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1. ROBOTICS3 장 : MANIPULATOR KINEMATICS Http://raic.kunsan.ac.kr

2. Contents • Introduction • Link description • Link connection description • Convention for affixing frames to link • Manipulator kinematics • Actuator space, Joint space and Cartesian space • Examples : Kinematics of two industrial robots • Frames with standard names • WHERE is the tool? • Computational considerations

3. Introduction • Robot Manipulator : A set of bodies(links) connected in a chain by joints (revolute joint or prismatic joint) • 기구학(kinematics)? 움직임을 일으키는 힘, 토크, 관성 등을 고려하지 않고 그 기하학적인 움직임과 시간을 기준으로 한 움직임을 연구하는 학문 • 학습 중점 사항 정지된 위치에서 Manipulator linkage의 위치와 방위를 고려. 특히 Manipulator end-effector의 위치와 방위를 manipulator의 기저부를 기준으로 하는 관절 변수들의 함수로 계산하는 방법을 주로 학습

4. Link description • Link? 링크는 Manipulator의 두 이웃 하는 관절 축 사이의 관계를 정의하는 강체(rigid body) • Link length(링크의 길이: a i ) The distance of the line which is mutually perpendicular to both axis. • Link twist (링크의 뒤틀림: i) The angle between two line which are projection of both axis onto a place whose normal is the mutually perpendicular line.

5. Link connection description • Link offset (d i) The signed distance measured along the axis of joint i from the point where a i - 1 intersects the axis to the point where a i intersects the axis. if joint i is prismatic is d iis variable • Joint angle(i) The angle made between an extension of a i - 1 and a i measured about the axis of joint i if joint i is revolute is i is variable • 4개의 링크인자에 의해 로봇의 기구부를 정의하는 방법 -데나비트-하텐버그 방법

6. Link parameter

7. Convention for affixingframes to link I • 각 링크들에 대한 위치를 기술하기 위하여 각 링크에 계(Frames)를 정의한다. • Zi축은 Axis i에 일치시킨다. • Xi축은 a i (Link length)방향으로 설정한다. • 원점은 Axis i와 a i가 수직인 점으로 한다. • Yi축은 오른손 법칙에 의해 정의한다. • 링크인자를 링크계의 용어로 정리 - a i = X i를 따라 측정한 Z i 에서Z i + 1까지 거리 -  i= X i를 주위로 측정한Z i에서Z i + 1사이의 각도 - d i = Z i를 따라 측정한X i - 1에서X i 까지 거리 - i = Z i를 주위로 측정한X i - 1에서X i사이의 각도 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

8. Convention for affixingframes to link II ˆ Zi - 1 ˆ Yi - 1 ˆ Zi ˆ Yi ˆ Xi - 1 ˆ X i

9. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X3 X2 X1 X0 Y0 Y3 Y1 Y2 Denavit-Hartenberg notation I 기준계는 기저에 위치하고 첫째 관절변수 i이 영일때 계 {1}과 정렬. 모든 관절축들은 팔의 평면에 대하여 수직(di = 0)

10. Denavit-Hartenberg notation II 기준계는 기저에 위치하고 있지 않지만 링크 0에 견고하게 부착되어 있다. * if joint i is prismatic is d iis variable * if joint i is revolute is i is variable

11. Manipulator kinematics I • 링크변환의 유도(Derivation of link transformations) • 계(i)를 계(i -1)에 기준으로 변환을 결정할 때 일반적으로 1개 변수 만의 함수이고 나머지 3개의요소는 기계 설계상 고정 • 기구학적 문제를 n개의 작은 문제 분리해서 해석 • 한 개의 링크요소 만의 함수로 표현 • 일반적으로 링크의 중간 계(Frames)를 {P}, {Q}, {R}로 정의 • 계{i-1}, 계{P}, 계{Q}, 계{R}, 계{i}의 순차적인 연관성으로 링크i-1에서 다음링크 i를 표현 i - 1P =i - 1TRTQTPTiP i - 1P = i - 1TiP R Q P i i

12. Manipulator kinematics II ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

13. Manipulator kinematics III 위의 식에서 변환식을 유도하면 i – 1T = i - 1TRTQTPT 와 같이 표현할 수 있고, 이를 다시 표현하면 i – 1T = Rx(i - 1) Dx (a i - 1)Rz(i ) Dz(d i) 또는 i – 1T = Screwx(a i – 1, i –1) Screwz(i , d i) 여기에서 ScrewQ(r, )는 축 Q를 따라서 거리 r만큼의 전위와 같은 축의 주위로 만큼의 회전을 의미. i R Q P i i i

