Integration in Vector Fields

1. Chapter 13 Integration in Vector Fields 170 121 Engineering Mathematics II 11 มกราคม 2547

2. Integration in Vector Fields เนื้อหาในบทนี้กล่าวถึง - การอินทีเกรตแบบต่างๆที่ Domain ของการอินทีเกรตมีลักษณะ พิเศษที่ต้องอธิบายในรูปของ vector function เช่น Curve, Surface เป็นต้น - ลักษณะการอินทีเกรตแบบต่างๆของ vector valued function เช่น Work, Flow และ Flux เป็นต้น เนื้อหาในบทนี้เป็นพื้นฐานสำคัญของวิชาฟิสิกส์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับแรง การเคลื่อนที่ การอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติเกี่ยวกับแม่เหล็กและไฟฟ้า และสนามเวคเตอร์ อื่นๆนอกจากนี้ยังใช้ในวิชาเทอร์โมไดนามิกส์, กลศาสตร์ของไหล, และ การถ่ายเทความร้อน

3. Line Integrals โดยปกติ function ในสามมิติจะอยู่ในรูป ฟังก์ชัน 3 ตัวแปร f(x,y,z) ถ้าเราต้องการคำนวนค่าของ f(x,y,z) ตามจุด ต่างๆบนเส้นโค้ง เราสามารถทำได้โดยการแทนค่า x = g(t), y = h(t) และ z = k(t) ลงใน f(x,y,z) จะได้ f(g(t),h(t),k(t)) เป็น composite function ของ ตัวแปร tตัวเดียว ดังนั้นเราสามารถจะอินทีเกรตหรือทำอะไรกับ function นี้ได้ เหมือนกับการกระทำกับ function ตัวแปรเดียว

4. Line Integrals (continued) f(x) x a b เป็นการอินทีเกรตฟังก์ชัน f(x,y,z) ไปตามเส้น Curve ในที่นี้ Domain ของการ อินทีเกรตกลายเป็น Curve ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus Line integral ต่างจากการอินทีเกรต ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวตรงที่ขอบเขตการ อินทีเกรตของฟังก์ชันตัวแปรเดียวเป็น ช่วง [a,b] บนเส้นจำนวน (1 มิติ)

5. Line Integrals (continued) เมื่อให้ เข้าใกล้ศูนย์ เครื่องหมาย จะเปลี่ยนเป็น และ จะเปลี่ยนเป็น หลักการของ Line integral คือการแบ่ง Curve ออกเป็นช่วงสั้นๆที่มีความยาว Dsk แล้วหาผลรวมของ ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus เราจะได้สูตร Line integral เป็น ในที่นี้ sคือความยาว ของ Curve

6. Curve Parameterization t = b t = a เนื่องจาก Curve ส่วนใหญ่จะเป็น Curve 3 มิติ มี Coordinate (x,y,z) เป็นจุดบน Curve เราจะต้องทำการเขียน x,y,zให้อยู่ในรูปฟังก์ชัน ของตัวแปร tตัวเดียวเพื่อความสะดวกในการคำนวณ วิธีการแบบนี้เรียกว่า Curve parameterization หลังจากการทำ Curve parameterization เราจะได้ Curve ในรูป จากบทที่ 11 เราจะได้ความสัมพันธ์

7. Line Integrals (continued) จากสูตร Line integral เมื่อแทนค่าต่างๆลงไป เราจะได้ จะเห็นว่าจากเดิม ขอบเขตการอินทีเกรต อยู่บน Curve Cใน 3 มิติถูกเปลี่ยน ไปอยู่บนเส้นจำนวนของ tจากa ถึงb t a b (ทำให้การอินทีเกรตง่ายขึ้น)

8. How to Evaluate Line integrals 1. เราจะต้องเขียน Curve Cในรูปฟังก์ชันของ t 2. ทำการคำนวณ 3. จากนั้นทำการแทนค่าตัวแปร จะได้ อยู่ในรูปของฟังก์ชันของ tตัวแปรเดียว 4. ทำการอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร t

9. Example 1: a Line Integral z 1 (1,1,1) y 1 1 x ตัวอย่าง จงคำนวณ Line integral ของฟังก์ชัน บน Curve C = ส่วนของเส้นตรงจากจุด (0,0,0) ไปยังจุด (1,1,1) วิธีทำ 1. ทำการ Parameterize ให้ Curve ที่จะทำการอินทีเกรตอยู่ในรูป ในที่นี้ curve ที่ต้องการคือเส้นตรงจาก (0,0,0) เป็น (1,1,1) ได้ 2. จากนั้นทำการแทนค่าตัวแปร ได้

