Esame di Stato 2007/2008 Liceo Scientifico Aldo Moro, Rivarolo Cse Pastore Erica « La successione di Fibonacci e la Se

1. Esame di Stato 2007/2008Liceo Scientifico Aldo Moro, Rivarolo CsePastore Erica«La successione di Fibonacci e la Sezione Aurea.»Φ

2. La Successione di Fibonacci

3. Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci, matematico italiano, dopo avere assimilato durante numerosi viaggi le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in Europa.

4. Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia? «Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.» Liber Abaci

5. Risoluzione del problema Fibonacci risolse questo problema con una successione che prevedeva che le coppie generate ogni mese fossero la somma di quelle generate nei due mesi precedenti: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377

6. Cos’è una Successione? In matematica, una Successione è un elenco ordinato di un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali è possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n. A differenza di quanto avviene per gli insiemi, per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può comparire più volte. Formalmente, una Successione viene definita come una funzione che associa a un numero Naturale n un numero Reale an. Rappresentando la Successione sul Piano Cartesiano, non si ottiene una curva ma un insieme discreto di punti.

7. La successione di Fibonacci In particolare, la successione di Fibonacci è una successione di numeri interi definiti dalla coppia 1,1 in cui l’elemento successivo è dato dalla somma dei due precedenti. Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, sono chiamate successioni ricorrenti o ricorsive. an = an-1 + an-2 con n > 1 Fn = 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393...

8. Proprietà della Successione I numeri di Fibonacci godono di una stupefacente gamma di proprietà di grande interesse: • Qualsiasi numero della successione e quello che lo precede sono primi tra loro, ossia non hanno fattori primi comuni. • Dividendo qualunque numero per il secondo che lo precede nella sequenza, si ottiene sempre 2 come risultato e come resto il numero immediatamente precedente il divisore. an / an-2 = 2 con il resto di an-3 • la somma di tutti i numeri di Fibonacci fino ad un punto scelto, più 1, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti avanti. a1+ a2 + a3 + 1 = a5 ovvero 1 + 1 + 2 + 1= 5 • la somma dei quadrati dei numeri della successione, fino ad un punto qualsiasi, è uguale all’ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo

9. Proprietà fondamentale Certamente la proprietà principale e più utile nelle scienze è quella per cui il rapporto Fn / Fn-1, al tendere di n all’infinito, tende al numero algebrico irrazionale chiamato numero di Fidia e definito cn la lettera greca Φ.

10. Applicazioni della Successione di Fibonacci: MATEMATICA In matematica, si noti come la successione di Fibonacci sia strettamente legata al triangolo di Pascal. Questo triangolo è un metodo, o meglio una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n. Considerando le diagonali ascendenti, ovvero quelle linee ottenute spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra, la somma dei numeri su queste righe è un numero di Fibonacci

11. Applicazioni della Successione di Fibonacci: ECONOMIA Un’applicazione moderna nell’economia dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da questa successione, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot, ossia degli indici che studiano l’andamento dei prezzi di un titolo, regolati secondo questo matematico da un principio naturale, ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98.

12. Applicazioni della Successione di Fibonacci: INFORMATICA I numeri di Fibonacci sono utilizzati inoltre nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto Fibonacci heap che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione di algoritmi, ossia dei procedimenti che consentono di ottenere un risultato atteso eseguendo, in un determinato ordine, un insieme di passi semplici corrispondenti ad azioni scelte solitamente da un insieme finito.

13. Rappresentazioni Artistiche della successione La successione di Fibonacci è considerata talmente importante per la matematica e in generale per la scienza da essere diventata oggetto di opere d’arte. In Italia, precismente a Torino,all’angolo tra Via Montebello e Via Po, fino a poco tempo fa alzando lo sguardo verso la grande cupola della Mole Antonelliana, si poteva ammirare, ben fissata alle sue pareti dal progettista Mario Merz, una serie di grandi caratteri illuminati al neon, reppresentanti la Successione di Fibonacci.

