olisi laaja-alainen aalto. Kysymys on avaruuden käsittämisestä kahdella rinnakkaisella tavalla eli dualistisesti. Mitä enemmän on tunnettuja havaintopisteitä ja niiden välisiä etäisyyksiä, sitä enemmän on ”aallonpituuksia” ja sitä kapeammasta aaltopaketista on kysymys ja sitä tarkempi on näin syntyvä havaintoavaruuden kuva. Hiukkasen lokalisoituminen havaintoavaruuteen vaatii havaintoja eli tunnettuja havaintopisteitä. Samoin havaintoavaruuden syntyminen karkeistamalla edellyttää havaintoja eli tunnettujen pisteiden olemassaoloa. Lisää aaltopaketista ja hiukkasen lokalisoitumisesta havaintoavaruuteen myöhemmin. Ilmiöluokat Seuraavaksi käsitellään lähinnä neljää ilmiöluokkaa, joiden voidaan sanoa syntyvän solurakenteisen avaruuden ominaisuuksista. Kolme niistä kuuluvat perinteisesti kvanttimekaniikan piiriin ja neljäs on gravitaatio. Kvanttimekaniikkaan kuuluvat: 1. U(1)-rotaatiot eli sähkömagnetismi, 2. SU(2)-rotaatiot eli heikkovoima ja 3. SU(3)-rotaatiot eli värivoima. Kun tarkastellaan kvantittunutta avaruutta, voidaan kysyä, onko olemassa mitään ilmiötä, joka todella viittaa D-teorian hypoteesissa mainittuun kvantittuneeseen absoluuttiseen avaruuteen. Edellä on jo esitetty, että absoluuttista avaruutta ei ole mahdollista suoraan havaita. Niinpä ei ole mitään tunnettua keinoa suoran havainnon tekemiseen. On kuitenkin olemassa eräs paljonpuhuttu tilastollinen ilmiö, joka on vahva todiste solurakenteisen avaruuden puolesta. Tulos voidaan mitata yksittäisille alkeishiukkasille, jotka eivät tunne karkeistettua havaintoavaruutta vaan elävät Manhattan-metriikassa. Ilmiössä on kyse kvanttikorrelaatiosta, joka poikkeaa klassisesta korrelaatiosta. Ilmiö ei tuota suoraa havaintoa solurakenteisesta avaruudesta, sillä korrelaatio on abstrakti matemaattinen käsite, joka on laskettava mittaus-tuloksista. Ilmiötä kutsutaan EPR-paradoksiksi. D-teorian tarjoama selitys kvanttikorrelaation ja klassisen korrelaation eroista perustuu avaruuden geometriaan, kuten myöhemmillä sivuilla kerrotaan. Selitys käytännössä romuttaa kvanttimekaniikan käsityksen lomittuneiden hiukkasten muodostamasta reaalisesta kvantti-systeemistä. Samalla saadaan lisää vielä yksi seikka, joka on todiste kvanttimekaanisen todellisuuden ei-lokaalisuutta vastaan. Tätä ei kuitenkaan pidä ymmärtää siten, että myös suorat havainnot todistaisivat ei-lokaalisuutta vastaan, sillä havainnot käsitellään aina havaintoavaruudessa, jonka todellista luonnetta ei fysiikassa ole toistaiseksi ymmärretty. Havaintojen taustalla on kuitenkin absoluuttinen ja samalla abstrakti todellisuus, jota D-teorian hypoteesi avaruuden rakenteesta kuvaa, ja jonka oikeellisuuden puolesta kappaleessa ”Kvanttimekaniikan ei-lokaalisuus ja kaukovaikutus” käsiteltävä ilmiö todistaa.

