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2 ． 2.3 直线与平面平行的性质

2 ． 2.3 直线与平面平行的性质. 要点一 直线与平面平行性质定理的理解 1. 定理中有三个条件：直线 a ∥ 平面 α ； α ∩ β ＝ b ， a ⊂ β . 这三个条件缺一不可． 2 ．不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得这条直线．. 例 1 如果直线 a ∥ 平面 α ，则 ( ) A ．平面 α 内有且只有一条直线与 a 平行 B ．平面 α 内有无数条直线与 a 平行 C ．平面 α 内不存在与 a 垂直的直线 D ．平面 α 内有且只有一条与 a 垂直的直线.

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2 ． 2.3 直线与平面平行的性质

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Presentation Transcript

  1. 2．2.3 直线与平面平行的性质

  2. 要点一 直线与平面平行性质定理的理解 • 1.定理中有三个条件：直线a∥平面α；α∩β＝b，a⊂β.这三个条件缺一不可． • 2．不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得这条直线．

  3. 例1 如果直线a∥平面α，则() • A．平面α内有且只有一条直线与a平行 • B．平面α内有无数条直线与a平行 • C．平面α内不存在与a垂直的直线 • D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线

  4. 【分析】利用线面平行的性质定理并结合空间中直线与直线的位置关系判定．【分析】利用线面平行的性质定理并结合空间中直线与直线的位置关系判定． • 【解析】在平面内与已知直线平行的直线，有无数多条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，有无数条，故C、D不正确． • 【答案】B

  5. 【规律方法】此题由线面平行判断直线的位置关系，注意如果a∥α，平面α内有无数条直线与a平行，但不能说平面α内所有的直线都与a平行，因为有些是异面的；平面α内有无数条直线与a异面垂直．【规律方法】此题由线面平行判断直线的位置关系，注意如果a∥α，平面α内有无数条直线与a平行，但不能说平面α内所有的直线都与a平行，因为有些是异面的；平面α内有无数条直线与a异面垂直．

  6. 变式1　直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()变式1　直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线() • A．至少有一条　　　　 B．至多有一条 • C．有且只有一条 D．没有

  7. 解析：设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．解析：设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条． • 答案：B

  8. 要点二 线面平行性质定理的简单应用 • 1.应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．

  9. 2．在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误认识．2．在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误认识．

  10. 例2 如图所示，过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1， • 求证：BB1∥EE1.

  11. 【分析】①EE1是两平面的交线； • ②BB1⊂平面BB1E1E，且要证明BB1∥EE1，解答本题可利用线面平行的性质定理． • 【证明】∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1， • CC1⊂平面CDD1C1， • ∴BB1∥平面CDD1C1，又BB1⊂平面BEE1B1， • 且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1.

  12. 【规律方法】利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线的且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由定理得出结论．【规律方法】利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线的且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由定理得出结论．

  13. 变式2　已知：四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.变式2　已知：四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. • 求证：AP∥GH.

  14. 证明：如图所示，连结AC交BD于O，连结MO. • ∵四边形ABCD是平行四边形， • ∴O是AC中点，又M是PC的中点， • ∴AP∥OM.∴PA∥平面BMD. • ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， • ∴PA∥GH.

  15. 例3 如下图所示，▱EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的各边上，求证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.

  16. 【证明】∵四边形EFGH是平行四边形， • ∴EH∥FG. • 又∵FG⊂平面BDC，EH⊄平面BDC， • ∴EH∥平面BDC. • 又∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，

  17. ∴EH∥BD. • 又∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， • ∴BD∥平面EFGH. • 同理，AC∥平面EFGH.

  18. 【规律方法】要证明线面平行，只需证明线线平行，要证明线线平行，利用性质定理只需证明线面平行，因此，线线平行与线面平行间相互转化的灵活运用是解此类题的关键．【规律方法】要证明线面平行，只需证明线线平行，要证明线线平行，利用性质定理只需证明线面平行，因此，线线平行与线面平行间相互转化的灵活运用是解此类题的关键．

  19. 变式3　证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线互相平行．变式3　证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线互相平行． • 已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β， • 求证：a∥l.

  20. 证明：由a∥α，故过a作平面γ∩α＝b，由线面平行的性质定理可知a∥b.证明：由a∥α，故过a作平面γ∩α＝b，由线面平行的性质定理可知a∥b.

  21. 又a∥β，∴过a作平面δ∩β＝c，由线面平行的性质定理可知a∥c.又a∥β，∴过a作平面δ∩β＝c，由线面平行的性质定理可知a∥c. • 由公理4得b∥c，又已知c⊂β，∴b∥β(线面平行的判定定理) • 又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又由公理4，知a∥l.

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