14. La Sezione Aurea Φ « Il rapporto Aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.»

15. Proporzione estrema e media AB : AC = AC : CB La prima chiara definizione di questo rapporto fu formulata tre secoli prima di Cristo, da uno dei padri della geometria: Euclide, matematico greco vissuto ad Alessandria. In una sua opera, Elementi (Stoichia), un trattato di tredici volumi sulla geometria e sulla teoria dei numeri, è presente per la prima volta il rapporto aureo, chiamato con il nome proporzione estrema e media, all’interno del libro VI; egli si sofferma su un particolare rapporto di lunghezze, ottenuto dividendo una linea secondo la suddetta proporzione. Egli afferma: «Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore.»

16. Rettangolo Aureo Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ. Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore Φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili.

17. Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di accostare in successione di quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune.

18. Spirale logaritmica La spirale logaritmica è caratterizzata dal fatto che le distanze fra i bracci della spirale aumentano secondo una progressione geometrica; utilizzando i numeri di Fibonacci, si può ottenere dunque un particolare tipo di spirale logaritmica. Riconsiderando il rettangolo aureo e la sua suddivisione in figure minori e simili, è possibile ottenere la creazione di questa spirale: essa è generata da archi di circonferenza che hanno come raggi i lati dei quadrati costruiti sui lati minori. La spirale si sviluppa intorno a un punto detto «occhio di Dio», ossia il punto d’incontro tra le due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli.

19. Manifestazioni della spirale in natura La successione di Fibonacci ha un ruolo fondamentale nella fillotassi, ossia la disposizione delle foglie nel gambo di fiori e piante. Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami sul tronco tendono a disporsi in modo tale da avere una massima esposizione al sole: per questo motivo la loro successione segue un andamento rotatorio e spiraliforme. Keplero, luminare della scienza del XVI e XVII secolo, fu il primo a scoprire intuitivamente il rapporto tra fillotassi e numeri di Fibonacci; nei suoi scritti egli afferma: «E’ in modo paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé [allusione alla natura ricorsiva della successione di Fibonacci] che, a mio avviso, funziona la naturale facoltà di accrescimento.» In effetti analizzando le spirali formate dalle foglie nei rami di alcuni organismi vegetali, prima di completare un giro seguendo l’andamento rotatorio si contano un numero di elementi appartenente alla serie di Fibonacci.

20. Uno dei più evidenti esempi di fillotassi basata sui numeri di Fibonacci è l’ananas. Ognuna delle squame che rivestono questo frutto appartiene a tre spirali diverse, evidenziate in figura: una che sale da sinistra verso destra ripidamente (verde),una con angolazione minore sempre nella stessa direzione (blu) e un’ultima da destra verso sinistra (rossa). Le quantità di queste spirali presenti coincidono con i numeri della successione di Fibonacci. Allo stesso modo, anche le squame delle pigne e i semi del girasole sono disposte con andamenti spiraliformi secondo la serie di Fibonacci, in modo da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla e non troppo ammassati al centro.

21. Un particolare molluschio chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come «fossile vivente». Questa definizione indica particolari tipi di organismi, animali o vegetali, con caratteristiche morfologiche primitive e soggetti ad un processo evolutivo molto lento: infatti si pensava che questo fossile si fosse estinto al termine del periodo del Paleozolico, ma dal 1828 è stato osservato nuovamente in vita.Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inutilizzabili perché troppo piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione,creando la particolare forma a spirale logaritmica e facendo in modo di non mutare la forma del guscio.

