数学建模过程

1. 表述 （归纳） （演绎） 求解 验证 解释 数学建模过程 现实对象与数学模型的关系

2. 建立数学模型的方法和步骤 1 方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。 统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。 系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如：层次分析法。

3. 2 建模步骤

4. 1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。 有时需查资料或到有关单位了解情况等。

5. 2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。 3）模型建立：

6. 分清变量类型，恰当使用数学工具； • 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； • 要有严密的数学推理，模型本身要正确； • 要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。

7. 5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。 6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。

8. 模型的分类 1）按变量的性质分： 2）按时间变化对模型的影响分

9. 3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。

10. 5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。 6）按对模型结构的了解程度分 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。

11. 初 等 模 型

12. 初等模型是指可以用初等数学的方法来构造和求解的模型。我们来建立以下四个问题的数学模型。初等模型是指可以用初等数学的方法来构造和求解的模型。我们来建立以下四个问题的数学模型。 我们来解决以下几个问题： 一 席位分配问题 二 核军备竞赛 三 产品的抽样检验

13. 一 席位分配问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？ 1 问题的提出 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数

14. 20个席位的分配结果 10 6 4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 10 6 4 现象1丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）

15. 为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席位。为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果 11 7 3 现象2总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？

16. 2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。

17. 一般地， 当 席位分配公平

18. 但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。 此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。 C,D的不公平程度大为改善！

19. 2） 相对不公平 表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。 则A吃亏,或对A 是不公平的。 定义“相对不公平” 对A 的相对不公 平值 同理，可定义对B 的相对不公平值为：

20. 对B 的相对不公 平值 建立了衡量分配不公平程度的数量指标 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 3 建模 若A、B两方已占有席位数为 用相对不公平值 讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。 不失一般性， 有下面三种情形。

21. 说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 情形1 说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。 情形2 计算对B 的相对不公平值 说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。 情形3 计算对A 的相对不公平值

22. 则这一席位给A 单位，否则给B 单位。 结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。

23. 若A、B两方已占有席位数为 记 则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 方人数为 ，已占有 个席位， 当总席位增加1 席时，计算 则1 席应分给Q值最大的一方。从 开始，即每方 至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）

24. 5 举例 甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？ 按Q值方法：

25. 7 4 6 10 11 13 16 17 19 20 5 8 12 14 18 9 15 21 甲：11，乙：6，丙：4

26. 练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。

27. d’Hondt方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。

28. 二 核军备竞赛 • 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。 背景 • 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。 • 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。 • 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。 • 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。

29. 模型假设 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的核威慑战略： • 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； • 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。

30. y y x1 y=f(x) y=f(x) x=g(y) y1 y0 y0 0 0 x x0 x y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数 图的模型 x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数 双方 安全区 乙安全区 P(xm,ym) 甲安全区 乙安全线 P~平衡点(双方最少导弹数)

31. y P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) y0 0 x0 x 模型解释 • 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值 y0变大 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移 平衡点PP´ 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。

32. y P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) y0 0 x0 x 模型解释 • 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变 甲方残存率变大 威慑值x 0和交换比不变 x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近 PP´ 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少

33. 三 产品的抽样检验 产品质量是每个企业都十分关心的一个问题，质量监控的一个经常采用的方法是抽样检验。人们设计出了各种各样的给出整批产品可接受准则的抽样方案。 问题：一个陶器公司生产咖啡杯，杯上饰以某著名运动员的头像，人们设计了以下两种抽样方案：

34. 方案A（单抽样方案）——随机地从批量中选20个杯子，如果有两个或少于两个不合格，就接受批量，否则拒绝该批量。方案A（单抽样方案）——随机地从批量中选20个杯子，如果有两个或少于两个不合格，就接受批量，否则拒绝该批量。 方案B(双抽样方案)——随机地从批量中选10个杯子，如果没有不合格就接受该批量，如果有两个或多于两个不合格就拒绝该批量。而若有一个不合格，再做检验，随机地选另外10个杯子，当提取第二批抽样时，计算20个组合抽样中不合格杯子的个数，如不合格数不多于1个就接受该批量，否则就拒绝该批量。 讨论这两种方法的优缺点。

35. 分析与建模 两种方法中的有效性可通过首先假设——不合格数所占的比例为p来进行分析。然后我们对每种方法求出接受该批量的概率，并对p值的一些取值范围计算其概率。 对方法A而言，若得到一个不合杯子的概率为p,抽样量是20，则不合格数为2、1、0的概率分别为：

36. 对于方法B，第一次抽样接受的概率是 把这些概率加起来，就会得到： 因此，接受该批量的概率由下式给出： 如果发现一个不合格杯子就要做第 二次抽样。10个中有1个不合格杯子的概率为：

37. 若在第二次抽样中只找到0或1个不合格杯子，则接受该批量。这时的概率为：若在第二次抽样中只找到0或1个不合格杯子，则接受该批量。这时的概率为： 所以，组合概率由下式给出: 因而对于方法B而言，接受的概率是： 这样给出的接受该批量的概率为：

38. 现在，我们对各种p值来看看怎样用这些 公式。 例如来计算一下当p=0.01和0.2时接受 的概率，如下表： 使人感到意外的是，两个方法之间相差很小，所以方法B可能是可用的两种方法中较好的一种，因为它可能需要较少的抽样数。

39. 需要指出的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题，我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，他们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。需要指出的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题，我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，他们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。