Pienin mittakaava Absoluuttinen avaruus sinänsä on kaikissa mittakaavoissa pelkästään neliöllinen havaintoavaruuteen verrattuna. Valo ja materia sensijaan valitsevat aina kahden avaruuden pisteen välillä polun, joka johtaa karkeistamalla lineaarisen makroskooppisen havaintoavaruuden syntymiseen vain “tietoiselle” havaitsijalle. Tietoisuus liittyy tässä havaitsemiseen ja kykyyn karkeistaa havainnot makroskooppisiksi. Jos havaittavat valo ja materia puuttuvat, havaintoavaruutta ei ole olemassa. On vain tyhjä absoluuttinen avaruus eikä lainkaan havaintoja. Johtopäätös on, että absoluuttista avaruutta ei ole mahdollista havaita. Siitä seuraa, että havaintoavaruudessa liikkuvan kappaleen paikka on havaitsijalle olemassa vain suhteessa johonkin toiseen havaittuun kappaleeseen mutta ei mihinkään absoluuttiseen taustaan. Havaintoavaruus voi olla havaitsijalle olemassa vain makroskooppisena. Havaintoavaruuden syntymiseen eli karkeistamiseen tarvitaan riittävän monta 3D-pinnan ja kompleksiavaruuden elementtiä. Siksi ei ole mahdollista vetää tarkkaa rajaa makroskooppisen lineaarisen avaruuden ja kvanttitason neliöllisen avaruuden välille. Kaikki luonnonilmiöt tapahtuvat solurakenteisen avaruuden minimimittakaavassa eli ovat perustaltaan kvanttitason ilmiöitä. Tällaista näkemystä kutsutaan fysiikassa nimellä reduktionismi. Fysikaalisten ilmiöiden perusteellisempi tutkinta johtaa neliöllisten perussuureiden käyttöön. Kun havaitsijan kaikki perussuureet, pituus, massa ja aika ovat lineaarisen havaintoavaruuden suureita, on todellisuutta esim. relativististen ilmiöiden kohdalla kuvattava neliöllisillä suureilla. Suhteellisuusteorian yhteydessä käytettävä Minkowskin neliulotteinen aika-avaruus on invari-antti eli samanlainen kaikille havaitsijoille. Sen geometria muodostuu maailmanpisteistä, joiden väliset etäisyydet havaitaan samanlaisina kaikissa koordinaatistoissa. Invariantti avaruus on siis tietyssä mielessä sama kuin absoluuttinen avaruus. Maailmanpisteiden etäisyyden käsite, jonka Minkowski otti käyttöön, perustuu lausekkeeseen (s)² - (ct)². Lorentz-muunnoksesta voidaan johtaa maailmanpisteiden etäisyyden neliöille tulos (s)² - (c t)² = (s’)² - (c t’)². Vasemmanpuoleinen lauseke pätee koordinaatistossa K ja oikeanpuoleinen koordinaatistossa K’. Koordinaatistot voivat olla tasaisessa liikkeessä toistensa suhteen. Huomataan, että lau-sekkeiden suureet on neliöity, jolloin ne edustavat D-teorian absoluuttisen avaruuden suureita. Määritellään suure u = ict, jolloin etäisyys voidaan kirjoittaa (s)² + u² = (s)² - (c t)² . Tässä i tarkoittaa imaginääriyksikköä. Suureen u käyttö merkitsee, että invariantti Minkowskin avaruus on kompleksinen. Imaginääriyksikkö i lausekkeessa u = ict ei liity aikaan t vaan nopeuteen c. Neliulotteisen absoluuttisen avaruuden geometriassa absoluuttinen nopeus c edustaa neljännen eli imaginäärisen kannan suuntaa. Kyseinen avaruussuunta on reunallinen, jolloin neliöllinen maksiminopeus c² kuvaa etäisyyttä reunaan ja sitä voidaan käyttää vakiovektorina.