22. Manifestazioni della spirale nell’Universo La magia dei numeri di Fibonacci e del loro rapporto aureo non si limita a “infiltrarsi” nella natura della Terra, ma va ben oltre il nostro mondo. La spirale logaritmica, costruita secondo questa successione di numeri, è riscontrabile nell’ Universo e dona la forma a certi tipi di galassie. La galassia è un sistema legato gravitazionalmente costituito da stelle, gas interstellare e polveri cosmiche; esse generalmente si dividono in tre tipi principali: ellittiche (indicate con la lettera E nello schemadi Hubble), spirali (S) e irregolari (non presenti nello schema).

23. Sono proprio le galassie a spirale a essere caratterizzate dalla forma a spirale logaritmica. Queste hanno la forma di un disco, con un nucleo globulare (bulge) e alcuni bracci a spirale che si avvolgono attorno ad esso. Il tutto e' in rotazione attorno all'asse con una velocita' angolare che varia dal centro alla periferia.  Le galassie a spirali sono piuttosto numerose, hanno masse comprese tra 1 e 100 miliardi di volte quella del Sole e diametri tra i 70.000 e i 100.000 anni luce in media. Il contenuto di queste galassie e' piuttosto disomogeneo: la densita' della materia aumenta dalla periferia verso il centro. Di questo tipo di galassia fanno parte anche le spirali barrate, che si indicano con la notazione SB seguita dalle lettere a, b o c. Esse sono identiche alle precedenti, salvo per il fatto che le braccia partono dalle estremita' di una barra di stelle e gas che attraversa diametralmente il bulge, anziche' direttamente da questo. Le SB rappresetnano circa il 30 % del totale delle spirali. 

24. La nostra Galassia e' una spirale di tipo SBb nella classificazione di Hubble e prende il nome di «Via Lattea». Come galassia, la Via Lattea è una gigante, con una massa compresa tra 750 e 1.000 miliardi di masse solari ed un diametro di circa 100.000 anni luce. Essa appartiene al Gruppo Locale, ossia un piccolo gruppo di 3 grandi ed oltre 30 piccole galassie, nel quale occupa la seconda posizione per dimensioni ma la prima per massa. La sua struttura è caratterizzata da un bulge attraversato da una struttura simile ad una barra, circondato da gas e polveri: da questa partono quattro strutture a spirale orientate secondo lo schema delle spirali logaritmiche. Il Sistema Solare si trova nei pressi del bordo interno del braccio di Orione, a circa 8.000 parsec dal centro della Via Lattea, impiegandoc irca 225-250 milioni di anni per completare un'orbita attorno alla Galassia.

25. La sezione Aurea in arte Da sempre nell’arte si va ricercando un canone di perfetta proporzione, che riesca ad infondere all’opera un senso di armonia e piacere estetico; che sia proprio la Sezione Aurea il traguardo?

26. La Sezione Aurea nel mondo pre-classico Sia nei Megaliti di Stonehenge sia in alcune steli Babilonesi il Rapporto Aureo sembra essere individuabile, ma è opportuno precisare che le misure raggiungono sommariamente questo rapporto e non vi è alcun documento che assicuri l’individuazione della proporzione aurea in queste testimonianze antiche; tuttavia il fatto che popolazioni così antiche fondassero le loro opere d’arte su un canone apparentemente legato al rapporto aureo è un chiaro segnale di come questo sia indice di gradimento all’occhio umano in tutte le generazioni.

27. Verso il 2.500 a.C l’epoca delle grandi piramidi raggiunse il suo massimo splendore con la costruzione della celeberrima triade delle piramidi di Giza, tra cui La Piramide di Cheope, unica delle Sette Meraviglie del mondo antico a noi rimasta, serviva ai faraoni della Quarta Dinastia come testimonianza della potenza del sovrano e dell’efficienza della società Egiziana. Nei diversi rapporti tra le misure della piramide è noto che il rapporto fra l'apotema e metà del lato di base è uguale a «phi»

28. La Sezione Aurea nel mondo classico La civiltà classica greca si pose come scopo quello di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici: gli antichi architetti dunque nei loro edifici dovevano ricercare l’ «accordo tra le misure» mediante la ripetizione di rapporti proporzionali privilegiati. In particolare un celebre esempio di trionfo del rapporto divino come modulo è il Partenone dell’Acropoli di Atene, progettato dall’architetto Fidia, da cui deriva il nome Phi del Rapporto: sia in facciata sia in pianta sono numerose le Sezioni Auree rispettate.

