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函数的概念

函数的概念. 一、映射. 如果按照某种对应法则 f , 对于集合 A 中的任何一个元素 , 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 , 那么这种对应叫做 集合 A 到集合 B 的映射 , 记作 f : A→B. 若 a ∈ A, b ∈ B, 且 a 和 b 对应 , 则称 b 是 a 的 象 , a 是 b 的 原象. 二、一一映射. 如果 f : A→B 是集合 A 到集合 B 的映射 , 对于集合 A 中的不同元素 , 在集合 B 中有不同的象 , 且 B 中的每一个元素都有原象 , 那么这种映射叫做 一一映射. 三、函数.

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Presentation Transcript

  1. 函数的概念

  2. 一、映射 如果按照某种对应法则f, 对于集合A中的任何一个元素, 在集合B中都有唯一的元素和它对应, 那么这种对应叫做集合A到集合B的映射, 记作 f: A→B. 若a∈A, b∈B, 且a和b对应, 则称b是a的象, a是b的原象. 二、一一映射 如果 f: A→B是集合A到集合B的映射, 对于集合A中的不同元素, 在集合B中有不同的象, 且B中的每一个元素都有原象, 那么这种映射叫做一一映射. 三、函数 设A, B是两个非空数集, 如果按照某种对应法则 f, 对于集合A中的任何一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数和它对应, 那么称 f: A→B为集合A到B的一个函数. 变量x叫做自变量, x取值的集合A叫做函数的定义域; 与x的值对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域.

  3. 四、函数的三要素 对应法则、定义域、值域是函数的三要素, 其中起决定作用的是对应法则和定义域. 表示函数的对应法则有解析法、列表法与图象法, 其中解析法是最基本、最重要的方法, 中学数学学习的函数基本上都能用解析法表示. 1.对应法则 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数叫做分段函数. 若一个函数的自变量又是另一个变量的函数: y=f(u), u=g(x), 即y=f[g(x)], 这种函数叫做复合函数. 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域, 函数的定义域包含三种形式: 2.定义域 ①自然型:指使函数的解析式有意义的自变量x取值的集合(如: 分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数, 对数函数的真数为正数, 等等);

  4. ②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制, 这是函数学习中的重点, 往往也是难点, 有时这种限制比较隐蔽, 容易出错; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时, 应认真考察自变量x的实际意义. 中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域: 3.值域 ①配方法(将函数转化为二次函数); ②判别式法(将函数转化为二次方程); ③不等式法(运用不等式的各种性质); ④函数法(运用有关函数的性质, 或抓住函数的单调性、函数图象等). 注: 运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换, 但必须保证变换的等价性. 否则可能引起所求值域的扩大或缩小. 另外, 求函数的值域必须认真考察函数的定义域,如果定义域是闭区间, 则先求得函数的最大值, 最小值, 得函数的值域.

  5. ( , 1)∪(1, )∪( , 2] 2x-x2 (1)y= +(3-2x)0 ;   lg(2x-1) 2 2 (2)y= 25-x2 +lgcosx. [-5, - )∪(- , )∪( , 5] 2.已知函数f(x)的定义域为[- , ], 求函数y=f(x2-x- )的定义域. 1+ 5 1- 5 [ , 0]∪[1, ] 2 2 3 3 2 2 3 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 典型例题 1.求下列函数的定义域: 3.已知函数f(x)的定义域是[a,b], 且a+b>0,求下列函数的定义域: (1)f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x-m) (m>0). 4.当k为何值时, 函数y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R? 又当k为何值时, 值域为R? 值域为R时, 定义域又如何?

  6. b-a 3 3 [a+m, b-m] (m<　　时); 2 4 4 [- b, b ](a≤0时); [- b, - a ]∪[ a ,b ](a>0时). b-a a+b { } (m= 时). 2 2 0≤k< 时, 函数的定义域为R; b-a (m>　　时, 原式不定义函数) k≥ 时, 函数的值域为R. 2 3.已知函数f(x)的定义域是[a,b], 且a+b>0,求下列函数的定义域: (1)f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x-m) (m>0). 3. (1): 3. (2): [a, -a](a<0时); {0}(a=0时).(a>0时原式不定义函数) 3. (3): 4.当k为何值时, 函数y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R? 又当k为何值时, 值域为R? 值域为R时, 定义域又如何? 值域为R时, 定义域为(-∞, x1)∪(x2, +∞), 其中, x1, x2 为一元二次方程kx2+4kx+3=0的两根且 x1≤x2.

  7. a ( )>0, ∴x∈R; x (1) 若k≤0, ∵ 2 a a a a a (2) 若k>0, ①当a>2时, x>log k; 2 2 2 2 ( )>k(a>0且a≠1). x 2 ②当0<a<2且a≠1时, x<log k; 0<k<1, 综上所述: 当k≤0或 时, 定义域为R; k>0 a=2 当时, 定义域为(log k, +∞); a>2 k>0 当时, 定义域为(-∞, log k); 0<a<2且a≠1 k≥1 当时, 原式不定义函数. a=2 5.求函数y=loga(ax-k·2x) (a>0且a≠1)的定义域. 解:要使函数有意义, 必须 ax-k·2x>0, 得: ③当a=2时, 若 k<1, 则x∈R; 若 k≥1, 则x不存在.

  8. ∴x≤且x≠0. lg+lg=2, lg lg ∵ ∴y=log+log= + lglg=3x, lg lg (lg+lg)2-2lglg = lglg 4-6x 1 1 = . 3x 即y= -2, 3 3 4 其定义域为(-∞, 0)∪(0, ]; 3x 6.已知关于z的方程lg2z-lgz2+3x=0(x≠0)有两实根, ,令y=log+log(, >0且, ≠1), 请把 y表示成 x的函数并求其定义域和值域. 解:原方程即为:lg2z-2lgz+3x=0(x≠0). 由已知可得: △=4-12x≥0, 其值域为(-∞, -2)∪[2, +∞).

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