10. Example 1: a Line Integral (continued) 3. ทำการคำนวณ 4. ทำการอินทีเกรต

11. z 1 (1,1,1) y (0,0,0) 1 1 (1,1,0) x Example 2: Additivity (คุณสมบัติการบวก) ในกรณีที่ Cนี้ประกอบด้วย curve หลายๆ curve C1, C2, ... , CNมาต่อกันเราสามารถใช้สูตร ตัวอย่าง จงคำนวณ Line integral ของฟังก์ชัน บน Curve C = ส่วนของเส้นตรงจากจุด (0,0,0) ไปยังจุด (1,1,0) และต่อไปยัง (1,1,1) ในกรณีนี้ Path ทางเดินแบ่งเป็นหลายช่วง เราจะต้องทำการอินทีเกรตทีละช่วง แล้วจึงนำมารวมกัน 1. ช่วงแรกจากจุด (0,0,0) ไป (1,1,0)

12. Example 2: a Line Integral (continued) z 1 (1,1,1) y (0,0,0) 1 1 (1,1,0) x 2. ช่วงที่ 2 จากจุด (1,1,0) ไป (1,1,1) รวมอินทีเกรต 2 ช่วงได้

13. Application: Mass and Moment Calculation ตัวอย่างหนึ่งของการประยุกใช้งาน Line integral คือการหา Mass, Moment และ Moment of Inertia ของวัตถุที่มีลักษณะเป็นเส้นเล็กๆ เช่นเส้นลวด ซึ่งมีสูตรการคำนวณดังนี้ First order moments Total mass Moment of Inertia about Coordinate axes Coordinates of center of mass โดย หมายเหตุ คือความหนาแน่นของเส้น Curve มีหน่วยเป็นน้ำหนักต่อความยาว

14. Example 3: Mass and Moment Calculation ตัวอย่าง ขดลวดสปริงในภาพมีสมการคือ และมีความหนาแน่น d = 1 จงหาจุดศูนย์กลางมวลและ Moment of inertia about the z-axis ของสปริง วิธีทำ 1. หามวลรวม 2. หา ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

15. Example 3: Mass and Moment Calculation (continued) 3. หา 4. หา ได้ ได้จุดศูนย์กลางมวล = (0,0,p) 5. หา Moment of inertia about z-axis Ans. ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

16. Example 4: a Line Integral จงหาค่า Line integral ของฟังก์ชัน บนเส้นทางเดินในรูป วิธีทำ ส่วนที่ 1 ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

17. Example 4: a Line Integral (continued) ส่วนที่ 2 ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

18. Example 5: a Line Integral เส้นลวดโค้งดังรูปวางอยู่ตามแนววงกลมสมการในระนาบ yz จงหาจุดศูนย์กลางมวลของเส้นลวด ถ้ากำหนดให้ความ หนาแน่นเป็น z วิธีทำ 1. เนื่องจากเส้นลวดนี้สมมาตรกับแกน z ดังนั้น y x 2. หาค่า เขียนสมการของเส้นลวดให้อยู่ในรูป function ของ t 3. คำนวณอัตราเร็ว

19. Example 5: a Line Integral (continued) z 4. คำนวณมวล M = y x 5. คำนวณ Mxy = 6. ได้ =

20. Vector Fields สนามเวคเตอร์: หมายถึงที่ที่ทุกๆจุดใน Space มี vector กำกับไว้เสมอ ในธรรมชาติมีตัวอย่างของสนามเวคเตอร์เช่นสนามความเร็ว (VelocityField)ของ กระแสลมที่ไหลผ่านปีกเครื่องบิน ในรูป หรือสนามแรงโน้มถ่วงก็จัดว่าเป็นสนามเวคเตอร์ ในรูป vector แต่ละตัวแทน ความเร็วของลม ณ จุดนั้นๆ จะเห็นว่าทุกๆจุดจะมีเวคเตอร์ ความเร็วของลมกำกับอยู่ ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