Valon nopeus c on suurin nopeus ja sitä käytetään D-teoriassa kuvaamaan epäsuorasti erilais-ten suureiden maksimiarvoja 4.D:n suunnassa. Suhteellisen nopeuden neliö v² kuvaa silloin kappaleen suhteellista asemaa neljännen kannan suunnassa. Kappaleen kokonaisenergia on E = mc². Kun suure c² on neljännen kannan suuntainen, on myös energia E, joka on abstrakti suure, neljännen kannan suuntainen. Ottamalla neliöjuuri absoluuttisen 3D-avaruuden koordinaateista (X,Y,Z) saadaan arvoiksi positiiviset ja negatiiviset koordinaatit ±√ X , ±√ Y ja ±√ Z . Tämä voidaan tulkita siten, että on olemassa vastakkaismerkkiset avaruudet eli lomittaiset avaruus ja antiavaruus. Laskemalla positiiviset ja negatiiviset koordinaatit yhteen saadaan tulokseksi nolla, mikä merkitsee symmetriaa. Voidaan kirjoittaa U = 0, missä U kuvaa kaikkea olevaista. Tämä on parempi kirjoittaa muotoonU – U = 0 , jolloin on olemassa kaksi vastakkaismerkkistä maailmaa U ja –U. (Suureita U ja –U ei ole syytä sekoittaa materiaan ja antimateriaan, sillä ne ovat perustavampaa laatua eli edustavat ainoata substanssia, josta maailma koostuu.) Koska emme havaitse kahta maailmaa U ja –U, kirjoitetaan havaitsijaa varten u² = lUl  0, missä u on havaitsijan suure (esim .pituus) ja aina reaalinen, eli absoluuttisen todellisuuden suureet U ovat havaitsijan suureisiin u nähden neliöllisiä ja positiivisia. Havaitsijan suureiden lisäksi on olemassa teoreettinen aaltofunktio , joka saa fysikaalisen merkityksen vasta neliöitynä ². On huomattava, että aaltoyhtälön ratkaisuna syntyvä aalto-funktio (x,y,z,t) on määritelty kompleksiavaruuteen, joka on lineaarinen (x,y,z,i)-avaruus. Aaltofunktio ei näin ollen esiinny sellaisenaan maailmoissa U ja –U, jotka eivät ole lineaarisia havaitsijalle. Raimo Lehti: “Minkowskin avaruuden merkitystä voi luonnehtia näin: Kun joku luonnon laki, yhtälö, tms. on formuloitu Minkowski-avaruuden termein, se on automaattisesti invariantti Lorentz-transformaatioissa. Minkowski-avaruudessa formuloitu fysiikka on siinä mielessä ’absoluuttista’, että se on havaitsijan aika–paikka-jaosta riippumatonta.”

Tarkastellaan seuraavaksi Pythagoraan lauseen toteutumista absoluuttisessa avaruudessa. Olkoon sauva s jäykkä makroskooppinen kappale avaruudessa siten, että se ei ole avaruuden pääakseleiden suuntainen. Käytetään sauvaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusana kuvan esittämällä tavalla. Y Sauva s on absoluuttisessa avarudessa murtoviiva, samoin kolmion kateetit a ja b. Havaintoavaruudessa s² = a² + b² ja a  b. Huomioidaan pääakselit X ja Y, ja muutetaan kateetit a ja b pääakseleiden suuntaisiksi komponenteiksi. By s b Bx a Ay Ax Sy Sx X Kateetille a saadaan absoluuttisessa avaruudessa, kun Ax ja Ay ovat sen pääakseleiden suuntaiset vaaka- ja pystykomponentit, a = Ax + Ay. Kateetille b saadaan b = Bx + By. Absoluuttisessa avaruudessa sauvan pituuden S komponentit lasketaan yhteen ennen muun-tamista havaintoavaruuteen. Sauvalle S saadaan nyt S = Ax - Bx+ Ay + By. Kun kuvan mukaan Ax - Bx = Sx ja Ay + By = Sy, saadaan S = Sx + Sy. Muuntamalla nyt havaintoavaruuteen, saadaan sauvalle s pituudeksi s² = Sx² + Sy² = a² + b². Huomataan, että mille tahansa suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle s voidaan olettaa sen kateetteja a ja b vastaavat pääakseleiden suuntaiset kateetit Sx ja Sy, joille Pythagoraan lause pätee. Ei siis ole välttämätöntä käyttää pelkästään pääakseleiden suuntaisia kateetteja makroskoppisen sauvan s pituuden ilmaisemiseksi Pythagoraan lauseen avulla. Pythagoraan