14. Manipulator kinematics IV 앞의 식들을 정리해서 일반식으로 정리하면 i – 1T = • 일단 링크 계가 정의되고, 그에 상응하는 링크인자가 구해지면 링크 인자값을 사용하여 링크 변환 행렬을 구하고 링크 변환행렬을 서로 곱한 변환은 n개의 관절변수 모두의 함수가 된다. i

15. Actuator space, joint apaceand Cartesian space I • 관절공간 (Joint space) :n자유도 Manipulator에 있는 모든 링크는 n개의 관절변수 조합으로 명시되는데 이 변수의 조합을n 1 관절벡터 라고 한다. 이 관절벡터가 형성하는 공간을 관절공간이라 한다. • 직각 관절공간(Catetian space) :직교하는 축을 따라 위치와 방위를 측정하기위한 공간 (작업지향적공간: Task oriented space, 또는 구조공간 : Operational space) • 기구학 관절은 어떤 종류의 Actuator에 의해서 가동 하는 것으로 가정하는데, 실제의 산업용 로봇에서는 Actuator에 대한 위치의 개념을 고려해서 해석해야 한다. 이런 Actuator에 대한 위치의 해석을 Actuator벡터라 하고 때때로 이 Actuator 벡터의 함수로 관절벡터를 계산한다.

16. Examples : Kinematics of industrial robots PUMA 560

17. Examples : Kinematics of industrial robots 각각의 링크인자가 구해지면 앞에서 설명한 링크 변환 행렬의 일반식에 적용하여 링크변환행렬을 구하고 이 행렬들을 곱해서 구해지는 변환행렬을 해석함으로써 기구학적인 해석 즉 계{0}을 기준으로 한 계{6}의 위치와 방향을 계산할 수 있다. Px = c1 [ a2c2 + a3c23 – d4s23] – d3s1 Py = s1 [ a2c2 + a3c23 – d4s23] + d3c1 Pz = – a3s23 – a2s2 – d4c23 PUMA560의 링크인자

18. Examples : Kinematics of industrial robots • 야스가와 모토맨 Px = c1 [ l2c2 + l3c23] Py = s1 [ l2c2 + l3c23] Pz = – l2s2 – l3s23

19. Frames with standard names I • 기저계(The base frames : {B}) • Manipulator의 기저에 위치 • 단순히 계{0}의 다름 이름, 가끔 링크 0라고도 함 • 움직이지 않고 고정되어 있는 부분 • 정지계(The station frames : {S}) • 작업과제와 관련된 계, 로봇의 작업대 구석에 위치 • 로봇을 이용하는 사람의 입장에서는 {S}는 우주계이고 모든 로봇의 행동이 이 계를 기준으로 움직임 • 항상 기저계를 기준으로 명시됨 • 손목계(The wrist frames : {W}) • Manipulator의 마지막 링크에 위치 • 계 N의 다른 이름, {W}의 원점은 대부분 손목에 고정. • 기저계를 기준으로 명시됨

20. Frames with standard names II • 공구계(The tool frames : {T}) • 로봇이 들고 있는 공구의 끝에 고정 • 손이 비어 있을 경우 로봇의 손톱끝 중간에 원점설정 • 손목계를 기준으로 명시 • 목적계(The goal frames : {G}) • 로봇이 공구를 이동시키고자 하는 위치 표시 • 운동의 종료시 공구계와 목표계를 일치 • 정지계를 기준을 명시

21. Frames with standard names III [ 표 준 계 ] [ 표준계 설정의 예 ]

22. WHERE is the tool? • 공구계 {T}값들을 정지계{S}를 기준으로 계산 • ST = BT-1BT WT (WHERE함수) • 팔이 어디에 있는가를 계산 • 출력결과는 작업대상으로부터 기준한 핀의 위치와 방위 • 링크의 기하학적 형태에 따른 기구학적 양을 계산 • 기저에서 일반화된 변환과 말단효과장치의 일반화된 변환을 계산 • 오프셋과 뒤틀림을 동반하는 공구를 고려할 수 있게 하고, 임의의 정지계를 기준 하여 동작할 수 있게 함 T S W T

23. Computational consideration • 관련된 수치값의 표현을 고정점 또는 가변점으로 하는 가에 대한 선택 • 가변점 : 변수의 상대적 크기를 스케일 할 필요 없음. 소프트웨어의 개발이 용이. • 고정점 : 계산속도가 빠름. 변수들의 동적변화 범위가 넓지 않고 범위가 상당히 정확 히 알려짐. • 방정식을 요소분해하면 경제적이다. • 초월함수의 계산은 Look up table을 사용한다. • 중복되는 계산은 피한다.