21. Example: Gravity Field สนามแรงโน้นถ่วง (Gravity field) เป็นสนามเวคเตอร์อย่างหนึ่ง กล่าวคือทุกๆจุดใน Space จะมีเวคเตอร์แรงดึงดูดเนื่องจากมวลสาร (โลก) ในทิศทางเข้าสู่จุดศุนย์กลางเสมอ ผิวโลก ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

22. Example: Magnetic Field สนามแม่เหล็ก (Magnetic field) ก็เป็นสนามเวคเตอร์อย่างหนึ่งที่มีเวคเตอร์เป็น เส้นแรงแม่เหล็กวิ่งจากขั้วเหนือไปขั้วใต้ ทิศทางของสนามแม่เหล็กสามารถดูได้โดยการโรยผง ตะไบเหล็กในสนามแม่เหล็กผงตะไบเหล็กจะจัดเรียงตัวในทิศทางของสนามแม่เหล็ก N S

23. How to Display a Vector Field การแสดงภาพสนามเวคเตอร์เรา มักจะใช้วิธีการวาดลูกศรเพื่อแสดง ถึง vector ณ จุดต่างๆ เช่นใน ภาพนี้เป็นภาพความเร็วของกระแส ลมในมหาสมุทรในเดือนกันยายน 1978 ที่วัดได้จากดาวเทียม Seasat ของ NASA ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

24. Example: Gradient Field Gradient field จัดเป็นสนามเวคเตอร์อย่างหนึ่ง Gradient สำหรับฟังก์ชัน 3 ตัวแปรมีสูตรว่า โดย f(x,y,z) เป็น Scalar function

25. Equation for a Vector Field โดยทั่วไปสนามเวคเตอร์จะอยู่ในรูป สำหรับ 3 มิติ สำหรับ 2 มิติ ตัวอย่าง 1 1 0 0 -1 0 1 -1 0 1

26. Work Done by Force นิยามของงาน(Work)ในทางฟิสิกส์หมายถึงผลคูณระหว่างแรงกับระยะทางที่เคลื่อน ที่ในแนวแรง หรือ Dot product ระหว่างแรงกับระยะขจัด นั่นเอง งานจากการลากวัตถุ M M ปัญหา:ในกรณีที่เราเคลื่อนที่ไปตาม Curve ที่อยู่ในสนามแรง จะมีวิธีการคำนวณงาน ที่เกิดขึ้นอย่างไร Vector field Work = ?

27. Work at A Point on the Curve ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus เมื่อเราแบ่ง Curve เป็นส่วนย่อยๆ แล้วพิจารณา งานที่จุดเล็กๆบน Curve 1. เรามีระยะการเคลื่อนที่จากจุด pk ไป pk+1คือ 2. ทิศทางการเคลื่อนที่ที่จุด kอธิบายได้โดยใช้ Unit Tangent vector 3. แรงที่จุด kคือ ดังนั้นงานที่จุด kคือ เมื่อรวมงานที่ทุกๆจุดบน Curve เราจะได้

28. Work Over a Smooth Curve จากแผ่นที่แล้ว งานรวมทั้งหมดบน Curve โดยประมาณ จะเป็น เมื่อให้ เราจะได้ ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

29. Work Over a Smooth Curve (continued) จากบทที่ 11 - ตำแหน่งบน Curve Cอธิบายโดยใช้ Parameterized Form - Unit Tangent Vector คำนวณได้จาก - dsคำนวณจาก จะได้สูตร งานที่เกิดจากการเคลื่อนที่ตามเส้นโค้งในสนามแรง

30. How to Evaluate a Work Integral หลักการคำนวณงานโดยใช้สูตรอินทีกรัล 1. เขียน Curve ในรูป 2. เขียน ในรูปฟังก์ชันของ tโดยการแทนค่า x = g(t), y = h(t) และ z = k(t) 3. คำนวณ 4. คำนวณDot Product 5.ทำการอินทีเกรต

31. Work Integral in Different Forms สูตรของ Work integral สามารถเขียนได้หลายรูปแบบดังนี้ เขียนในเชิง Components ในที่นี้

32. Example: a Work Integral จงหางานที่เกิดจากการเคลื่อนที่ในสนามแรง ไปตามเส้นโค้ง จากจุด (0,0,0) ไป (1,1,1) วิธีทำ 1. แทนค่า x = t, y = t2, z= t3ในสมการของ ได้ = 2. หา 3. คำนวณ 4. คำนวณ Work = =