lause Kuvassa pituudet a,b, ja c ovat havaintoavaruuden mittoja. Pisteiden A ja B välinen etäisyys olkoon absoluuttisessa avaruudessa a + b = c vektorien yhteenlaskuna (mutta havaintoavaruudessa skalaareille pätee c  a + b). Havaintoavaruudessa pätee c² = a² + b². Janaa AB ei ole todellisuudessa olemassa vaan se on saatu karkeistamalla murtoviiva eli voidaan kirjoittaa summana c² = (a)² + (b)², missä a = a ja b = b. Kaikki etäisyydet on periaatteessa laskettava absoluut-tisen avaruuden pääakseleiden suuntaisten komponenttien avulla, vaikka niitä ei tunneta. Vain ne ovat olemassa. Nähdään, että Pythagoraan lause syntyy neliöllisen absoluuttisen avaruuden ominaisuuksista. B c b b a A a

Avaruuden isotrooppisuus ja neliöllisyys Havaintoavaruudessa nähtynäjäykän sauvan pituus säilyy sauvaa käännettäessä eli havainto-avaruus on isotrooppinen. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että tyhjä avaruus sellaisenaan olisi isotrooppinen. Isotrooppisuuden syntymekanismia käsitellään tässä luvussa myöhemmin. Solurakenteisen avaruuden pääakseleiden suunnat ovat olemassa vain absoluuttisessa avaruudessa ja muita suuntia siinä ei ole. Muut suunnat syntyvät geometrisesti karkeistamalla pääakseleiden suuntaisista komponenteista syntyvä murtoviiva. Karkeistetun murtoviivan suunta on murtoviivan komponenttien emergentti ominaisuus. Murtoviivan suunta on uusi ominaisuus, jota pääakseleiden suuntaisilla komponenteilla ei ole. Emergenssi johtaa havaintoavaruuden syntymiseen. Karkeistamisesta johtuen havaintoavaruutta ei ole olemassa samassa mielessä kuin karkeistettu murtoviivakaan ei ole aito viiva. Karkeistamiseen tarvitaan erityinen kyky, jota tässä kutsutaan tietoisuudeksi. Jokaisen havaitsijan havainnot ovat liiketilasta johtuen erilaiset, joten havainnoista syntyvä havaintoavaruus ei ole sama kaikille. Pituudet ja ajankuluminen havaitaan erilaisina havaitsijan liiketilasta riippuen. Globaalia kaikille samanlaista havaintoavaruutta tai aikaa ei ole olemassa. Karkeistetun havaintoavaruuden täytyy olla isotrooppinen eli ns. palloavaruus, sillä vain siinä kaikki suunnat ovat samanarvoisia. Oktaedrien avaruudesta syntyy täsmälleen pallojen avaruus, kun kaikki suunnat tehdään samanarvoisiksi. Oktaedrista syntyy pallo matemaatti-sella muunnoksella eli neliöimällä koordinaatisto. Niinpä havaintoavaruudessa nähtynä absoluuttisen avaruuden on oltava kaikissa mittakaavoissa neliöllinen avaruus. y Y x²  X y²  Y X x Karkeistettu suora sauva luo avaruuteen oman suuntan-sa. Sauvan kääntyessä sen pituus havaintoavaruudessa nähtynäsäilyy ja muuttuu absoluuttisen (X,Y,Z)-avaruu-den tasaisessa Manhattan-metriikassa. Sauvan päiden ura luo havaintoavaruudessa nähtynä pallopinnan ja avaruutta kutsutaan palloavaruudeksi Absoluuttisen avaruuden tasaisessa Manhattan-metriikassa sauvan pituus on olemassa vain pääakseleiden suuntaisina komponentteina. Avaruus muodostuu oktaedreista, joiden tahkoihin kuviteltu sauva päättyy. Tällaista makroskooppista sauvaa ei ole olemassa. Absoluuttisen avaruuden tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä sauvan pituuden täytyy muuttua rotaatiossa, jotta sauvan päiden ura lähenisi pallopintaa eikä olisi oktaedrin pinta. Sauvan absoluuttisen pituuden muutos rotaatiossa syntyy makroskooppisen materian ja valon geometrisista ominaisuuksista erityisesti kompleksiavaruudessa. Tasaisen avaruuden suhteen lokaalisti supistuva ja laajeneva kompleksiavaruus määrää, kuten edellä on jo esitetty, havaitsijan kaikki pituudet, valon etenemisen ja ajan kulumisen.

