Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur constructal

1. Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur constructal Daniel Tondeur, Lingai Luo LSGC Nancy LOCIE Chambéry

2. Contenu • Répartition de la dissipation visqueuse dans un distributeur fractal dichotomique (invariant d’échelle) • Equipartition d’échelle • La notion de distribution constructale, caractéristique d’une structure multi-échelle • Extension à un distributeur quadrichotomique  invariant d’échelle • Généralisation aux structures « covariantes d’échelle »

3. Un distributeur fractal

4. Les relations constitutives Loi de perte de charge dans un canal de génération k Dissipation totale dans la structure Division des débits Volume poreux Longueur des canaux

5. Optimisation • On recherche une distribution optimale de diamètres des canaux • Des lois d’échelle constructales sont obtenues: - en minimisant (par rapport aux rayons des canaux) une fonction objectif (e.g., la dissipation totale) - sous contraintes de finitude (e.g., de volume poreux total et de longueurs des canaux) - puis en exprimant les rapports de grandeurs aux échelles successives • Méthode des multiplicateurs de Lagrange

6. Cas particuliers • si r =1 : la loi d’échelle des rayons devient indépendante de la loi d’échelle des longueurs • si r=1 etq=(p-1)/3 p.ex.Poiseuille (p=4, q=1) Loi de Murray (1926)

7. Solutions explicites exprimées à l’aide de la « distribution constructale » s(m) Exemple de la forme de la distribution constructale dans le cas d’invariance d’échelle des rapports de longueurs:

8. La distribution constructales(m) • Toutes les grandeurs caractérisant la structure optimisée s’expriment à l’aide de cette distribution adimensionnelle • Elle regroupe tous les termes qui dépendent de l’indice d’échelle k • Leur sommation (série géométrique) conduit à une fonction discrète (distribution) du nombre total d’échelles m • La forme de cette distribution est caractéristique de la topologie de l’arborescence (nombre de divisions et facteurs d’échelle des longueurs) mais les exposants contiennent les exposants de la loi d’écoulement

9. Cas particulier « fractal »: les rapports d’échelle des rayons et des longueurs sont invariants et égaux Equipartitions d’échelle Les pertes de charge, les dissipations, les volumes sont invariants d’échelle

10. Un distributeur quadrichotomique nk = 4k l1 /L= √2/4 lk/lk+1 =2 fk/fk+1 = 4 fk = f0/4k

11. La quadrichotomie introduit un facteur 4 Il n’y a pas d’invariance Mais une équipartition plus générale apparaît La distribution constructale joue le même rôle que précédemment mais est différente

12. Une arborescence dichotomique non monotone nk = 2k

13. La distribution constructale est constituée de 2 séries géométriques que l’on peut sommer séparément Cas de Poiseuille Représentation de la distribution constructale s en fonction du nombre d’échelles m

14. Distribution des volumes poreux Les distributions de volumes poreux, de perte de charge et de dissipation sont identiques L’équipartition des dissipations par unité de volume est satisfaite

15. Conclusions • Les distributeurs arborescents optimisés constructalement obéissent à l’équipartition des densités volumiques de dissipation • Ces structures sont caractérisées par une « distribution constructale » dont la forme est fonction de la topologie et les exposants, de la loi d’écoulement et de la loi d’échelle des longueurs de canaux • La distribution constructale permet de représenter toutes les propriétés de l’arborescence, comme la distribution en échelles des volumes poreux et des dissipations

16. FIN DE LA PRESENTATION