33. Flow Integrals Flow ถ้าแปลตรงตัวจะหมายถึงอัตราการไหลของของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่หนึ่งๆ ของไหลในที่นี้อาจจะเป็นของเหลวหรือก๊าซจริงๆ ที่ไหลได้ หรือ สนามแรงเช่นสนามแม่เหล็ก (ที่ไม่ได้ไหลจริงๆ) ก็ได้ Flow ที่ไหลไปตาม Curve Cมีสูตรการคำนวณเช่นเดียวกับ Work กล่าวคือ C ในที่นี้สนามเวคเตอร์ ไม่ใช่แรงในทางฟิสิกส์ แต่เป็นสนามความเร็ว(Velocity field) เราจะเรียกการอินทีเกรตแบบนี้ว่า Flow integral และเรียกผลลัพธ์ที่ได้นี้ว่า Flowalong theCurve

34. Example: Flow Integrals กำหนดให้สนามความเร็วของของไหลเป็น จงหา Flow ที่ไหลไปตามเส้นโค้ง วิธีทำ 1. แทนค่า x =cos t, y = sin t, z= tในสมการของ ได้ 2. หา = 3. คำนวณ 4. คำนวณ Flow = =

35. Circulation ถ้า Cเป็น Closed curve (คือ curve ที่ครบรอบ)เราจะเรียก Flow นี้ว่าเป็น Circulation หรือ อัตราการไหลวนของของไหลที่ไหลไปรอบๆ ClosedCurve ตัวอย่าง จงหา Circulation ของสนาม รอบๆวงกลม วิธีทำ 1. แทนค่า x =cos t, y = sin tในสมการของ ได้ 2. หา 3. คำนวณ 4. คำนวณ Circulation =

36. Flux Across a Plane Curve ปริมาณอีกอย่างหนึ่งที่คล้ายกับ Flow คือ Flux ซึ่งหมายถึงปริมาณรวมของไหลที่ไหลเข้า-ออก พื้นที่ภายใน Closed curve ดังรูป - ถ้าปริมาณของไหลที่ไหลออกมีมากกว่าที่ไหลเข้า จะได้ Flux เป็นบวก - ถ้าปริมาณของไหลที่ไหลเข้ามีมากกว่าที่ไหลออก จะได้ Flux เป็นลบ หลักการของ Flux ใช้กันมากในวิชากลศาสตร์ของไหล และสนามแม่เหล็ก-ไฟฟ้า สูตรคำนวณ Flux ของ Closed curve ในระนาบ 2 มิติ ให้ Cเป็น smooth closed curve ในสนามเวคเตอร์ ในระนาบ xy และ ให้ เป็น Outward-pointing unit normal vector (เวคเตอร์หนึ่งหน่วย ที่ตั้งฉากกับ Cและชี้ออกจาก C ) เราจะได้

37. Outward-pointing Unit Normal Vector ในการคำนวณเวคเตอร์ เราสามารถคำนวณได้จากการทำ Cross product ระหว่างUnit tangent vector ของ C และ Unit normal vector ของระนาบ xy ในที่นี้เราต้องกำหนดทิศทางของ Tangent vector ว่าจะมีทิศตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา ถ้ากำหนดให้ทิศทางการอินทีเกรตตามเส้นโค้ง C มีทิศทวนเข็มนาฬิกาจะได้ ถ้ากำหนดให้ทิศทางการอินทีเกรตตามเส้นโค้ง C มีทิศตามเข็มนาฬิกาจะได้ ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus

38. Formula for Calculating Flux Across a Plane Curve จากเส้นโค้งปิด C: โดยทั่วไปเราจะกำหนดให้การอินทีเกรตตามCมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ ดังนั้นเวคเตอร์ คำนวณได้จาก เมื่อให้ จะได้ เราจะได้สูตร

39. Example: Flux Across a Plane Curve จงหา Flux ของสนามรอบๆวงกลมในระนาบ xy วิธีทำ0. เขียน Curve ให้อยู่ในรูป function ของ tได้ 1. แทนค่า x =cos t, y = sin tในสมการของ ได้ M = ในที่นี้ได้ N = 2. คำนวณ dx = dy = 3. สร้างสูตร 4. อินทีเกรตได้ =