Yksittäiset alkeishiukkaset liikkuvat joko 3D-pinnan elementteinä tai kompleksiavaruuden ele-mentteinä. Kumpikaan näistä solurakenteisista avaruuksista ei ole tyhjänä avaruutena iso-trooppinen, joten ne ovat molemmat neliöllisiä verrattunaisotrooppiseenhavaintoavaruuteen. Kvanttimekaaninen hiukkanen ei käänny avaruudessa mitansäilyttävänä eikä sen avaruus ole isotrooppinen. Vasta kun hiukkaset muodostavat yhdessä riittävän suuren karkeistetun koko-naisuuden (=makroskooppinen kappale), kokonaisuus kääntyy avaruudessa mitansäilyttävä-nä, kuten pian osoitetaan. Myös valo käyttäytyy kuin avaruus olisi isotrooppinen. Siitä lisää hieman myöhemmin. Kuva esittää samankokoisia oktaedreja ja niiden neliöllisiä muotoja eli palloja. Kuvan pallot ajatel-laan puristettaviksi oktaedrin muotoon siten, että palloavaruuden mittasuhteet samalla vääristyvät. Mittakaavalla ei ole tässä yhteydessä merkitystä. Pallon sisällä eli lineaarisessa havaintoavaruu-dessa oleva suora ei enää puristamisen jälkeen olekaan suora. Sen muoto riippuu esim. sijainnista pallon keskipisteen suhteen. Niinpä neliöllinen avaruus ei ole havaitsijalle yksikäsitteinen, kuten myöhemmin todetaan. Y Z X Voimme tarkastella havaittujen fysikaalisten kappaleiden kuten esim. makroskooppisen ympy-ränmuotoisen renkaan vastinetta absoluuttisessa avaruudessa. Ympyrän kehä jaetaan ensin mahdollisimman pieniksi janoiksi, jotka sitten muunnetaan yksitellen pääakseleiden suuntai-siksi komponenteiksi absoluuttiseen avaruuteen. Lopputulos on murtoviiva, joka karkeasti muistuttaa ympyrää. Vastaavasti makroskooppisen avaruuden pallolle saadaan absoluttiseen avaruuteen pinta, joka muistuttaa karkeasti palloa. Edellä esitetty matemaattinen muunnos absoluuttisesta avaruudesta havaintoavaruuteen on matemaattisesti hallitsematon. Neliön sivu kuvautuu muunnoksessa ympyrän neljänneksen kehäksi. Mutta mihin jokin tietty neliön sivun piste kuvautuu? Sitä ei voida määritellä yksikä-sitteisesti. Havaintoavaruus on harhakuva toisesta todellisuudesta. Koska kuitenkin koemme havaintoavaruutemme todelliseksi, on silloin mielestämme absoluuttinen avaruus harhaa, joka ilmenee esimerkiksi ei-lokaalisuutena havaitsemattomien hiukkasten sijaintipaikkojen yhtey-dessä. Paikat leviävät ja muuttuvat laaja-alaiseksi kuin aallot. Havaitsemattomat hiukkaset eivät kuulu havaintoavaruuteen vaan liikkuvat neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa. Matemaattisesti hallitsematon on vastaavalla tavalla ns. aaltofunktion romahtaminen, jossa avaruuteen levinnyt aaltofunktion neliö näyttää kuvautuvan mittauksessa hallitsemattomasti (“satunnaisesti”) yhteen avaruuden pisteeseen. Aaltofunktion jokin ominaistila realisoituu mit-tauksessa todelliseksi hiukkaseksi johonkin havaintoavaruuden pisteeseen, mutta on mahdo-tonta etukäteen tietää mihin. Sattuma ei pisteen paikkaa määrää, sillä hiukkasella on kaiken aikaa tarkka paikka absoluuttisessa avaruudessa, joka ei ole havaitsijalle yksikäsitteinen. Myös karkeistetun murtoviivan pituus on emergentti ominaisuus, jota murtoviivan yhden yksikön pituisilla komponenteilla ei ole, ei myöskään yleensä komponenttien monikerroilla.