29. Per quanto riguarda invece il mondo romano, il più alto esempio di interazione tra il rapporto divino e le opere d’arte del periodo classico è l’Arco di Costantino, costruito per onorare appunto Costantino I e la sua vittoria su Massenzio. In questo arco a tre fornici i rilievi di Marco Aurelio sono costruiti con una proporzione armonica di due terzi, quelli di Traiano sono basati sulla sezione aurea: l’unica possibilità d’accordare le due proporzioni era, invece di sviluppare totalmente il rettangolo aureo dal punto mediano del lato, contenerne lo sviluppo entro il quadrato, puntando il compasso sui due angoli di base, su questo rettangolo, sottounità della sezione aurea, ha impostato poi la facciata dell’arco

30. La Sezione Aurea nel mondo Gotico Il movimento artistico del «Gotico» si diffonde dal Tredicesimo al Quattordicesimo secolo in tutta Europa con caratteristiche diverse per Paese. Ma in generale gli edifici di questo periodo vengono progettati in modo da poter rappresentare il potere feudale o papale della zone: per questa ragione le cattedrali e i palazzi gotici si sviluppano in altezza con le caratteristiche guglie e tendono ad essere composizioni massicce, ricchi di contrafforti e archi rampanti per infondere quell’idea di solidità che rispecchia l’imponenza del sovrano e del vescovo della zona. Per aumentare probabilmente l’effetto di perfezione stilistica che deve scaturire nello spettatore che ammira l’edificio, il rapporto aureo viene costantemente utilizzato nella composizione dei volumi.

31. Per quanto riguarda il Gotico italiano, uno dei maggiori palazzi in cui la sezione aurea è evidente in facciata è situato a Firenze ed è chiamato Palazzo della Signoria, costruito appositamente per esaltare il potere della Signoria, ossia il consiglio cittadino. Questo edificio, progettato dall’architetto e scultore Arnolfo di Cambio, riprende lo stile delle case-torri medievali assumendo le caratteristiche di un fortilizio. Per aumentare l’imponenza della composizione innanzi tutto l’edificio è costruito con un impianto stechiometrico: in questo modo le tre dimensioni si riescono a cogliere da qualsiasi punto si osservi; ma caratteristica fondamentale dell’edificio che equilibra l’altezza così sproporzionata della torre è proprio la sua posizione: essa divide il ballatoio in due parti secondo il rapporto aureo. La struttura è dunque chiaramente imponente e incombente sullo spettatore, ma l’utilizzo del bugnato come materiale permette di alleggerire l’edificio attraverso i giochi di luce e il chiaro-scuro generato dalla sua ruvidezza.

32. Spostandosi in Francia, Notre Dame di Parigi è un edificio di particolare rilevanza rispetto alle figure geometriche che si desumono dal rettangolo aureo con la particolarità che ogni elemento della facciata discende dal rapporto aureo: infatti esso è calcolato sia nel primo sia nel secondo ordine d’altezza e anche nella distanza tra i due campanili.Se poi sulla facciata da un rettangolo aureo si taglia un quadrato si ottiene sempre ancora un rettangolo aureo. Questi rettangoli sono stati usati per disegnare armonicamente la facciata e si ripetono poi nella pianta.