40. Path Independence and Conservative Field ในการคำนวณหางานที่เกิดจากการเคลื่อนไปตามเส้นทาง (Path) ในสนามแรงนั้น เราใช้สูตรของ Line Integral ซึ่งจะมีเส้นทางการเคลื่อนที่มาเกี่ยวข้องในสูตร งานที่ได้มักจะขึ้นกับเส้นทางนี้ แต่ใน สนามแรงบางอย่างจะมีปรากฏการณ์ที่ว่า สำหรับเส้นทางการเคลื่อนที่ทุกเส้นทางที่มี จุดเริ่มต้นจุดเดียวกัน และมีจุดสุดท้ายจุดเดียวกัน ไม่ว่าเราจะใช้เส้นไหนในการเคลื่อนที่ ก็จะได้งานเท่ากันเสมอ กล่าวคืองานที่ได้ไม่ขึ้นกับเส้นทาง แต่ขึ้นกับตำแหน่งเริ่มต้นและ ตำแหนงสุดท้ายเท่านั้น เราเรียกปรากฏการณ์นี้ว่า Path Independence ความเป็นอิสระต่อวิถี Path 1 และเราเรียกสนามแรงแบบนี้ว่า Conservative fields สนามอนุรักษ์ Path 2

41. Path Independence and Conservative Field นิยาม ให้ เป็นสนามแรงที่ถูกนิยามใน open region D ใน space และให้ จุด A และ B เป็นจุด 2 จุดใดๆใน D ถ้างานที่เกิดจากการเคลื่อนที่จาก A ไป B มีค่าเท่ากันตลอดไมว่าจะเคลื่อนที่ในเส้นทางใด เราเรียกการอินทีเกรต ว่าเป็น Path independent in Dและเรียก field ว่า เป็น Conservative on D ตัวอย่าง ไม่ว่าเราจะเดินจากชั้น 1 ขึ้นมาเรียนหนังสือที่ชั้น 5 ตึกเพียรวิจิตรด้วยเส้นทางใดก็ตาม เราจะได้งานในการเดินขึ้น เท่ากันหมด Work = mgh

42. Potential Function สนามเวคเตอร์ที่เป็น Conservative ที่พบบ่อยในทางปฏิบัติคือ สนามเวคเตอร์ ที่ เป็น Gradient field ของ Scalar functionกล่าวคือถ้า แล้วเราเรียก fว่า a potential function สำหรับ ตัวอย่างของ Potential function - ในวิชาฟิสิกส์ ความต่างศักย์ไฟฟ้าจัดเป็น Potential function ของสนามไฟฟ้า หรือ สนามไฟฟ้า ก็คือ เกรเดียนต์ของความต่างศักย์ไฟฟ้า นั่นเอง - ศักย์แรงโน้มถ่วงก็เป็น Potential function ของสนามแรงโน้มถ่วง ทั้งสนามแรงโน้มถ่วงและสนามไฟฟ้าจัดว่าเป็นสนามอนุรักษ์ ทำให้ได้ว่า “ไม่ว่าเราจะเดินจากชั้น 1 ขึ้นมาเรียนหนังสือที่ชั้น 5 ตึกเพียรวิจิตรด้วยเส้นทางใดก็ตาม เราจะได้งานในการเดินขึ้น เท่ากันหมด”

43. Line Integrals in Conservative Fields ทฤษฎีที่ 1 1. ให้ เป็นสนามเวคเตอร์ที่ต่อเนื่องบนโดเมน D เราจะได้ว่า ก็ต่อเมื่อ เป็นอิสระต่อวิถี สำหรับทุกๆจุด A และ B ใน โดเมน D 2. ถ้า เป็นอิสระต่อวิถี จะได้ว่า หมายความว่า - ถ้า F เป็นเกรเดียนต์ของสนาม Scalar บางอย่าง แล้ว F จะเป็นสนามอนุรักษ์ - ถ้า F เป็นสนามอนุรักษ์ การอินทีเกรตจะเป็นอิสระต่อวิถี คือจะไม่ขึ้นกับทางเดิน (Path) แต่จะขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุดเท่านั้น

44. Proof: Line Integrals in Conservative Fields เป็นอิสระต่อวิถี ถ้า แสดงว่า พิสูจน์ ให้ เป็นเส้นทางราบเรียบที่เชื่อมระหว่างจุด A และจุด B เราจะได้ ดังนั้น