Seuraava kuva esittää 2-ulotteisessa tasossa havaintoavaruuden ja absoluuttisen avaruuden mittasuhteita. Absoluuttisen avaruuden janaa BC vastaa havaintoavaruudessa jana AC, kun tarkastelun keskipisteenä on piste C. Kulmalla  = 0 pätee BC = AC. Jana BC voidaan esittää janojen a ja b summana a + b, kun a  b. Kuvasta huomataan, että myös jana AC voidaan esittää summana a + b, kun a ja b ovat skalaarisuureita eli avaruudessa keskenään saman-suuntaisia. Niinpä pituus absoluuttisessa avaruudessa voidaan kirjoittaa avaruuden pääakselien suuntaisten komponenttien eli vektoreiden avulla S = a + b + c kun a  b c. Vastaavasti havaintoavaruuden pituudelle ℓ voidaan kirjoittaa skalaarisuureiden avulla ℓ = a + b + c. Havaintoavaruudessa ei voida tietää vektoreiden a, b ja c pituuksia eikä suuntaa, mutta niiden skalaarisumma ℓ tiedetään. Mitta ℓ on skalaari, koska sen suunnalla ei ole merkitystä havaintoavaruuden isotrooppisuudesta johtuen. Niinpä voidaankin todeta, että mikä tahansa absoluuttisen avaruuden pituus S voidaan muuntaa havaintoavaruuden mitaksi ℓ muuttamalla absoluuttiset vektorikomponentit samanpituisiksi skalaarikomponenteiksi. y a = tan  . 1 + tan  b = cos  = 1 - tan  . sin  + cos  1 + tan  A a + b = tan  + cos  = 1 1 + tan  sin  + cos  [BC] = 1 = S. sin  + cos  a B b S a x  C b ℓ = 1 Havaintoavaruuden mitan ℓ ja vastaavan absoluuttisen avaruuden pituuden S suhde riippuu kulmasta  ja on ℓ = S (sin  + cos ) .

Tarkastellaan lähemmin tapaa, jolla absoluuttinen avaruus supistuu kappaleen vaikutuksesta. Tarkastelu tehdään ensin staattisessa tilanteessa, jossa kappale on paikoillaan Manhattan-metriikan suhteen ja myöhemmin tarkastellaan yleisemmin Manhattan-metriikassa liikkuvan kappaleen avaruuteen aiheuttamia paikallisia dynaamisia muutoksia. Havainnot ovat näissä molemmissa tapauksissa samat. Viereinen periaatteellinen kuva esittää tasaiseen 2- ulotteiseen absoluuttiseen avaruuteen ( Manhattan-metriikkaan) aineesta valmistettua punaista neliötä, joka on supistuttuaan muuttunut vihreää ympyrää muistuttavaksi kiekoksi ja supistanut kuvan Manhattan-avaruuden mukanaan. Supistumisen absoluuttinen määrä riippuu materian laadusta ja määrästä. Supistuminen on suurinta Manhattan-metriikan pääakselien suunnissa ja ulottuu heikentyen periaatteessa äärettömän kauas. Supistuneessa avaruudessa nähtynä neliö on edelleen neliö. Ainoastaan osa supistuneen avaruuuden kaareutuneista (sinisistä) akseleista on esitetty kuvassa. Kuva on harhaanjohtava siinä mielessä, että kuvan havaitsemattoman Manhattan-metriikan pisteet eivät ole yksikäsitteisiä havaintoavaruudessa eli niillä ei ole paikkaa havaintoavaruudessa. Makroskooppisen kappaleen kuten sauvan kääntäminen absoluuttisessa oktaedrien avaruu-dessa vaatii sauvan absoluuttisen pituuden muuttumista, jotta kappaleen osat eivät seuraisi rotaatiossa oktaedrien pintaa. Toisaalta sauvan pituus ei saa muuttua mitattavalla tavalla eli havaintoavaruudessa. Valon