Download
1 / 21
210 likes | 744 Views
Monotoninės funkcijos. Tarkime, kad. yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Rašysime α ≤ β , kai α j ≤ β j su visais j =1,2,…,n. Pavyzdys. (0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1); (0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1); Negalima rašyti: (0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1). Jeigu α ≤ β f( α ) ≤ f( β ),
E N D
Tarkime, kad yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Rašysime α ≤ β, kai αj ≤ βj su visais j=1,2,…,n. Pavyzdys. (0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1); (0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1); Negalima rašyti: (0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1). Jeigu α ≤ β f(α) ≤ f(β), tai Bulio funkcija vadinama monotonine
f(0,0,1) f(0,1,1) f(0,0,0) f(0,1,0) f(1,0,1) f(1,1,1) f(1,0,0) f(1,1,0) 0 1 0 1 1 1 0 1 Funkcijos reikšmes iš lentelės surašome tokia tvarka: Patikrinsime, ar funkcija f(x,y,z) yra monotoninė. Matome, kad funkcijos reikšmės šiomis kryptimis nemažėja, t.y. ji monotoninė.
Funkcija f(x1,x2,...,xn) yra tiesinė, jeigu f(x1,x2,...,xn) = c0 c1 & x1 c2 & x2 … cn & xn čia c0, c1, c2, …, cn yra konstantos, lygios 0 arba 1. c0= 1 c2 = 1 Pavyzdys. Ar funkcija f(x,y) = x y yra tiesinė? c1= 1 x y = c0 c1 & x c2 & y 1 = 0 0 = c0 c1 & 0 c2 & 0 = с0 0 0 = с0 0 = 0 1= 1 c1 & 0 c2 & 1 = 1 0 с2 = ¬с2 0 = 1 0= 1 c1 & 1 1& 0 = 1 с1 0 = ¬с1 Tada gauname prieštaravimą: 0 = 1 1= 1 1& 1 1& 1 = 111 = 1
Dviejų kintamųjų funkcijai: f(x, y) = c0 c1 & x c2 & y f(0, 0)= c0 c1 & 0 c2 & 0 = с0 0 0 = с0 f(0,1)= c0 c1 & 0 c2 & 1 = c0 0 с2. Jeigu c0=0, tai c2=f(0,1). Jeigu c0=1, tai c2=¬f(0,1) f(1,0)= c0 c1 & 1 c2 & 0 = c0 с1 0 . Jeigu c0=0, tai c1=f(1,0). Jeigu c0=1, tai c1=¬f(1,0)
Dviejų kintamųjų funkcijai Analogiškai gaunamos formulės trijų kintamųjų funkcijai:
Bulio funkcijos f(x1,x2, ..., xn) kintamasis xj (0 ≤ j ≤ n) vadinamas fiktyviuoju, jei f( ... , xj-1, 0, xj+1, … ) = f( ... , xj-1, 1, xj+1, … ) Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais. Jeigu funkcija yra tiesinė, t.y. ją galima užrašyti f(x1,x2,...,xn) = c0 c1 & x1 c2 & x2 … cn & xn tai kintamasis, kurio atitinkamas koeficientas cj,yra lygus nuliui, bus fiktyvus. Fiktyvius kintamuosius galima rasti naudojant Karno kortas ir t.t.
Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Tikriname, ar x yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(0,0,1)=1, o f(1,0,1)=0. Tai reiškia, kad x nėra fiktyvus. 2. Tikriname, ar y yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(1,0,0)=0, o f(1,1,0)=1. Tai reiškia, kad y nėra fiktyvus. 3. Tikriname, ar z yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(0,0,0)=0, o f(0,0,1)=1. Tai reiškia, kad z nėra fiktyvus. Funkcija neturi fiktyvių kintamųjų
Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Tikriname, ar funkcija yra tiesinė c0= 0, c1= 0, c2= 1, c3= 1 ir tada f(x,y,z) = 0 0&x 1&y 1&z = = 0 0 y z = y z 2. Tikriname, ar tai tiesa (įstatome y ir z reikšmes ir sulyginame su lentele) f(0,1,1) = 1 1 = 0; f(1,0,1) = 0 1 = 1; f(1,1,0) = 1 0= 1; f(1,1,1) = 1 1 = 0. 3. Matome, kad visos reikšmės sutapo, t.y. funkcija yra tiesinė. Koeficientas prie x lygus 0, t.y. x – fiktyvus kintamasis
Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Sudarome disjunkcinę formą: f(x,y,z) = (¬x&¬y&z) v (¬x&y&¬z) v (¬x&y&z) v (x&y&z). 2. Užpildome Karno kortą: Supaprastiname reiškinį: ( y & ¬ z) v ( ¬x & z ). Matome, kad visi kintamieji liko. T.y. fiktyvių kintamųjų nėra.
(T0) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia nulio, jei f(0, 0, ... , 0)=0. (T1) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia vieneto, jei f(1, 1, ... , 1)=1. (T*) Savidualiosios funkcijos (T≤) Monotoninės funkcijos (TL) Tiesinės funkcijos
Apibrėžimas. Funkcijų sistema F={f1, f2, … , fm} yra vadinama pilnąja, jei bet kurią bulinę funkciją galima išreikšti šios sistemos funkcijomis. Pavyzdys. Bet kuri bulinė funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Sistema {¬, &, V}yra pilnoji. Taikydami de Morgano dėsnius, galime disjunkciją pakeisti konjunkcija ir atvirkščiai. Todėl sistemos {¬, V} ir {¬, &}– irgi pilnosios. Posto teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T0, T1, T*, T≤, TL; t.y. galima nurodyti bent vieną funkciją, kuri nėra nekeičianti nulio, nekeičianti vieneto, savidualioji, monotoninė ir tiesinė. Funkcijų sistemos {¬, }, {|}, {} – irgi pilnosios.