45. Example: Line Integrals in Conservative Fields จงคำนวณงานที่เกิดจากการเคลื่อนที่วัตถุในสนามแรง จากจุด (-1,3,9) ไปยัง (1,6,-4) วิธีทำ ในโจทย์ข้อนี้ ไม่ได้บอกว่าเราใช้เส้นทางใด ในการเคลื่อนที่ บอกเพียงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ซึ่งก็พอเพียงสำหรับการอินทีเกรตในสนามอนุรักษ์ (วิธีการพิสูจน์สนามอนุรักษ์อยู่ในเรื่องถัดไป) ในข้อนี้ ถ้าเราให้ เราจะได้ ซึ่งแสดงว่า เป็นสนามอนุรักษ์โดยมี f เป็น Potential function ดังนั้นเราสามารถใช้สูตร จะได้

46. Close Loop Properties of Conservative Fields กรณีพิเศษของการอินทีเกรตในสนามอนุรักษ์คือการอินทีเกรตตามเส้นโค้งปิด ซึ่งเนื่องจากว่า เส้นโค้งปิดเป็นเส้นโค้งที่มีจุดเริ่มต้นกับจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกันดังนั้น เราจะได้: ทฤษฎีที่ 2 1. สำหรับสนามเวคเตอร์ ที่เป็นสนามอนุรักษ์ เราจะได้ สำหรับเส้นโค้งปิด Cทุกเส้น หรือ ในทางกลับกัน สำหรับเส้นโค้งปิด Cทุกเส้น 2. ถ้า จะได้ว่าสนามเวคเตอร์ เป็นสนามอนุรักษ์ เส้นโค้งปิด มีจุด A เป็นทั้งจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด C A

47. Proof 1: Close Loop Properties of Conservative Fields ข้อ 1. สำหรับสนามเวคเตอร์ ที่เป็นสนามอนุรักษ์ เราจะได้ พิสูจน์: สำหรับเส้นโค้งปิด Cทุกเส้น วิธีทำ B เส้นโค้งปิด C สามารถแบ่งเป็นสองส่วนคือ C1และC2 C2 โดย C1เป็นส่วนเส้นทึบที่วิ่งจาก A ไป B C2เป็นส่วนเส้นประที่วิ่งจาก B ไป A C เราสามารถอินทีเกรตครบรอบตามเส้นโค้ง C ได้โดย สมการที่ 1 A C1 2. ถ้าเรากลับทิศทางการเคลื่อนที่ในเส้นโค้ง C2เราจะได้ เส้นโค้ง -C2 วิ่งจาก A ไป B B -C2 สมการที่ 2 C เพราะเป็นการกลับทิศการอินทีเกรตเท่านั้น A C1

48. Proof 1: Close Loop Properties of Conservative Fields (cont.) 3. แทนค่าสมการที่ 2 ลงในสมการที่1 4. เนื่องจากเส้นโค้ง C1และเส้นโค้ง -C2 วิ่งจาก B ไป A ผลลัพธ์ไม่ขึ้นกับเส้นทาง C1หรือ -C2 เพราะ F เป็นสนามอนุรักษ์ เราจึงได้ หรือ

49. Proof 2: Close Loop Properties of Conservative Fields ข้อ 2. ถ้า สำหรับเส้นโค้งปิด Cทุกเส้น จะได้ว่า เป็นสนามอนุรักษ์ พิสูจน์ วิธีทำ 1. ให้ C1เป็นเส้นทึบและ C2เป็นเส้นประ ที่วิ่งจาก B ไป A คนละเส้นทาง B C2 2. เราสามารถสร้างเส้นโค้งปิดได้โดยการต่อเส้น C1กับเส้น -C2 ดังรูปข้างล่าง เราจะได้ C A C1 B 3. เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ -C2 ดังนั้น C A C1 สร้างเป็นเส้นโค้งปิด

50. Proof 2: Close Loop Properties of Conservative Fields 4. เนื่องจาก เราจะได้ หรือ หมายความว่า ผลลัพธ์ไม่ขึ้นกับเส้นทาง C1หรือ C2ดังนั้น F เป็นสนามอนุรักษ์ สรุปความสัมพันธ์ ถ้า เป็นสนามอนุรักษ์ ถ้า F เป็นเกรเดียนต์ของสนาม scalar บางอย่าง จะได้ F เป็นสนามอนุรักษ์และ