kulkuaika sauvan suunnassa ei saa muuttua. Siksi sauvan pituus muuttuu vain tasaisen avaruuden suhteen, mutta pituus säilyy supistuvassa ja laajenevassa kompleksiavaruudessa, joka on myös valon etenemisreitti. Kun sauvan absoluuttinen pituus tasaisen avaruuden suhteen muuttuu rotaatiossa ja pääakse-lien suuntia ei havaita, ei myöskään tiedetä absoluuttisen pituuden muutoksen hetkellistä suuruutta. Niinpä absoluuttisen avaruuden mittoja ei voida käyttää, vaan mitta on aina havaintoavaruuden mitta. Myöhemmin käytettävät absoluuttisen avaruuden laskennalliset mitat ilmoitetaan selvyyden vuoksi aina 3D-pinnan pääakselien suuntaisina projektioiden pituuksina, esim. pituus d, joka on havaitsijalle aina vakio. Avaruuden supistumisella on keskipiste (painopiste), johon supistumisen aiheuttavat voimavektorit Manhattan-metriikassa suuntautuvat. Vektorien suunnat ovat uusia suuntia ja samalla supistumisen luoma emergentti asia Manhattan-metriikassa.

Kentät ovat kvantittuneet, kuten myöhemmin osoitetaan. Tarkastellaan materian tapaa supistaa avaruutta tasaisen avaruuden suhteen. Massa on ekvivalentti energian kanssa ja energian tiedetään kaareuttavan avaruutta. Jokainen spin-½-hiukkanen vuorovaikuttaa kompleksiavaruuden kanssa luoden siihen supistumispotentiaalin, joka on vastuussa Manhattan-metriikan supistamisesta tasaisen avaruuden suhteen. Materian eli vuorovaikutuskentän läsnäolo avaruudessa muuttaa paikallisesti hilajonojen kulmaa kompleksiavaruudessa. Samalla hilajonojen tiheys paikallisesti kasvaa. Edellä esitelty kompleksiavaruuden hilakoppi muuttaa muotoansa venymällä tai supistumalla. Materia siis muuttaa paikallisesti 3D-pinnan ja sen ulkopuolella sijaitsevan hila-avaruuden muodon ja tiheyden. Hilan tiheys ja hilajonojen kulma muuttuvat paikallisesti kappaleen sisällä aiheuttaen samalla paikallisen muutoksen aaltofunktioiden vaiheisiin. Muutos edellyttää jonkin voimakentän läsnäoloa. Hilajonot Makroskooppinen kappale Tarkastellaan seuraavaksi makroskooppisen kappaleen rotaatiota solurakenteisessa avaruu-dessa, joka ei ole isotrooppinen, mutta kappale kääntyy siinä mitansäilyttävänä ja saa havainto-avaruuden näyttämään isotrooppiselta. Kompleksiavaruuden pääakselit ovat tasaisessa avaruudessa 45 asteen kulmassa 3D-pintaa sekä 4.D:tä vastaan. Tarkastellaan sauvaa, joka kääntyy avaruudessa keskipisteensä ympäri. Kääntyminen aiheuttaa muutoksen hilajonojen paikalliseen tiheyteen ja samalla hilan liikkumisen tasaisen avaruuden suhteen. Muutoksen absoluuttisella määrällä ei tässä ole merkitystä, vaan muutoksen suhteellisilla eroilla sauvan eri suunnissa. Näitä eroja on mahdollista kuvata geometrisesti. Avaruus ei supistu tai laajene minkään olemassa olevan taustan suhteen vaan itsensä suhteen, jolloin Manhattan-metriikan kulmat muuttuvat. y Viereinen yksinkertaistettu kuva esittää, kuinka sauvan läsnäolo avaruudessa aiheuttaa eri suunnissakompleksiseen hila-avaruu-teen muutoksen. Akselit Xp ja Yp ovat kompleksiavaruuden pääakselien projektioita 3D-pinnalla. Akselit x ja y ovat 3D-pinnan akseleita. Kuvassa nuolten pituus ilmaisee hila-avaruuden supistumisen määrää tasaisen avaruuden suhteen sauvan ollessa neljässä eri suunnassa. Huomataan, että supistumisen määrä on suhteellisesti pienin 3D-avaruuden pääakselien x ja y suunnissa. Yp x Xp