33. La Sezione Aurea nel mondo Rinascimentale Il termine Rinascimento designa il periodo storico che va dalla fine del Medioevo all’inizio dell’epoca Moderna, quindi tra il 1400 e il 1600 d.C, e si riferisce alla rinascita dell’arte e della cultura classica. Dunque in questo periodo una delle caratteristiche fondamentali che deve possedere un’opera è quella della proporzione, oltre che la prospettiva, tecnica che trova il suo massimo sviluppo proprio in questi secoli. E’ proprio in questo periodo che si sviluppa un tipo di architettura basata sul «modulo», ossia una particolare figura riscontrabile in ogni singolo elemento della costruzione: si noti così il «dado brunelleschiano», costante di ogni edificio progettato da uno dei pilastri dell’arte italiana Filippo Brunelleschi; egli cerca sempre di ottenere una perfetta armonia delle forme nelle sue strutture e proprio per questo in molti casi il rapporto aureo viene da egli preso come riferimento.

34. Considerando in particolare la Cappella Pazzi, progettata sotto commissione della famiglia che ne da il nome in posizione adiacente alla chiesa di Santa Croce, si erge su una pianta rettangolare che presenta i due lati in rapporto divino. Guardando la facciata di questa cappella, ci si rende conto sin da subito dell’influenza classica dall’inserimento di un pronao retto da sei colonne. All’interno, lo spazio del rettangolo aureo è diviso in una zona quadrata centrale dove si erge la cupola ombrelliforme e due ali laterali coperti da volte a botte. La sensazione che si ha entrando nell’edificio è sempre positiva: si viene avvolti da un senso di equilibrio e armonia totale

35. Un secondo grande protagonista del Rinascimento Italiano è Piero della Francesca, pittore e matematico particolarmente fissato con la ricerca della perfezione formale. Egli crede di poter ottenere questo equilibrio delle parti attraverso una sintesi armoniosa tra luce, colore e forma, individuando quindi nelle sue opere un preciso schema prospettico e perfette proporzioni. Anch’egli ovviamente nella ricerca dell’ideale di perfezione non può tralasciare la sezione aurea, simbolo di bellezza: in molte sue opere effettivamente è riscontrabile questo rapporto. Considerando ad esempio la Flagellazione di Cristo, andando a misurare il rapporto tra la distanza delle due colonne che reggono l’atrio e la distanza tra la colonna di sinistra e quella a cui è legato Cristo, si otterrà il numero Φ. Allo stesso modo la divisione tra spazio interno ed esterno è diviso secondo la sezione aurea.

36. Questo rapporto affascinò inoltre Sandro Botticelli, uno delle pietre miliari della pittura italiana rinascimentale. Il quadro in cui è più evidente l’utilizzo della sezione divina è La nascita di Venere. In questa tela Botticelli cerca di rappresentare il motore che genera l’Amore e la Bellezza ideale attraverso la donna nuda centrale e per questa ragione il corpo è disegnato con una linea fortemente sinuosa, che addirittura deforma leggermente la figura allungandola. Cercando dunque di generare un nudo perfetto, Botticelli non poteva fare a meno di inserire il rapporto aureo che donasse armonia alla figura della donna: infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, il reciproco di Φ; così anche il rapporto tra  la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio presentano come valore il numero divino.

37. Leonardo Da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma «la pittura è la regina delle arti ed è strettamente legata alle scienze matematiche, cioè numero e misura, dette aritmetica e geometria, che trattano con somma verità della quantità discontinua e continua.» Questo discorso trova la sua rappresentazione migliore nel celebre Uomo vitruviano, in cui egli stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

38. Non è dunque difficile immaginare come Leonardo in ogni sua opera rimanga legato al numero Φ; considerando dunque la sua tela più importante, La Gioconda, si noti come il rettangolo aureo è individuabile in più parti. E’ possibile inserire in questo particolare rettangolo la disposizione generale del quadro, le dimensioni del viso, l’area che va dal collo a sopra le mani e ancora quella che va dalla scollatura dell’abito fino alla line inferiore del braccio sinistro.

39. Nell’opera L’ultima cena il rapporto aureo viene utilizzato con una particolare funzione: essendo Gesù l’unica figura divina, Leonardo lo inscrive in un rettangolo dal rapporto dei lati pari a Φ.

