BENZET İ M

1. BENZETİM • 8. Ders Prof.Dr.Berna Dengiz

2. BENZETİM GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ BELİRLENMESİ • Varışlar arası zamanlar veya talep genişlikleri gibi rassal girdileri kullanan bir benzetimi gerçekleştirmek için bugirdilerin olasılık dağılımlarının belirlenmesi gerekir. • Benzetim bu dağılımlardan üretilen rassal değerleri kullanır. • Uygulamada karşımıza çıkan sistemler genellikle bir ya da daha fazla rassallık kaynağına sahiptirler.

3. BENZETİM Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler: SİSTEMRASSALLIK KAYNAĞI Üretim İşlem zamanları , arızalanma aralıkları, tamir süresi

4. BENZETİM Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler: SİSTEMRASSALLIK KAYNAĞI Bilgisayar İşlerin varışlar arası zaman aralığı , iş tipleri , işlem zamanı

5. BENZETİM Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler: SİSTEMRASSALLIK KAYNAĞI Haberleşme Mesajların varışlar arası zaman aralığı, mesaj tipleri, mesaj uzunlukları

6. BENZETİM Girdi Dağılımlarının Belirlenmesinde 4 Adım: • veri toplama • dağılım ailesinin belirlenmesi ( üstel, normal , vb.) • parametre tahmini • uygunluk testi Uygunluk testi ile seçilen dağılım kabul edilmez ise , 2. adıma geri dönülür ve farklı bir dağılım seçilerek prosedür tekrarlanır. Toplanan veri bilinen dağılımlardan hiçbirine uymuyor ise , AMPİRİK DAĞILIM tanımlaması yapılır.

7. BENZETİM 1. VERİ TOPLAMA Model girdileri için gerçek sistemden verilerin toplanması işlemidir. Veri toplamada uyulması gereken kurallar: • Sistem önceden gözlenmeli ve hangi verilerin toplanması gerektiğine , hangi zamanlarda verinin toplanacağına karar verilmelidir. Veri toplamak için gerekli formlar hazırlanmalıdır. • Girdi dağılımını belirlemek için yeterli verinin toplanması gerekir.

8. BENZETİM • Sistemi iyi temsil edecek şekilde veri ( homojen veri ) toplanmalıdır. Bu nedenle ardışık günlerin aynı zaman peryotlarında ve aynı günün ardışık zaman periyotlarında veri toplanarak verinin homojenliği kontrol edilmelidir. • Homojenliği kontrol etmek için kullanılan testlerden biri 2 örnekli t-testidir. Bu test ile dağılımların ortalamalarının eşit olup olmadığı test edilir. • İki değişken arasında bir ilişkinin olup olmadığının belirlenmesi gerekir. Scatter diyagramları kullanarak ilişkinin varlığı gözlemlenebilir. Regresyon analizi de değişkenler arasında ilişkinin belirlenmesinde kullanılmaktadır

9. BENZETİM 2. DAĞILIM AİLESİNİN BELİRLENMESİ Nokta İstatistikleri • Bazı özel dağılımlar özel istatistik değerlere sahiptir. Bu istatistikler veriden elde edilir ve teorik dağılımın nokta istatistikleri ile karşılaştırılır. • Ortalama , median , varyans

10. BENZETİM

11. BENZETİM Değişim Katsayısı Ve Lexis Oranı Değişim katsayısı sürekli dağılımın şekli hakkında bilgi sahibi olmayı sağlar. • Üstel dağılım için, ise , dağılımın üstel olduğunu gösterir.

12. BENZETİM Bazı Sürekli Dağılımlar İçin Değişim Katsayısı

13. BENZETİM Lexis Oranı ; kesikli dağılımlar için kullanılır. Değişim katsayısı ile aynı işleve sahiptir.

14. BENZETİM Çarpıklık Ve Basıklık Katsayısı Çarpıklık katsayısı , bir dağılımın simetrikliğinin ölçüsüdür. • 3 = 0 ise dağılım simetrik; 3 > 0 ise dağılım sağa çarpık ; 3 < 0 ise dağılım sola çarpıktır. • normal dağılımda 3 = 0 • üstel dağılımda 3 = 2

15. BENZETİM Basıklık Katsayısı; dağılımın yüksekliğinin ölçüsüdür. • Normal dağılımda 4 = 3 • Uniform Dağılımda 4 = 1. 8 • Üstel Dağılımda 4 = 9

16. BENZETİM Histogramlar • Bir histogram , toplanan verinin dağılımı ile ilgili olasılık fonksiyonunun grafiksel tahminidir. • Bir histogram, veri için uygun bir model olarak araştırılan dağılımlar ile ilgili iyi bir ipucu verir. • Veriden yararlanılarak elde edilen histogram teorik dağılımın şekli ile karşılaştırılır.

17. BENZETİM • x1,x2 , . . . . . ,xn gözlemler olsun. Açıklık eşit uzunlukta k aralığa bölünür. • Bir aralığın genişliği ∆b olsun; ∆b : [b0,b1], [b1,b2],…… [bk-1,bk] Genel olarak aralık genişliği ∆b = [bj-bj-1] olarak yazılır. • hj : [bj-1-bj] aralığına düşen x oranını göstersin.