Kuvassa alhaalla on tyhjä tasainen 3D-avaruus ja hilajonoja punaisella sen ulkopuolella kompleksiavaruudessa. Alempi kuva esittää avaruutta kappaleen kohdalla. Kappaleen keskipiste on origossa. Hila-avaruuden hilajonot ovat kuvassa jyrkemmässä kulmassa kappaleen keskipisteen molemmin puolin. Hila-avaruus on supistunut kappaleen kohdalla Xp-akselin suunnassa. Makroskooppinen kappale itse supistaa itsensä ja samalla Manhattan-metriikan paikallisesti kompleksiavaruuden pääakselien projektioiden suunnissa. y Yp y Yp 1 x  Xp x 1 -1 Yp y x -1 Xp Kappaleen aiheuttama avaruuden paikallinen supistuminen eri suunnissa. Vektorin suunnassa kompleksiavaruuden suhteellisen supistumisen määrä on suurempi kuin 1, kuten myöhemmin osoitetaan. Xp

Havaintoavaruuden syntyyn vaikuttavat valon ja materian käyttäytyminen supistuneessa Manhattan-metriikassa. Newtonin mukaan kappaleen liikemäärä on säilyvä suure tasaisessa havaintoavaruudessa. Liikemäärän säilyminen on perustavaa laatua oleva avaruuden ominaisuus ja tarkoittaa, että supistuneessa 3D-pinnan Mahattan-metriikassa nähtynä liikemäärä ei lokaalisti säily. Seuraava kuva esittää kaareutunutta 3D-pintaa, joka on tasainen 4D:n suunnassa. Tällä pinnalla kappale kulkee tasaisessa avaruudessa nähtynä suoraan, mutta Manhattan-metriikassa nähtynä mutkittelee. Tämä kappaleen liikemäärän ominaisuus, joka itse asiassa on avaruuden ominaisuus, vaikuttaa euklidisen havaintoavaruuden syntymiseen. Edellisen lisäksi monet muut (esim. dynaamiset) seikat ovat vaikuttamassa havaintoavaruuden syntymiseen. Niitä tarkastellaan myöhemmin D-teoriasa. Kappaleen oma vaikutus avaruuteen puuttuu kuvasta. Kappaleen liikemäärä ilmenee kappaletta ympäröivän lokaalin 3D-pinnan kaarevuuden suunnassa ja määrässä. Siten tässä tarkastelussa kappale voidaan ymmärtää avaruudessa etenevänä suunnattuna ja lokalisoituneena aaltopakettina. Sensijaan avaruuden kaareutuminen eli staattinen vajoaminen 4.D:n suunnassa merkitsee staattista kiihtyvyyskenttää, joka muuttaa kappaleen liikemäärän gravitaatiokiihtyvyyden vuoksi. Gravitaatio on kuitenkin voiman aiheuttajana hyvin heikko muihin perusvoimiin verrattuna. y 4.D x y x 3D-pinnnan kaarevuus 4.D:n suuntaan vaikuttaa kappaleen liikemäärään gravitaatiovoimalla. Paikallisesti supistuneeella 3D-pinnalla liikemäärä säilyy tasaisessa avaruudessa nähtynä. Kuvassa 2-ulotteinen esitys. Kulmien ja janojen pituuden avulla kaareutunut pinta voidaan aina palauttaa tasaiseksi avaruudeksi.

D-teoria Uusi kvanttimekaniikan tulkinta perustuen kvantittuneeseen avaruuteen ja aikaan &