40. La Sezione Aurea nel mondo moderno Sicuramente il maestro dell’arte moderna per quanto riguarda l’uso della sezione aurea nelle opere è Pierre Mondrian, maestro della corrente astrattista sviluppatasi nel XX secolo. In una delle sue affermazioni più famose l’autore ci rivela la sua concezione dell’arte: «Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori e superfici. Solo in modo più nitido e più forte.» Come ci insegna la storia dell’arte, la ricerca dell’armonia coincide spesso con l’utilizzo del rapporto aureo. In effetti, analizzando l’operato dell’autore, molte sono le tele composte di rettangoli, per la maggior parte delle volte aurei.

41. Le Corbusier è colui che dona une immortale contributo all'architettura moderna, concependo la costruzione di abitazioni ed edifici come fatti per l'uomo e costruiti a sua misura: è in questa concezione che egli inserisce il Modulor. La parola che designa il sistema di rapporti deriva dalla vicinanza di due concetti fondamentali: module, ossia unità di misura e or, che indica la sezione aurea. Da questa associazione possiamo dunque dedurre che il Modulor è una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti antropometrici, vista la figura dell’uomo con il braccio alzato, e principi matematici, risconrtabili nel nome stesso. Attraverso questa schematizzazione del corpo umano Le Corbusier afferma che queste misure devono essere usate da tutti gli architetti per costruire non solo spazi ma anche ripiani, appoggi, accessi che siano perfettamente in accordo con le misure standard. Osservando la figura, i punti di riferimento presi per il calcolo delle proporzioni sono la pianta del piede, l’altezza dell’ombelico, la sommità del capo e infine la punta del dito della mano alzata verso l’alto: questi originano tre intervalli decrescenti in reciproco rapporto aureo.

42. Phi in the University of Cambridge The University of Cambridge contains a park completely devoted to the Golden Spiral: Quincy Square. The collaborators organized the configuration of amenities and landscape elements around a golden spiral form: there is a statue of a golden spiral in the middle, which continues along the ground as a metal curve through the brick for quite a distance where the statue ends. The bricks change direction according to the golden rectangle that contains the spiral.

43. The peculiarity of this park is the presence of references to the Golden Number in every corner, as these figures let us see: we can find spiral bushes, a long fence with spirals along the top, two different types of nautilus shells at the connection points and also cuorious bicycle racks theat bear the image of the greek letter Phi (Φ). There is also a plaque with infos about the Golden Ratio and the designer.

44. Phi in the United Nations Building The United Nations is an international organisation that works in order to facilitate cooperation in international relationships. The head office of the UN is situated in 760 United Nations Plaza, New York and is called United Nations Headquarters. Though it is in New York City, the land occupied is considered "international territory". The complex includes a number of major buildings but the central office is the Secretariat Tower. The stucture of the tower is quite simple: it is a parallelepiped formed by Golden rectangles in order to give armony to the composition.

45. Phi in everyday life Detaching from the artistic point of view, the Golden Section can be found in strange places, that we may not ordinarily have thought to look for it. For example, look at these three rectangles: most people tend to think that the third rectangle is the most appealing: the ratio of its length to its width is the Golden Ratio. It has long been said that beauty is a personal sensation and that it varies by race, culture or era.  However, it has been demonstrated that our perception of physical beauty is hardly based on the Golden Number.

46. Dr. Stephen Marquardt has studied human beauty for years : through his research, he discovered that beauty is not only related to phi, but can be defined for all races, cultures and eras with a special beauty mask which he developed through the Golden Ratio and pentagon and decagon that embody Φ in all their dimensions.

47. In conclusion, the Golden Section has to be considered as a really important and basic element of the Creation, since the huge amount of examples in which we can find it: some people have tried to elevate the golden section beyond what we can verify scientifically. For this reason it’s wrong to create an adoration too close to that number.