18. BENZETİM • Çizilen histogramlar , teorik dağılımın şekli ile karşılaştırılarak verinin hangi dağılımdan geldiği belirlemeye çalışılır

19. BENZETİM Aralık Sayısının Belirlenmesi

20. BENZETİM Aralık Genişliğinin Belirlenmesi • Bir histogramın çiziminde aralık genişliğinin belirlenmesi önemlidir. • Aralık genişliğinin çok büyük ya da küçük alınması ile çizilen histogram , verinin hangi dağılımdan geldiğine ilişkin iyi bir bilgi vermez.

21. BENZETİM • Bu nedenle farklı b değerleri için histogram çizilerek standart dağılımlardan birisinin yoğunluk fonksiyonuna benzeyenhistogramseçilmelidir.

22. BENZETİM

23. BENZETİM Quantile (Çeyrek) Özetleri • Quantile özeti; veriye giydirilen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ya da olasılık fonksiyonu)’ nun simetrik, sağa ya da sola çarpık olduğunu belirlemek için kullanılır

24. BENZETİM Tablo1. Quantile özeti yapısı

25. BENZETİM • XI 'lerin dağılımı simetrikse, • median • quartile • octile ve • extramum nokta değerleri yaklaşık olarak birbirine eşittir. XI'lerin dağılımı; • Sağa çarpık ise; orta nokta değerlerinde artış • Sola çarpık ise; orta nokta değerlerinde azalış söz konusudur.

26. BENZETİM 3) Parametre Tahmini • Veri için uygun bir dağılım belirlendikten sonra , bu dağılımın benzetimde kullanımı için parametre değerlerinin belirlenmesi gerekir. • Elde edilen x1,x2, . . . .xn veri seti, dağılımın parametrelerinin tahmin edilmesinde kullanılır. • Bir tahminci, verinin numerik bir fonksiyonudur. Bu dağılımın parametresini ( ya da parametrelerini) tahmin etmek için kullanılan çeşitli metotlar vardır.

27. BENZETİM Parametre Tahmini Metotları • maximum likehood tahmin edici (MLE) • en küçük kareler tahmin edici • moment metodu Burada MLE metodu anlatılacaktır

28. BENZETİM MAXİMUM LIKELIHOOD METODU Veriye uydurulan dağılımın bir kesikli dağılım olduğunu kabul edelim. Bu dağılımın bir parametresi ;  olsun..(Dağılımın parametresi) Pө(x) : Dağılımın olasılık fonksiyonu x1 , x2 ,,,,,,,,xn : gözlemlenen değerler verildiğinde ; Likehood fonksiyonu L() aşağıdaki gibi tanımlanır. L()=Pө(x1) Pө(x2)….. Pө(xn) L();"bileşik olasılık fonksiyonu" dur.

29. BENZETİM  ; bilinmeyen parametrelerin değeri ise L() gözlemlenen verinin elde edilme olasılığını verir. ‘ nın bilinmeyen değerinin MLE; L()‘ u maksimize eden  değeri olarak tanımlanır ve θ ile gösterilir. MLE  max L()  θ

30. BENZETİM 1- ln.L() fonksiyonu artan bir fonksiyondur. 2- L()'nın maximizasyonu lnL() 'nın maksimizasyonuna Eşdeğerdir ve hesaplanması daha kolaydır. elde edilir.

31. BENZETİM

32. BENZETİM Sürekli Dağılım İçin: f ө(x) : Olasılık yoğunluk fonksiyonu L(θ)= f ө(x1). f ө(x2)…. f ө(xn) lnL(θ) alınır. ile θ parametresi tahmin edilir.

33. BENZETİM ÖRNEK: Üstel dağılımın β parametresinin MLE ile tahmin edilmesi

34. BENZETİM

35. BENZETİM 4) Uygunluk Testleri • Uygunluk testi , Fˆ dağılım fonksiyonu giydirilen x1,x2,,,,,,,,xn gözlemlerinin özel bir dağılımdan bağımsız örnekler olup olmadığını belirlemek için kullanılan bir istatistiksel hipotez testidir. • Bir uygunluk testi aşağıdaki hipotezi test etmek için kullanılır. • H0 : xi gözlemleri , Fˆ dağılım fonksiyonu ile bağımsız özdeş dağılmış rassal değişkenlerdir.

36. BENZETİM Ki-Kare (X2) Testi • X2 testi; veriye ait histogram ile giydirilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun karşılaştırılmasıdır. • Sürekli ya da kesikli durumda X2 test istatistiğini hesaplamak için giydirilen dağılımın tüm alanı k ardışık alana bölünür. • [a0,a1),[a1,a2), ……[ak-1,ak) • a0= -  ise [- , a1) , ak= + ise [ak-1, ) • x1,x2,,,,,,,,xn gözlem değerleri olduğunda ; • Nj : J. aralıktaki gözlem sayısı ; [aj-1, aj) j. aralık

37. BENZETİM Pj : j. aralığa düşme olasılığı . (Giydirilen dağılımdan örnekleme yapılsaydı ; Pj : j. aralığa düşen xi' lerin oranı )

38. BENZETİM • E[(aj-1, aj)] aralığına düşen gözlem sayısının beklenen değeri, E[(aj-1, aj)]= n.Pj • Test istatistiği; ise (1-) güvenlik düzeyinde veri, düşünülen dağılıma uygundur. H0 hipotezi kabul edilir.

39. BENZETİM m = k – s - 1 k : aralık sayısı s: tahmin edilen parametre sayısı